基于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)優(yōu)化的雙基地ISAR稀疏成像算法

薛東方, 朱曉秀, 胡文華, 郭寶鋒, 曾慧燕

(陸軍工程大學石家莊校區(qū), 河北 石家莊 050003)

0 引 言

雙基地逆合成孔徑雷達(inverse synthetic aperture radar, ISAR)[1-3]繼承了雙基地雷達的獨特優(yōu)勢,利用收發(fā)分置模式增強了系統(tǒng)靈活性,提高了成像概率,對目標的監(jiān)視、跟蹤、成像與識別以及贏得未來戰(zhàn)爭都具有非常重要的意義[4-6]。

由于雙基地的收發(fā)分置特性以及對目標觀測時需要不斷切換波束,在觀測過程中容易引起回波缺失進而造成稀疏孔徑[7-9]。由于ISAR圖像的空域稀疏性[10-12],不少學者將壓縮感知(compressed sensing,CS)理論[13-16]應(yīng)用到了ISAR成像中,以提高成像質(zhì)量。在重構(gòu)算法的選擇上,貪婪迭代類算法雖然原理簡單,易于實現(xiàn),但重構(gòu)精度不高,特別是在低信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)條件下,算法的重構(gòu)性能易受影響。

文獻[17]利用貝葉斯解釋,假設(shè)目標圖像各像元稀疏同分布,將ISAR成像問題轉(zhuǎn)化為最大后驗概率估計問題,并等價于l1范數(shù)優(yōu)化問題進行求解,實現(xiàn)了ISAR圖像重構(gòu),在低SNR條件下有較好的聚焦效果和噪聲抑制能力。文獻[18]將該方法應(yīng)用到稀疏孔徑當中,利用稀疏孔徑數(shù)據(jù)得到了聚焦良好的ISAR圖像,同時具有有效的噪聲抑制效果。但該算法在實現(xiàn)過程中假設(shè)圖像各像元服從獨立同分布的稀疏先驗,即假設(shè)目標圖像中的所有元素服從同一Laplace分布,并沒有區(qū)分各像元的幅度大小。然而在ISAR成像過程中,目標通常靠近零多普勒成像,由于相鄰散射點具有相近的幅度值,若能利用這種能量聚集和目標的幾何結(jié)構(gòu)特性,必將有效提高成像性能[19]。在貝葉斯估計問題中,如何利用目標信號的特征則表現(xiàn)為如何選擇一個更符合目標特性的先驗?zāi)Ｐ汀橛行Ю媚繕说哪芰烤奂徒Y(jié)構(gòu)特性,在建立稀疏先驗?zāi)Ｐ蜁r將目標圖像中的不同元素加以區(qū)別,假設(shè)它們獨立服從不同的Laplace分布,通過設(shè)置不同大小的尺度系數(shù)有效區(qū)分目標散射中心和噪聲,進一步提高算法的噪聲抑制性能和有效散射點提取能力。

因此,為充分利用圖像的像元信息以提高重構(gòu)質(zhì)量,本文提出一種基于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化的雙基地ISAR稀疏孔徑成像算法。首先,假設(shè)各像元稀疏非同分布,利用貝葉斯準則和最大后驗概率估計將雙基地ISAR稀疏孔徑成像問題轉(zhuǎn)化為加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束問題,建立成像模型;其次,利用柯西-牛頓算法進行加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化問題的求解,實現(xiàn)目標圖像重構(gòu),最后利用仿真實驗驗證算法的有效性和優(yōu)越性。

1 稀疏孔徑成像模型

1.1 雙基地ISAR成像信號模型

雙基地ISAR成像的幾何模型的建立與文獻[20]中相同,假設(shè)雷達發(fā)射線性調(diào)頻信號,脈沖重復(fù)周期為Tr,則信號可表示為

(1)

經(jīng)包絡(luò)對齊和相位校正后的雙基地ISAR回波的可近似為

(2)

式中,σP為散射點P的信號復(fù)幅度;xP和yP分別為散射點P的坐標;θ(tm)和β(tm)分別為成像期間內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角度和雙基地角,隨慢時間tm變化。

為了避免雙基地角時變引起越的分辨單元徙動和圖像畸變,需要構(gòu)造相應(yīng)的補償相位進行相位補償[21]。構(gòu)造的補償項為φcomp=exp[j(4πfc/c)yPcosθ(tm)cos(β(tm)/2)],得到相位補償后的一維距離像表達式為

(3)

假設(shè)在距離單元(2yP/c)cos(β(tm)/2)內(nèi)有Q個強散射點,則此單元的回波信號可表示為

(4)

式中,aq為第q個散射點的信號復(fù)幅度。

1.2 回波的稀疏表示

假設(shè)全孔徑回波信號中共包含L個脈沖視角,累積轉(zhuǎn)角為Δθ,構(gòu)造稀疏基矩陣Fall將二維成像場景離散化為N個距離單元和M個多普勒單元,則稀疏基矩陣可構(gòu)造為

(5)

考慮到實際噪聲的存在,則雙基地ISAR全孔徑回波可稀疏表示為

Sall=FallA+ε0

(6)

式中,Sall表示經(jīng)過運動補償和相位補償后的全孔徑二維回波數(shù)據(jù);ε0為噪聲;A為需要求解的目標圖像。假設(shè)在稀疏孔徑條件下,S表示融合的有效孔徑回波數(shù)據(jù),共包含J(J

S=TSall+ε=TFallA+ε=FA+ε

(7)

式中,T為有效數(shù)據(jù)選擇矩陣;F為在稀疏基矩陣;ε為J×N復(fù)噪聲矩陣。為方便求解,將式(7)矢量化表示為

(8)

式中,sn、εn和an分別表示第“n”個距離單元對應(yīng)的回波數(shù)據(jù)矢量、噪聲矢量和目標圖像矢量。

2 算法實現(xiàn)

2.1 模型轉(zhuǎn)化

假設(shè)ε是復(fù)Gaussian白噪聲,其元素隨機且獨立同分布,服從復(fù)Gaussian分布,均值為0,方差為σ2,則ε的概率密度函數(shù)為

(9)

(10)

為了更好地利用圖像稀疏信息,利用Laplace概率分布表征目標的稀疏性,假設(shè)目標圖像各像元amn獨立服從不同的Laplace先驗分布[22],則

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(10)和式(12)代入式(14),可得

(15)

式(15)的目標圖像求解公式表示,通過引入非同分布稀疏先驗?zāi)Ｐ?即利用Laplace先驗的尺度系數(shù)γmn。若散射點幅值較大,則γ值設(shè)置較小,以提高其出現(xiàn)大值的可能性,若散射點幅值較小或為噪聲空間,則γ值設(shè)置較大,對其實現(xiàn)抑制效果。相比于沒有區(qū)分像元幅度大小的l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法[17],這種區(qū)分了各像元幅度大小的加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法會帶來更好的成像效果。

2.2 算法求解

要根據(jù)式(15)求解得到目標圖像,首先需要求解Laplace先驗的尺度系數(shù)γmn,然后再求解l1范數(shù)最優(yōu)化問題。

2.2.1 尺度系數(shù)求解

對于尺度系數(shù)γmn的取值大小,可用最大似然的方法進行估計,為方便求解,在對數(shù)域進行估計,式(12)的對數(shù)似然函數(shù)為

(16)

對γmn求導(dǎo)并等于零,可得

(17)

得到尺度系數(shù)γmn的估計為

(18)

由式(18)可以看出,尺度因子的大小與目標圖像各像元的幅度有關(guān),即加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法是通過目標圖像中非零元大小來確定權(quán)值大小,因此在成像過程中利用了非零元幅度的大小差異,更有利于提高成像精度和抗噪能力。

2.2.2 優(yōu)化問題求解

基于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法主要是對式(15)表示的最優(yōu)化問題進行求解,可利用柯西-牛頓迭代法進行求解,并采用共軛梯度算法[24]加快收斂速度,下面給出具體的求解過程。

由于式(15)中的l1范數(shù)在零點處不可導(dǎo),首先可對其引入平滑近似[25]:

(19)

式中,?是一個很小的非負常數(shù),則式(15)中的優(yōu)化問題可近似表示為

(20)

(21)

式中,

(22)

(23)

式中,β為迭代步長。將式(21)代入式(23)并令β=1,可得到目標圖像矢量的估計值:

(24)

3 算法流程

綜上所述,基于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化成像算法實現(xiàn)流程如圖1所示。主要實現(xiàn)步驟如下。

圖1 基于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法實現(xiàn)流程

由于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束的權(quán)值是由迭代過程中目標圖像的像元幅度決定的,利用較大的尺度系數(shù)對噪聲像元進行約束,利用較小的尺度系數(shù)對強散射點像元進行約束,能在提高強散射點出現(xiàn)概率的同時對噪聲實現(xiàn)更好的抑制作用。相比于像元稀疏同分布方法而言,能有效提高成像精度和抗噪聲干擾能力,更有利于提高成像質(zhì)量。

4 仿真實驗與分析

本部分利用兩個仿真實驗驗證加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束算法的有效性和優(yōu)越性。首先,在不同SNR條件下,利用本文所提算法與l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法以及貪婪算法中的CoSaMP算法[26]對一維信號進行稀疏重構(gòu),通過對比其重構(gòu)性能,驗證所提算法的優(yōu)越性。然后,分別利用這三種算法對方位向稀疏孔徑的雙基地ISAR進行成像,以驗證算法的雙基地ISAR成像性能。

4.1 一維信號稀疏重構(gòu)性能驗證

圖2 不同SNR條件下信號重構(gòu)結(jié)果

可以看出,在SNR=20 dB的情況下,3種算法都能準確地重構(gòu)出非零元素的位置,但CoSaMP算法所得結(jié)果的非零元素幅度值略小于原始值,而l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法和加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法所得結(jié)果的非零元素幅度基本與原始值一致。在SNR=10 dB的情況下,CoSaMP算法和l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法雖也能準確地重構(gòu)出非零元素位置,但其幅度值與原始值相差較多,導(dǎo)致重構(gòu)誤差較大,而且在其他零元素位置會出現(xiàn)幅值較小的虛假點,而此時加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法所得結(jié)果的非零元素幅度仍與原始值基本一致。在SNR=0 dB的情況下,CoSaMP算法和l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法受噪聲水平影響較大,重構(gòu)結(jié)果中有大量的噪聲沒有被抑制,出現(xiàn)了較多的虛假點,而且在重構(gòu)幅度上與原始信號相差較大,導(dǎo)致重構(gòu)誤差較大,而加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法仍能較為準確地重構(gòu)出非零元素的位置和幅度,且噪聲抑制效果較好,體現(xiàn)了算法有較強的抗噪性能。

為進一步比較算法的重構(gòu)性能,采用均方根誤差均方根誤差(root mean square error, RMSE)衡量信號的重構(gòu)效果,其定義為

(25)

在3種SNR條件下,利用3種算法恢復(fù)信號時的RMSE值如表1所示。可以看出,在相同的SNR條件下,加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法的RMSE值最小,其次是l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法,CoSaMP算法的RMSE值較大。隨著SNR減小,CoSaMP算法和l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法的RMSE值增大較多,性能下降較快,而加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)稀疏約束最優(yōu)化算法的RMSE值變化較小,說明加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法具有更好的強散射點提取能力和抗噪聲干擾能力。

表1 信號重構(gòu)的RMSE值

4.2 簡單目標雙基地ISAR稀疏成像性能仿真

4.2.1 仿真場景和參數(shù)設(shè)置

雙基地ISAR仿真場景如圖3所示,假設(shè)雙基地基線長度為400 km,目標在300 km的高度以3 km/s的速度沿基線方向由發(fā)射站向接收站勻速運動,運動軌跡為圖中粗橫線所示,成像起點運動軌跡高度上距接收站右側(cè)水平距離70 km處。目標的散射點模型如圖4所示,該模型由100個散射點組成,成像的仿真參數(shù)設(shè)置如表2所示。假設(shè)成像觀測時間為10 s,累積脈沖數(shù)為500個,在此成像段內(nèi)雙基地角和累積轉(zhuǎn)角變化曲線如圖5所示,其中,圖5(a)為雙基地角變化曲線,圖5(b)為累積轉(zhuǎn)角變化曲線。

圖3 仿真場景

圖4 散射點目標模型

表2 成像參數(shù)設(shè)置

圖5 雙基地角和累積轉(zhuǎn)角變化曲線圖

4.2.2 算法的抗噪性能驗證

為比較算法在雙基地ISAR稀疏孔徑條件下的成像性能,利用CoSaMP算法、l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法和本文所提的加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法實現(xiàn)雙基地ISAR稀疏孔徑成像。假設(shè)方位向孔徑隨機缺失50%,在SNR為20 dB、10 dB和0 dB條件下分別利用3種算法實現(xiàn)雙基地ISAR稀疏孔徑成像,成像結(jié)果如圖6所示。從成像結(jié)果可以看出,當SNR較高(如20 dB)時,利用3種CS重構(gòu)算法均能較好地實現(xiàn)雙基地ISAR稀疏孔徑成像,但隨著SNR降低,基于CoSaMP算法和l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法的成像結(jié)果質(zhì)量明顯有所下降,其中利用l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法成像結(jié)果稍好于CoSaMP算法,而基于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法仍能得到較高質(zhì)量的ISAR圖像,特別是當SNR為0 dB時,利用CoSaMP算法成像時對噪聲抑制能力不強,出現(xiàn)了較多的干擾噪點,嚴重影響成像質(zhì)量,利用l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法成像雖效果比CoSaMP算法較好,但存在“虛影”和少許噪點,成像質(zhì)量不佳,而加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法在低SNR條件下仍能得到較好的成像結(jié)果。

圖6 不同SNR條件下簡單目標成像結(jié)果

為方便直觀比較算法性能,采用目標背景比(target-to-background ratio,TBR)、圖像對比度C和RMSE作為圖像衡量標準,其中TBR、C和RMSE的定義可表示為

(26)

式中,T和B分別表示目標和背景支撐區(qū),將目標能量較為聚集的區(qū)域作為目標支撐區(qū),其余單元作為背景支撐區(qū);E(·)表示取平均操作。TBR能有效表征目標圖像的能量聚焦程度,可以評價目標圖像的噪聲抑制能力和聚焦能力,值越大越好;圖像對比度可以評價目標圖像的整體聚焦質(zhì)量,也是值越大越好;均方根誤差可評價算法的重構(gòu)精度,值越小表示重構(gòu)精度越高。利用CS算法重構(gòu)出的圖像衡量指標值如表3所示。

表3 不同SNR條件下成像結(jié)果衡量指標對比

從表3中的數(shù)據(jù)可以看出,隨著SNR減小,3種算法成像結(jié)果的TBR值和圖像對比度值也減小,RMSE增加,且在相同的SNR條件下,利用加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法所得圖像的TBR值和圖像對比度值最大,RMSE值最小,其次是l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法,而利用CoSaMP算法的TBR值和圖像對比度值最小,RMSE值最大,說明在低SNR條件下,利用加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法能比其他兩種算法得到更高質(zhì)量的圖像,實現(xiàn)更高精度的重構(gòu),體現(xiàn)了本文所提算法的優(yōu)越性。

4.3 復(fù)雜目標雙基地ISAR稀疏成像性能仿真

為進一步驗證算法的成像性能,本小節(jié)采用復(fù)雜的電磁散射模型進行仿真實驗。

4.3.1 目標模型

采用典型的衛(wèi)星目標為仿真目標,其計算機輔助設(shè)計(computer aided design, CAD)模型如圖7所示。利用物理光學法,獲得目標的電磁散射特性分布數(shù)據(jù)[27],并利用該數(shù)據(jù)進行后續(xù)的仿真實驗。仿真場景和參數(shù)設(shè)置與第4.2.1節(jié)一致,對回波數(shù)據(jù)進行平動補償?shù)忍幚砗?可得到如圖8所示的一維距離像和RD算法成像結(jié)果。

圖7 典型衛(wèi)星目標CAD模型

圖8 全孔徑一維距離像及RD成像結(jié)果

4.3.2 算法的抗噪性能驗證

利用CoSaMP算法、l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法和本文所提的加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法實現(xiàn)雙基地ISAR稀疏孔徑成像。為比較算法的抗噪性能,假設(shè)方位向孔徑隨機缺失50%,在SNR為20 dB、10 dB和0 dB條件下分別利用3種算法實現(xiàn)雙基地ISAR稀疏孔徑成像,成像結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同SNR條件下復(fù)雜目標成像結(jié)果

從成像結(jié)果可以看出,在相同的SNR條件下,l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法的成像結(jié)果稍好于CoSaMP算法,而基于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法所得的成像結(jié)果最好,特別是在低SNR條件下,基于CoSaMP算法和l1范數(shù)約束最優(yōu)化算法的成像結(jié)果質(zhì)量明顯下降,出現(xiàn)了較多的干擾噪點,利用本文所提的加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束最優(yōu)化算法能比其他兩種算法得到更高質(zhì)量的圖像,重構(gòu)圖像結(jié)果中背景干凈,達到了較好的噪聲抑制效果,體現(xiàn)了所提算法在抗噪性能方面的優(yōu)越性。

5 結(jié) 論

為提高低SNR條件下雙基地ISAR稀疏孔徑成像質(zhì)量,提出了一種基于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)優(yōu)化的高分辨成像算法。在構(gòu)建先驗?zāi)Ｐ蜁r,以加權(quán)的思想,假設(shè)各像元稀疏非同分布,充分利用了雙基地ISAR成像時目標的能量聚集特性和結(jié)構(gòu)特性。在求解時,利用貝葉斯準則和最大后驗概率估計將雙基地ISAR稀疏孔徑成像問題轉(zhuǎn)化為加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束問題,采用柯西-牛頓算法進行求解,實現(xiàn)目標圖像重構(gòu)。仿真實驗表明,所提算法具有更好的強散射點提取能力和抗噪聲干擾能力,在低SNR條件下能實現(xiàn)更好的稀疏重構(gòu)。但受實驗條件限制,本文的實驗均是在仿真數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上進行的,下一步需要利用微波暗室測量數(shù)據(jù)或外場實測數(shù)據(jù)進一步驗證算法性能。