基于U變換的單片梁抗彎剛度識(shí)別分析

楊雨厚　譚鋒

摘要：為識(shí)別單片梁抗彎剛度，文章基于U變換法，將梁體均勻分段并擴(kuò)展，構(gòu)造一個(gè)等效的循環(huán)周期結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，在外加力的作用下建立控制方程，再對(duì)控制方程應(yīng)用U變換法推導(dǎo)出任意位置截面轉(zhuǎn)角的表達(dá)式，建立關(guān)鍵截面轉(zhuǎn)角與單片梁抗彎剛度之間的關(guān)系方程組，反向求解出梁體抗彎剛度值，并在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)值模擬方法驗(yàn)證了該識(shí)別方法的可靠性。

關(guān)鍵詞：單片梁;轉(zhuǎn)角;抗彎剛度;U變換

0 引言

預(yù)制拼裝梁是中小橋梁采用的主要橋型[1-4]。針對(duì)該類型橋梁的質(zhì)量控制，在梁場進(jìn)行單片預(yù)制梁靜載試驗(yàn)是常被采用的檢驗(yàn)方法。然而，目前單梁靜載試驗(yàn)方法[5-8]雖采集了大量數(shù)據(jù)，但僅是與理論值進(jìn)行對(duì)比來判斷梁體質(zhì)量，隱含在數(shù)據(jù)中的大量信息未被充分挖掘出來?；诖?，本文探索采用新方法從靜載試驗(yàn)數(shù)據(jù)中得到更多結(jié)構(gòu)信息。

U變換法被廣泛應(yīng)用于周期結(jié)構(gòu)的分析研究[9-10]，具有給出結(jié)構(gòu)控制方程相應(yīng)的精確解析解的優(yōu)點(diǎn)，是循環(huán)周期結(jié)構(gòu)理論分析的一種可靠手段。本文采用有限元法和U變換法綜合進(jìn)行分析研究。為構(gòu)造具有結(jié)構(gòu)上循環(huán)周期性的等效系統(tǒng)，需對(duì)單片梁進(jìn)行對(duì)稱擴(kuò)展。同時(shí)為求得降階后的用廣義位移表示的控制方程，需依據(jù)有限元法給出結(jié)構(gòu)的控制方程，通過U變換法對(duì)撓度、轉(zhuǎn)角變量進(jìn)行變換。進(jìn)一步地，以集中荷載作用下的單片梁為例，推導(dǎo)出任意位置截面轉(zhuǎn)角的表達(dá)式。最后，結(jié)合橋梁關(guān)鍵部位的結(jié)構(gòu)位移，推導(dǎo)出實(shí)際橋梁的剛度值與具體集中力值的大小。

1 理論推導(dǎo)

一片材質(zhì)均勻的等截面簡支單片梁，其長度為L，采用有限元“分割”的思想對(duì)其進(jìn)行等分，劃分為n個(gè)相同單元，每個(gè)單元的長度均為a。通過對(duì)單片梁的劃分，可以把其等效為有n個(gè)子系統(tǒng)的周期性結(jié)構(gòu)，j表示單元的編號(hào)，f1、f2…fn表示單片梁所受的荷載，如下頁圖1所示。

U變換法需要在圖1所示的簡支單片梁基礎(chǔ)上，構(gòu)造一個(gè)等效的循環(huán)周期系統(tǒng)。首先去掉簡支梁右邊的支座，再在右邊支座處進(jìn)行結(jié)構(gòu)擴(kuò)展，在擴(kuò)展結(jié)構(gòu)上作用與原結(jié)構(gòu)反對(duì)稱的荷載，構(gòu)造出擁有2n個(gè)子系統(tǒng)的周期性結(jié)構(gòu)，如圖2所示。在構(gòu)造出的新結(jié)構(gòu)中，其左半邊梁和原結(jié)構(gòu)的邊界條件、荷載情況和結(jié)構(gòu)屬性完全一致，因此圖2結(jié)構(gòu)是圖1簡支梁的等效結(jié)構(gòu)。當(dāng)單片梁劃分的單元數(shù)n→∞時(shí)，擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的左右兩端可以看作相互連接在一起，從數(shù)學(xué)的角度來說，圖2結(jié)構(gòu)是左右兩端相互連接在一起的具有2n個(gè)子結(jié)構(gòu)的循環(huán)周期結(jié)構(gòu)。

為求解控制方程，先做以下假設(shè)：

（1）已知荷載作用在每個(gè)單元的中間，并關(guān)于單元正對(duì)稱;

（2）分段內(nèi)每個(gè)單元的抗彎剛度相等;

（3）不考慮質(zhì)量損傷。

對(duì)于劃分n個(gè)等長度單元后的簡支單片梁，第j1個(gè)單元中心（a1=a2）受到集中力作用，如圖3所示。

通過式（25），可以求解出單片梁劃分的任意單元的左節(jié)點(diǎn)位移（包括撓度和轉(zhuǎn)角）。

2 轉(zhuǎn)角系數(shù)與平衡方程的確定

2.1 通用平衡方程的確定

一片材質(zhì)均勻的等截面簡支單片梁，其長度為L，劃分為n個(gè)相同單元，在各個(gè)單元跨中截面位置分別施加任意大小的集中力，如圖4所示。根據(jù)線性疊加原理，則有下式成立：

2.2 實(shí)例分析

設(shè)單片梁為C50混凝土簡支梁，截面寬和高均為0.10 m（截面抗彎剛度數(shù)值為287.5 kN·m），計(jì)算跨徑為4.00 m。從上節(jié)理論推導(dǎo)可知，結(jié)構(gòu)中某單元左右兩端的位移受到力作用位置以及荷載大小的影響。本節(jié)先討論作用在簡支梁某單元上的集中力對(duì)各個(gè)單元左右兩端位移的影響。將單片梁按計(jì)算跨徑四等分，在各個(gè)單元跨中截面位置分別施加1 kN的單位集中力，通過U變換法計(jì)算此時(shí)梁支點(diǎn)及四分點(diǎn)截面轉(zhuǎn)角值。結(jié)構(gòu)受力圖見圖5。為求解不同單元位置力對(duì)節(jié)點(diǎn)位移的影響，通過式（25）由mathematica求解出關(guān)于EI（該梁抗彎剛度）的各節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移，詳見表1。

3 有限元數(shù)值方法驗(yàn)證

根據(jù)上一小節(jié)的介紹，使用通用程序建立有限元計(jì)算模型，分別考慮在單個(gè)力、兩個(gè)力、多個(gè)力作用下的荷載工況。在已知單片簡支梁總的作用力，以及有限元求得各個(gè)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角的基礎(chǔ)上，代入式（27）來驗(yàn)證U變換法的可行性。

3.1 單個(gè)力作用時(shí)有限元數(shù)值方法驗(yàn)證

在3 #單元跨中作用0.7 kN的力，通過有限元方法計(jì)算此時(shí)梁劃分單元的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的截面轉(zhuǎn)角值。結(jié)構(gòu)受力圖見圖6。

在單個(gè)力的作用下，采用U變換法通過mathematica求解得到的抗彎剛度值和3 #單元跨中集中力的大小分別與有限元模型中設(shè)置材料的抗彎剛度值和施加的力值相對(duì)誤差為+0.19%、+0.19%，驗(yàn)證了U變換法是有效且準(zhǔn)確的。

3.2 兩個(gè)力作用時(shí)有限元數(shù)值方法驗(yàn)證

在2 #、4 #單元跨中分別作用0.5 kN和0.8 kN的力，通過有限元方法計(jì)算此時(shí)梁劃分單元的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的截面轉(zhuǎn)角值。結(jié)構(gòu)受力圖見圖7。

在兩個(gè)力的作用下，采用U變換法通過mathematica求解得到的抗彎剛度值與有限元模型中設(shè)置材料的抗彎剛度值相對(duì)誤差為+0.15%，2 #、4 #單元跨中集中力的大小與有限元模型中施加的力值大小相對(duì)誤差分別為+0.20%、-0.17%，驗(yàn)證了U變換法是有效且準(zhǔn)確的。

3.3 多個(gè)力有限元數(shù)值方法驗(yàn)證

在1 #、2 #、3 #和4 #單元跨中分別作用1 kN、0.5 kN、0.7 kN和0.8 kN的力，通過有限元方法計(jì)算此時(shí)梁劃分單元的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的截面轉(zhuǎn)角值。結(jié)構(gòu)受力圖見圖8。

在多個(gè)力的作用下，采用U變換法通過mathematica求解得到的抗彎剛度值與有限元模型中設(shè)置材料的抗彎剛度值相對(duì)誤差為+0.03%，1 #、2 #、3 #、4 #單元跨中集中力的大小與有限元模型中施加的力值大小相對(duì)誤差分別為+0.08%、-0.15%、+0.24%、-0.21%，驗(yàn)證了U變換法是有效且準(zhǔn)確的。

4 結(jié)語

本文采用U變換法，對(duì)單片等截面簡支梁進(jìn)行了解析分析，推導(dǎo)出單片梁在集中力作用下各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移的解析表達(dá)式，提出了一種基于靜力荷載作用下測試轉(zhuǎn)角的抗彎剛度識(shí)別方法。同時(shí)，以某一片簡支單梁為例，采用U變換法通過mathematica計(jì)算出各個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角系數(shù)，然后采用平衡方程求解得到作用力的大小和單片梁的抗彎剛度，并利用有限元模型驗(yàn)證了該方法的可靠性。U變換法具有清晰的理論基礎(chǔ)，不須知道單片梁的材料特性、配筋和截面尺寸等，只需提供單片梁在集中荷載作用下的實(shí)測轉(zhuǎn)角值，即可求出該梁的抗彎剛度。集中力的數(shù)量對(duì)抗彎剛度的識(shí)別有一定影響，識(shí)別誤差隨集中力數(shù)量的增加而減小。該方法可用于單片梁靜載試驗(yàn)的結(jié)果評(píng)估，下一步將探索該方法在變截面梁中的應(yīng)用。

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