基于Gumbel Copula函數(shù)的堆石壩沉降模型因子優(yōu)選研究

仲靜文，朱 晶，周 健，顧 冬，劉永濤

(1.南京市水利規(guī)劃設(shè)計(jì)院股份有限公司，江蘇南京210022；2.南京新港開發(fā)總公司，江蘇南京210038；3.河海大學(xué)水利水電學(xué)院，江蘇南京210098)

0 引 言

面板堆石壩因其成本較低、施工快速方便、地形地質(zhì)適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)迅速發(fā)展為一種重要的壩型[1]。面板堆石壩的沉降變形是影響其安全穩(wěn)定的重要因素，故研究面板堆石壩的沉降，特別是施工期和蓄水期沉降以評估其安全狀態(tài)就十分必要[2]。研究面板堆石壩沉降的模型和方法有很多，如傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)預(yù)測模型、智能算法模型、有限元計(jì)算模擬方法等。目前，研究學(xué)者們提出了大量智能優(yōu)化算法的大壩沉降模型，如萬臣等提出了基于新維BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-馬爾科夫鏈模型的大壩沉降預(yù)測方法[3]；朱創(chuàng)家等基于極限學(xué)習(xí)機(jī)分析預(yù)測了面板堆石壩施工期沉降[4]；藍(lán)善勇等構(gòu)建了基于最小二乘法的邏輯回歸的土石壩沉降預(yù)測模型[5]等。上述模型和方法在研究沉降問題上總體精度較高、適應(yīng)性較好，但很多堆石壩沉降模型沒有考慮每個影響因子的影響因素，如水位、時間、溫度等因子，從而導(dǎo)致局部過擬合、計(jì)算結(jié)果精度不高。

影響因子的選擇一般有相關(guān)系數(shù)法、逐步回歸法、主成分分析法等。相關(guān)系數(shù)法要求變量之間線性相關(guān)，局限性大；逐步回歸法挑選步驟繁瑣，無法直接準(zhǔn)確地將預(yù)選因子引入方程中；主成分分析法將多個變量降維后選取比重大的因子作為主成分進(jìn)行分析，但因子之間相關(guān)性較差時誤差較大[6]。為此，陳西江等采用不同相關(guān)系數(shù)法，基于BP網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行大壩位移預(yù)報[7]，但前期無效數(shù)據(jù)影響到預(yù)報穩(wěn)定性；進(jìn)一步，袁從貴等提出偏互信息(PMI)確定預(yù)測輸入因子，同時聯(lián)合最小二乘定尺度支持向量機(jī)進(jìn)行咸潮預(yù)測[8]；麥紫君等在傳統(tǒng)構(gòu)造模型的基礎(chǔ)上，采用偏互信息(PMI)篩選與月徑流相關(guān)性較強(qiáng)的氣候因子，從而預(yù)測中長期徑流[9]。通過研究多個偏互信息方法篩選效果，偏互信息法(PMI)不僅計(jì)算方便快捷、適應(yīng)性強(qiáng)，對于因子的優(yōu)選精度也已達(dá)到較高標(biāo)準(zhǔn)，且較少應(yīng)用在堆石壩沉降因子優(yōu)選。由于偏互信息法計(jì)算回歸值時誤差較大，對篩選正確率不利[10]，因此本文以大壩沉降變形為例，采取雙重因子優(yōu)選：①根據(jù)Pearson及Kendall秩相關(guān)系數(shù)等方法，預(yù)選因子集；②分析二維Gumbel函數(shù)，采用基于PMI的Copula熵法，優(yōu)選因子集，并將其引入方程中，對大壩沉降值進(jìn)行擬合及預(yù)測。

1 基本原理

1.1 沉降統(tǒng)計(jì)模型

面板堆石壩的沉降位移中，固結(jié)所占比例較大，同時溫度及水位等也有一定影響，而時效因子的性質(zhì)部分由固結(jié)引起。故運(yùn)行期沉降值由水壓分量δH、溫度分量δT和時效分量δθ組成，統(tǒng)計(jì)模型[11]為

(1)

1.2 Gumbel Copula函數(shù)

H(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(2)

若邊緣分布即F1,F2,…,Fn連續(xù)，則C唯一，否則，C在RanF1×RanF2×…×RanFn上是唯一的。

Copula函數(shù)中橢圓分布族和阿基米德分布族最為常見，而后者中Gumbel Copula函數(shù)的概率密度函數(shù)圖形呈“丁”字形，呈現(xiàn)明顯的上尾相關(guān)性，適合變量非對稱變化，從而得到推廣和應(yīng)用。本文以二維Gumbel Copula函數(shù)為例，即

(3)

式中，u、v分別為兩變量的邊緣分布函數(shù)F(x)、F(y)；α為參數(shù)，且α∈[1,∞]。

1.3 Copula熵理論

熵理論由Shannon提出解決隨機(jī)變量不確定性的方法[13]，多維聯(lián)和熵為

(4)

考慮與大壩變形相關(guān)的二維隨機(jī)變量情況

(5)

式中，f(x1,x2)為Copula函數(shù)的概率密度函數(shù)。

則分布函數(shù)及密度函數(shù)為

F(x;δ1,δs,θ)=C(F1(x1;δ1),F2(x2;δ2),θ)

(6)

f(x;δ1,δ2,θ)=c(F1(x1;δ1),F2(x2;δ2),θ)1f1(x1;δ1),f2(x2;δ2)

(7)

1.4 偏互信息

偏互信息由Sharma提出，為互信息的改進(jìn)方法，可以估計(jì)大壩變形在預(yù)選因子基礎(chǔ)上，新加入因子與變形值的相關(guān)性。具體如下

(8)

x′=x-E[x|Z];y′=y-E[y|Z]

(9)

式中，E為期望值，x為輸入因子；y為輸出值；Z為預(yù)選因子集。又H(x′,y′)=H(x)′+H(y′)+Hc(u′,v′)，則PMI=-Hc(u′,v′)。

1.5 影響因子選擇指標(biāo)

1.5.1預(yù)選因子指標(biāo)

Pearson相關(guān)系數(shù)及Kendall秩相關(guān)系數(shù)等是常用的度量變量相關(guān)性的方法，前者主要用來衡量兩個變量的線性關(guān)系，后者基于Copula函數(shù)，用來描述變量之間的線性與非線性的相關(guān)關(guān)系[14]。后者方法具體如下

(10)

(11)

1.5.2因子優(yōu)化指標(biāo)

在計(jì)算出因子與輸出值的偏互信息后，需要為PMI一個閾值作為確定最有因子的指標(biāo)。本文采用Fernando等和May等研究成果，以Hampel檢驗(yàn)作為PMI算法的停止準(zhǔn)則[15-16]。具體如下

(12)

綜上所述，模型因子集的確定步驟如圖1所示。

圖1 模型因子優(yōu)選流程

2 實(shí)例分析

2.1 工程概況

某混凝土面板堆石壩位于我國東南地區(qū)，壩址以上流域面積667 km2，設(shè)計(jì)洪水位365.04 m。壩基最低部位高程274.20 m，壩頂高程368.0 m，壩頂長210.0 m?？紤]到蓄水初期面板堆石壩常規(guī)統(tǒng)計(jì)模型的欠擬合情況，采用基于Gumbel Copula函數(shù)的大壩沉降位移模型，選取壩頂?shù)湫蜏y點(diǎn)2及測點(diǎn)4、5、6進(jìn)行計(jì)算。實(shí)測資料時間為1997年2月2日至2014年12月31日(監(jiān)測頻次為每月一次)，預(yù)測資料時間選取2015年1月1日至2015年5月31日。本文以測點(diǎn)2為例進(jìn)行分析。

2.2 模型因子優(yōu)選

表1 預(yù)選因子集統(tǒng)計(jì)

2.3 結(jié)果對比

為了驗(yàn)證Gumbel Copula函數(shù)在大壩沉降模型中的可行性，對Copula熵優(yōu)化后的模型與多元回歸統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行計(jì)算及對比分析，結(jié)果如表2、3及圖2所示。

表2 測點(diǎn)的擬合結(jié)果對比

表3 2015年測點(diǎn)2沉降值預(yù)測結(jié)果及誤差分析

圖2 測點(diǎn)2沉降模型曲線擬合及預(yù)測情況對比

由表2可知，Gumbel函數(shù)模型的擬合效果明顯優(yōu)于多元回歸模型，精度較高。經(jīng)計(jì)算測點(diǎn)4、5、6沉降預(yù)測值的多元回歸模型平均殘差分別為4.5、4.14、3.68 mm，平均相對誤差分別為3.97%、3.26%、2.81%；Gumbel函數(shù)模型的平均殘差分別為2.10、1.66、1.62 mm，平均殘差分別為1.85%、1.31%、1.25%。Gumbel函數(shù)模型預(yù)測沉降值的平均殘差和平均相對誤差明顯小于多元回歸模型。表3和圖2的對比結(jié)果同樣驗(yàn)證了Gumbel函數(shù)模型的擬合效果更優(yōu)。

3 結(jié) 論

(1)本文建立了基于 Copula 熵的因子優(yōu)選流程，對影響沉降的因子集采用了Pearson和Kendall雙重相關(guān)系數(shù)進(jìn)行預(yù)選，通過Copula熵理論進(jìn)行篩選，提高了模型的穩(wěn)定性，該方法為堆石壩沉降模型的因子優(yōu)選提供了新思路。

(2)通過與常規(guī)模型的結(jié)果對比，基于Gumbel Copula函數(shù)的因子優(yōu)選方法可以有效地篩選掉影響較小的因子，解決蓄水初期堆石壩擬合不佳的問題，降低了回歸誤差，提高了堆石壩沉降的預(yù)測精度，減小了計(jì)算工作量和復(fù)雜程度。

(3)由于采用的是二維Gumbel Copula函數(shù)，可以進(jìn)一步研究高維Gumbel Copula函數(shù)在沉降模型的應(yīng)用。