電力系統(tǒng)隨機(jī)小擾動(dòng)區(qū)間穩(wěn)定性分析

朱志偉，史慧革,張振，曹桂州

1.鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 鄭州 450001；2.國(guó)網(wǎng)河南省電力公司 南陽(yáng)供電公司，河南 南陽(yáng) 473000

0 引言

電力系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中會(huì)不可避免地受到隨機(jī)擾動(dòng)的影響，風(fēng)力發(fā)電等新能源并網(wǎng)過(guò)程中隨機(jī)因素對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性和電能質(zhì)量的影響不容忽略[1-2].此外，由于溫度、濕度等環(huán)境因素的影響，以及電力系統(tǒng)元件制造工藝、信息采集準(zhǔn)確度等條件的限制，系統(tǒng)參數(shù)往往無(wú)法準(zhǔn)確獲取[3]，存在參數(shù)攝動(dòng)問(wèn)題.在這種情況下，對(duì)系統(tǒng)的不定參數(shù)取某個(gè)確定的值來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，無(wú)法得到符合實(shí)際的結(jié)論.在實(shí)際的電力系統(tǒng)中建立隨機(jī)不確定動(dòng)態(tài)模型，明確不定參數(shù)與隨機(jī)因素及它們之間的關(guān)系尤為重要.

近些年，研究人員針對(duì)電力系統(tǒng)中小干擾穩(wěn)定性的研究取得了一些成果.文獻(xiàn)[3]建立了含異步風(fēng)電機(jī)組的電力系統(tǒng)確定性模型，給出了系統(tǒng)的區(qū)間穩(wěn)定定理，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，但未考慮隨機(jī)因素對(duì)系統(tǒng)性能的影響.文獻(xiàn)[4-5]對(duì)風(fēng)電并網(wǎng)電力系統(tǒng)小干擾依概率穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，但未考慮系統(tǒng)中某些參數(shù)的不確定性，以及系統(tǒng)參數(shù)與小擾動(dòng)之間的約束關(guān)系.文獻(xiàn)[6-12]建立了電力系統(tǒng)隨機(jī)小擾動(dòng)下的模型，并對(duì)其小干擾穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，但采用的p階矩穩(wěn)定性或均值穩(wěn)定性、均方穩(wěn)定性分析并不能突出隨機(jī)因素的存在及對(duì)系統(tǒng)的影響，而且未考慮系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)問(wèn)題，以及不定參數(shù)與隨機(jī)擾動(dòng)之間的關(guān)系.文獻(xiàn)[13]建立了電力系統(tǒng)的隨機(jī)模型，在穩(wěn)定性分析中突出了隨機(jī)因素的存在，但不能明確隨機(jī)因素與參數(shù)之間的關(guān)系.以上研究未能建立基于系統(tǒng)不定參數(shù)的隨機(jī)模型，在隨機(jī)擾動(dòng)下對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，均未能表現(xiàn)隨機(jī)因素與系統(tǒng)參數(shù)之間的約束關(guān)系.

鑒于此，本文擬在隨機(jī)因素?cái)_動(dòng)及參數(shù)不確定情況下，建立含異步風(fēng)電電力系統(tǒng)的隨機(jī)不確定動(dòng)態(tài)模型，結(jié)合隨機(jī)微分理論[14-15]給出系統(tǒng)依概率穩(wěn)定定理，明確隨機(jī)因素與系統(tǒng)參數(shù)之間的約束關(guān)系，以期為系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制提供理論依據(jù).

1 電力系統(tǒng)隨機(jī)不確定動(dòng)態(tài)模型的建立

不考慮風(fēng)速等隨機(jī)波動(dòng)因素對(duì)異步風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的影響，風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的軸系模型[3]可以表示為

其中，ωt和ωr分別為風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)速和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速，θω為軸系扭曲角度，Tt和TJ分別為風(fēng)力機(jī)和發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Tω、Tsh和Te分別為風(fēng)力機(jī)輸出機(jī)械轉(zhuǎn)矩、軸系轉(zhuǎn)矩和發(fā)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩.

在實(shí)際系統(tǒng)中，風(fēng)速等隨機(jī)波動(dòng)會(huì)造成風(fēng)力發(fā)電機(jī)輸入機(jī)械功率的波動(dòng)，此功率波動(dòng)在短時(shí)間內(nèi)圍繞某一均值波動(dòng)，把功率波動(dòng)作為高斯隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，且把系統(tǒng)的阻尼系數(shù)作為不確定參數(shù)，建立新的系統(tǒng)模型.

風(fēng)力機(jī)機(jī)械功率可以用隨機(jī)微分方程表示為

①

其中，pm為風(fēng)力機(jī)機(jī)械功率；W(t)為維納過(guò)程；pm0為機(jī)械功率的初值，即確定性部分；Δpm(t)為由于隨機(jī)擾動(dòng)引起的功率波動(dòng)部分；?為隨機(jī)擾動(dòng)的擴(kuò)散系數(shù).

異步風(fēng)機(jī)組的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為

②

其中，pe為電磁功率，將式②代入式①得到異步風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)隨機(jī)微分方程為

由功率等于轉(zhuǎn)矩與角速度的乘積可知，考慮隨機(jī)擾動(dòng)的電機(jī)軸系動(dòng)態(tài)模型為

③

④

其中，K為軸的剛性系數(shù)，DI為阻尼系數(shù).將式④代入式③，可得異步風(fēng)機(jī)隨機(jī)模型為

⑤

考慮系統(tǒng)中的參數(shù)攝動(dòng)，即令ωt=ωt0+Δωt，ωr=ωr0+Δωr，其中Δωt,Δωr為參數(shù)攝動(dòng)項(xiàng)，則系統(tǒng)⑤可以表示為

令s=-Δωr，則有

當(dāng)風(fēng)電機(jī)組處于某個(gè)穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)時(shí)，即Tω=Kθw=Te0，由文獻(xiàn)[3]，可得

⑥

對(duì)式⑥在s0處作泰勒展開(kāi)，可得

Te=Te0+(dTe/ds)s=s0Δs

令s=s0+Δs，則

⑦

其中

將式⑦表示為向量形式，即得電力系統(tǒng)隨機(jī)不確定動(dòng)態(tài)模型為

dX(t)=AX(t)dt+Udt+QdB(t)

⑧

其中

2 隨機(jī)電力系統(tǒng)變參數(shù)穩(wěn)定性分析

定理1 考慮系統(tǒng)⑧，矩陣A的特征值實(shí)部為負(fù)，且系統(tǒng)解初值有界，若滿足

證明對(duì)于系統(tǒng)⑧，若矩陣A為負(fù)定矩陣，則系統(tǒng)是小干擾穩(wěn)定的.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V=eλx1x2，其中λ是常量，對(duì)其關(guān)于x1，x2分別求一階和二階偏導(dǎo)，得Vx和Vxx[15]：

Vx=[λx2ex1x2,λx1ex1x2]

因?yàn)閑λx1x2>0，那么當(dāng)

即

-4ab2d2-4a2be2+ac2e2+bc2d2+4abcde-c3de≤0

綜上，若要使LV≤0，需滿足：

⑨

把a(bǔ)，b，c，d，e帶入式⑨,整理可得：

2k4DI(2DI-k1λσ2)>[k2(DI-R)+k1DI]2

⑩

3 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)將以具體算例對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，取異步風(fēng)電機(jī)組相關(guān)參數(shù)如下：Tt=10，TJ=2.5，DI∈(1.35,1.65)，s0=0.08，計(jì)算得R=-7.23，額定電壓0.69 kV,頻率50 Hz，定子電抗0.125 pu，定子電阻0.003 pu，轉(zhuǎn)子電阻0.004 pu，轉(zhuǎn)子電抗0.05 pu，激勵(lì)電抗2.5 pu.

在阻尼系數(shù)變化區(qū)間內(nèi)，分別取4組不同的阻尼系數(shù)，則相應(yīng)矩陣A的特征值的實(shí)部如表1所示.

表1 不同阻尼系數(shù)對(duì)應(yīng)矩陣A的特征值的實(shí)部

由表1可知，4組阻尼系數(shù)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)矩陣A的特征值的實(shí)部均為負(fù)值，這是因?yàn)檫x取的阻尼系數(shù)包含了區(qū)間的端值，此時(shí)系統(tǒng)是小干擾穩(wěn)定的；在隨機(jī)高斯小擾動(dòng)下，存在常量λ能夠滿足所述定理，則系統(tǒng)是依概率穩(wěn)定的.

為了驗(yàn)證定理1的合理性與正確性，本文采用M算法[16]對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行Matlab仿真，本文共選取4組不同參數(shù)進(jìn)行仿真.在高斯小擾動(dòng)下選取兩組參數(shù)：DI=1.45,σ=0.02；DI=1.55，σ=0.02，仿真結(jié)果如圖1所示；在較大隨機(jī)擾動(dòng)下選取另外兩組參數(shù)：DI=1.55,σ=0.5；DI=1.55，σ=1.0，仿真結(jié)果如圖2所示.

圖1 高斯小擾動(dòng)下系統(tǒng)角速度變化量Fig.1 Angular velocity variation of the system under small Gaussian disturbance

圖2 較大隨機(jī)擾動(dòng)下系統(tǒng)角速度變化量Fig.2 Angular velocity variation of the system under larger stochastic disturbance

由圖1可以看出，在t=0時(shí)，由于受到高斯隨機(jī)小擾動(dòng)的影響，系統(tǒng)角速度變化量會(huì)有一個(gè)較明顯的波動(dòng)，但此波動(dòng)幅值較小，均在0.02 rad/s范圍內(nèi)，且系統(tǒng)角速度變化量很快開(kāi)始收斂；在大約t=20 s時(shí)，角速度的變化量趨于0，即能夠平衡在零點(diǎn)處，系統(tǒng)穩(wěn)定.

由圖2可以看出，在隨機(jī)擾動(dòng)增大的情況下，系統(tǒng)角速度出現(xiàn)明顯的變化，角速度變化量波動(dòng)幅值較大，系統(tǒng)處于失穩(wěn)邊緣；當(dāng)隨機(jī)擾動(dòng)強(qiáng)度繼續(xù)增大時(shí)，系統(tǒng)角速度變化量較初值有15%的變化量，波動(dòng)更明顯，無(wú)法穩(wěn)定在平衡點(diǎn)處，系統(tǒng)失穩(wěn).

綜上所述，阻尼系數(shù)在給定范圍內(nèi)，系統(tǒng)是小干擾穩(wěn)定的.在隨機(jī)小擾動(dòng)下，依據(jù)所述定理，系統(tǒng)是依概率穩(wěn)定的，圖1所示系統(tǒng)運(yùn)行點(diǎn)幾乎可以穩(wěn)定在擾動(dòng)前的穩(wěn)態(tài)初值，即系統(tǒng)穩(wěn)定；而在大擾動(dòng)下，圖2所示系統(tǒng)角速度變化更明顯，系統(tǒng)運(yùn)行點(diǎn)不能穩(wěn)定在擾動(dòng)前的穩(wěn)態(tài)初值，即系統(tǒng)失穩(wěn).

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于系統(tǒng)不定參數(shù)建立了系統(tǒng)的隨機(jī)模型，并對(duì)電力系統(tǒng)在隨機(jī)擾動(dòng)下的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，給出了系統(tǒng)依概率穩(wěn)定性定理，明確了保證系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)與隨機(jī)激勵(lì)之間的約束關(guān)系.仿真結(jié)果驗(yàn)證了所得理論的合理性與正確性.本文基于不定參數(shù)與隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模與穩(wěn)定性分析，能夠更準(zhǔn)確地描述實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，所得結(jié)論方法更具實(shí)際價(jià)值，有望更好地應(yīng)用于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制.由于實(shí)際運(yùn)行中系統(tǒng)的輸入端也會(huì)受到外部不確定擾動(dòng)的影響，下一步的研究將會(huì)在系統(tǒng)輸入端加入隨機(jī)擾動(dòng)后再對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析.