非正規(guī)子群鏈長為3 的有限p 群

賀麗娟，李璞金

山西師范大學數(shù)學與計算機科學學院，山西臨汾041000

0 引言

正規(guī)子群是有限群的基本概念，它源于著名的Galois 理論中的正規(guī)擴張的概念. 早在1897 年，Dedekind 就在文獻［1］中確定了所有子群都正規(guī)的有限群，這類群后被稱為Dedekind 群. 研究比Dedekind 群更廣的群類問題是群論學者研究的熱點問題之一，例如見文獻［2 ～7］等.值得一提的是，著名群論學家Passman 的經(jīng)典p 群論文［3］.該文中他研究了非正規(guī)子群階的可能性并提出了非正規(guī)子群鏈的概念:

以M(G)，m(G)的術語，Passman 在文獻［3］中分類的是M(G)- m(G)= 0 的p 群;安立堅分類的是M(G)- m(G)≤1 的p 群. 本文繼續(xù)安立堅在文獻［2］的工作，分類了M(G)- m(G)= 2 的特殊情況.

本文旨在研究p ＞2 時，非正規(guī)子群的階為pm，pm+1，pm+2(m ≥3)的有限亞Hamiltonp 群.主要結果見本文的定理1 與定理2.

1 預備知識

引理1［7，引理2.4］ 設E 是有限p 群G 的內(nèi)交換子群.若［G，E］= E'，則G = E* CG(E).

定義2［8，定義12.2.1］ 設G 是有限非交換p 群，稱G 是亞Hamiltonp 群，如果G 的每個子群或交換或正規(guī).

引理2［8，定理2.3.6］ 設G 是有限p 群. 則下列命題等價:

(1)G 是內(nèi)交換群;

(2)d(G)= 2 且| G' | = p;

(3)d(G)= 2 且Z(G)= Φ(G).

2 非正規(guī)子群鏈長為3 的有限p 群

由文獻［2，定理9.1］可知，P 群均為亞Hamilton p 群. 文獻［定理3.1，定理4.1］給出了有限亞Hamilton p 群的分類. 因此分類非正規(guī)子群鏈長為3 的有限p 群，本文只需從有限亞Hamilton p 群的分類中挑出滿足條件m(G)≥3，M(G)- m(G)= 2 且chn(G)= 3 的群即可.

引理3 設G 是有限p 群，p ＞2，| G' | = p.若m(G)≥3 且M(G)- m(G)= 2，則d(G)≤4.

證明 顯然G 非交換.設H 是G 的內(nèi)交換子群.根據(jù)引理1 可設，G = H* CG(H)，其中H ∩CG(H)≤H'.又設d(G)= t.下證t ≤4.若否，則t ≥5.此時不妨可設

(4)(Mp(n，m)* Cp2)× Cp，其中n ≥m ≥3.

證明 ? 根據(jù)引理3 可知，d(G)≤4.因此我們只需考慮2 ≤d(G)≤4 的情況.

下面將分三種情形進行討論.

情形1 d(G)= 2.

顯然G 是內(nèi)交換群. 故G ?Mp(m1，n1)或G ?Mp(m1，n1，1).

若G ?Mp(m1，n1，1)，則m1≥n1≥3 且n1≥3.但此時G 同構于文獻［10，定理3.2］的群(1)，其中m1≥3，n1≥3 的情形. 因此chn(G)≤2，矛盾.

情形2 d(G)= 3.

此時，G 同構于下列互不同構的群之一:

(i)Mp(m1，n1)× Cpk，其中m1≥2，n1≥1，k ≥1;

(ii)Mp(m1，n1，1)× Cpk，其中m1≥n1≥1，k ≥1;

(iii)Mp(m1，n1，1)× Cpk，其中Mp(m1，n1，1)∩Cpk= M'p(m1，n1，1)，m1≥n1≥1，k ≥2.

若G 同構于群(i)，不妨設G =〈a，b，c| apm1= bpn1= cpk= 1，［a，b］= apm1-1，［c，a］=［c，b］= 1〉，其中m1≥2，n1≥1，k ≥1.

情形3 d(G)= 4.

顯然G 是非交換群，故G 中必存在內(nèi)交換子群，不妨設為H.根據(jù)引理1 可設，G = H* CG(H)，其中H ∩CG(H)= G'.因為d(G)= 4，故不妨可設G =〈a1，a2〉*〈a3，a4〉其中H =〈a1，a2〉，|〈a3〉| = pk，| 〈a4〉| = pl，k ≥1，l ≥1.由引理3 可知，H ?Mp(m1，n1)或H ?Mp(m1，n1，1).

若H ?Mp(m1，n1)，類似可知，m1≥3，n1≥3.若H ?Mp(m1，n1，1)，同理m1≥n1≥3.

又注意到〈a1，a2〉∩〈a3，a4〉≤G'，因此下面分〈a1，a2〉∩〈a3，a4〉= 1 和〈a1，a2〉∩〈a3，a4〉= G'兩種子情形進行討論.

情形3.1 〈a1，a2〉∩〈a3，a4〉= 1.

綜上可知，p3≤| H|≤p5.又容易計算知〈b〉≤〈b，ap2〉≤〈b，ap〉為G 的一條非正規(guī)子群鏈.

若G 群同構于群(2)～群(4)之一.類似群(1)的證明方法，可證pm≤| H|≤pm+2.對于群(2)而言，計算知〈b〉≤〈b，cp〉≤〈b，c〉為G 的一條非正規(guī)子群鏈.對于群(3)而言，又容易計算知〈b〉≤〈b，c〉≤〈b，c，d〉為G 的一條非正規(guī)子群鏈. 對于群(4)而言，不妨設為又容易計算知〈b〉≤〈b，apn-2c-1〉≤〈b，apn-2c-1，d〉為G 的一條非正規(guī)子群鏈.

綜上可知，定理中的群(1)～群(4)滿足chn(G)= 3 且非正規(guī)子群的階僅為pm，pm+1，pm+2.定理的證.

定理2 設G 是有限p 群，| G' | ＞p. 則G 是P 群當且僅當G 同構于下列互不同構的群之一:

(1)〈a，b| apn= bpm+1= 1，［a，b］= apn-2〉，其中n ≥m +1 ≥4;

(2)〈a，b，c| ap3= bp3= cp3= 1，［a，b］= cp2，［a，c］= bvp2，［b，c］= 1〉，v 是某固定的模p 平方非剩余;

(3)〈a，b，c| ap3= bp3= cp3= 1，［a，b］= cp2，［a，c］= bkp2，［b，c］= 1〉，1 +4k ?(Fp)2.

證明 ? 設p ＞2 | G' | ＞p. 當exp(G')＞p 時，根據(jù)引理［2，推論5］可得定理中的群(1). 當exp(G')= p 時，G 同構于文獻［9，定理3.1，定理4.1］的群(B1)～群(B8)，群(C3)～群(C10)，群(D1)，群(D2)，群(D4)，群(D5)之一.又因為G 的p 階子群均正規(guī)，所以c(G)= 2.顯然群(B1)～群(B8)不符合條件.因此只需考慮G 同構于群(C3)～群(C10)，群(D1)，群(D2)，群(D4)和群(D5)之一.下面逐一討論.

綜上所述，定理得證.