基于線性規(guī)劃理論的大跨徑懸臂澆筑拱橋施工階段臨時(shí)預(yù)應(yīng)力效應(yīng)分析

熊興兵,周 旭,王祺順,田仲初,吳 欣

(1.貴州高速公路集團(tuán)有限公司,貴州 貴陽(yáng) 550000;2.湖南省交通科學(xué)研究院有限公司 交通建設(shè)工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南 長(zhǎng)沙 410015;3.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410114)

近年來(lái)，斜拉扣掛懸臂澆筑施工法在西南部山區(qū)大跨徑鋼筋混凝土拱橋中得到廣泛應(yīng)用，我國(guó)使用該種工藝先后修建了白沙溝大橋、新密地大橋、木蓬大橋、馬蹄河大橋等眾多具有代表性的橋梁。但是隨著拱圈跨徑增大、拱圈節(jié)段自重的增加，傳統(tǒng)的通過(guò)扣索索力以降低施工過(guò)程中拱圈截面應(yīng)力的方法已經(jīng)凸顯其瓶頸，如扣錨索反復(fù)張拉至斷裂、扣索索力值安全系數(shù)低、扣塔局部應(yīng)力集中等。故必須對(duì)原有的斜拉扣掛法進(jìn)行工藝上的改進(jìn)以確保懸臂澆筑施工時(shí)結(jié)構(gòu)的安全性。本文以貴州省在建的沙坨特大橋?yàn)橐劳泄こ?，基于線性規(guī)劃理論，分析研究主拱圈施工過(guò)程中施加臨時(shí)預(yù)應(yīng)力后結(jié)構(gòu)響應(yīng)規(guī)律，以期該項(xiàng)研究成果能持續(xù)用于特大跨鋼筋混凝土拱橋施工及監(jiān)控，為該類橋型跨徑推至300 m級(jí)理論及技術(shù)方法提供借鑒[1-2]。

1 線性規(guī)劃理論及實(shí)現(xiàn)

1.1 線性規(guī)劃基本理論

線性規(guī)劃是最優(yōu)化體系中最為簡(jiǎn)單的、最為基礎(chǔ)的一種問(wèn)題，同時(shí)也是實(shí)際用中較為常見(jiàn)的問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)形式為：

xi≥0，i=1,2,3,…,m

(1)

或：

mincTx,

Ax=b,x≥0

(2)

式中：x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn;c=(c1,c2,…,cn)T∈Rn，A=(a1,a2,…,am)T∈Rm×n;b=(b1,b2,…,bm)T∈Rm，向量不等式按分量取。

如果一個(gè)線形規(guī)劃問(wèn)題有最優(yōu)解，那么一定有最優(yōu)基可行解，由此，找出對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)最小的基可行解即得到線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。采用單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題的基本思路為：從線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基可行解出發(fā)，逐步改良目標(biāo)函數(shù)的值，直到求出滿足條件的最優(yōu)基本可行解，其具體步驟如下：

① 確定初始基可行解；② 檢查初始目標(biāo)函數(shù)是否最優(yōu)；③ 如果不是，再求出另外的沒(méi)有檢查過(guò)的基本可行解，再進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)性檢查；④ 如此循環(huán)，直至求得最優(yōu)解為止。

根據(jù)線性規(guī)劃的對(duì)偶理論：互為對(duì)偶問(wèn)題的兩個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，如果其中之一有最優(yōu)解，則另一個(gè)也有最優(yōu)解，而且兩問(wèn)題的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值相等。

線性規(guī)劃屬于凸規(guī)劃的問(wèn)題，凸規(guī)劃問(wèn)題有解的KKT條件如下：如果x*是線性規(guī)劃問(wèn)題(1)的最優(yōu)解，則存在相應(yīng)的拉格朗日乘子向量λ*∈Rm，u*∈Rn使得：

u*≥0，x*≥0，u*Tx*=0；

λ*≥0，Ax*-b≥0，λT(Ax*-b)=0；

c-ATλ*-u*=0

(3)

可得出，λ*屬于式(3)的可行域中，且：

bTλ*=λ*TAx*=cTx*

(4)

若λ*是式(1)對(duì)偶形式的最優(yōu)解，則其相應(yīng)的拉格朗日乘子就是式(1)的最優(yōu)解。

1.2 線性規(guī)劃理論在MATLAB中的實(shí)現(xiàn)

對(duì)于懸臂澆筑施工法施工的拱橋，其施工過(guò)程中的優(yōu)化問(wèn)題實(shí)際是多目標(biāo)多約束問(wèn)題。本文擬采用構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)的方式進(jìn)行求解，調(diào)用MATLAB工具箱中fminimax函數(shù)，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為如下形式：

A1x≤b1，A2x=b2，l≤x≤u

(5)

其中,fi(x)為原優(yōu)化模型的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)，其他各符號(hào)的規(guī)定以及編程時(shí)函數(shù)的賦值方法與上述的線性規(guī)劃一致。然后再調(diào)用fminimax函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，得到的最優(yōu)解即可作為原優(yōu)化模型的最優(yōu)解，常用調(diào)用格式為：

[x,fval]=

fminimax(fun,x0,A1,b1,A2,b2,l,u)

(6)

其中，fun表示原優(yōu)化模型各目標(biāo)函數(shù)組成的等式組，x0為變量的初值(優(yōu)化模型變量初值可取通過(guò)線性規(guī)劃優(yōu)化所得最優(yōu)化值，帶入有限元模型進(jìn)行正裝分析所得到的最大懸臂階段的變量值)，此調(diào)用格式可求出目標(biāo)函數(shù)的最大最小化解x，并返回此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值。

2 工程概況

沙坨特大橋位于貴州省境內(nèi)，橫跨烏江，屬于某縣的水毀搶險(xiǎn)重點(diǎn)重建工程，主橋?yàn)樘卮罂缍蠕摻罨炷辽铣惺焦皹颍摌蛏喜拷Y(jié)構(gòu)為 240 m 鋼筋混凝土箱型拱橋，下部結(jié)構(gòu)為鋼筋混凝土拱座，主拱圈采用斜拉扣掛，掛籃懸臂澆筑的施工工藝進(jìn)行施工，拱圈縱向共分為 37 個(gè)節(jié)段，其中兩岸拱腳位置 1 號(hào)節(jié)段為支架現(xiàn)澆段，拱頂設(shè)一個(gè)吊架澆筑合攏段，其余 34 個(gè)節(jié)段為懸澆段。拱圈矢跨比為1/6，共軸系數(shù)為1.85，橋下具有通航要求，通航凈空為10 m，該橋的橋型立面圖以及施工中扣錨索總體布置及拱圈節(jié)段劃分立面圖分別見(jiàn)圖1、圖2。

圖1 沙陀特大橋橋型布置圖

圖2 斜拉扣掛體系布置示意圖

對(duì)該橋建立有限元模型，在初步設(shè)計(jì)索力下，拱圈10#～17#節(jié)段頂板峰值應(yīng)力較大，故對(duì)以上節(jié)段頂板位置配置臨時(shí)預(yù)應(yīng)力，預(yù)應(yīng)力公稱直徑為15.2 mm，張拉控制應(yīng)力為1 395 MPa。根據(jù)局部有限元計(jì)算結(jié)果，預(yù)應(yīng)力布置位置位于頂板中心線處，并分散布置[3](見(jiàn)圖3、圖4)。

圖3 預(yù)應(yīng)力縱向布置示意圖

圖4 預(yù)應(yīng)力截面布置示意圖

3 優(yōu)化程序及有限元建模

本文目標(biāo)函數(shù)為臨時(shí)預(yù)應(yīng)力面積最小，施工過(guò)程中拱圈上下緣截面應(yīng)力為約束條件，同時(shí)控制各扣錨索的安全系數(shù)不小于2.5，建立以下數(shù)學(xué)模型：

gj(x)=Tn-1-(1+a)Tn≤0；

(i=1,2,3,…,m)

(7)

調(diào)用fminimax函數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行矩陣運(yùn)算，求解索力與臨時(shí)預(yù)應(yīng)力耦合作用下拱圈截面應(yīng)力的影響系數(shù)(圖5)，得到滿足約束條件的預(yù)應(yīng)力最小數(shù)量(表1)。

圖5 拱圈頂?shù)装鍛?yīng)力影響系數(shù)曲面圖

表1 施工過(guò)程中最小預(yù)應(yīng)力數(shù)量表Table 1 Minimum Prestressed Quantity Table during Con-struction節(jié)段號(hào)預(yù)應(yīng)力筋數(shù)量節(jié)段號(hào)預(yù)應(yīng)力筋數(shù)量10#節(jié)段3214#節(jié)段6811#節(jié)段3615#節(jié)段6012#節(jié)段5216#節(jié)段4813#節(jié)段6017#節(jié)段32

使用有限元軟件建立沙坨特大橋結(jié)構(gòu)仿真模型，嚴(yán)格模擬施工階段，成橋模型中各部位(主拱圈、以及拱上建筑)均采用了梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，扣錨索使用索單元進(jìn)行模擬，并通過(guò)Ernst公式修正彈性模量。出于模擬主拱圈施工的需要以及方便模型快速精確的計(jì)算需要，主拱圈只在橫隔板處、截面頂、底板變化處以及拱腳現(xiàn)澆節(jié)段、拱頂合攏節(jié)段和標(biāo)準(zhǔn)懸澆節(jié)段的節(jié)段劃分出進(jìn)行了節(jié)點(diǎn)劃分，將主拱圈離散為96個(gè)節(jié)點(diǎn)，95個(gè)單元，有限元模型如圖6、圖7所示。

圖6 整體有限元模型

圖7 施工階段有限元模型

4 計(jì)算結(jié)果

將求解得到的預(yù)應(yīng)力數(shù)量輸入至有限元軟件中，考慮扣錨索索力與預(yù)應(yīng)力耦合作用，提取主拱結(jié)構(gòu)響應(yīng)結(jié)果如下。

4.1 拱圈應(yīng)力結(jié)果

對(duì)比分析索力與預(yù)應(yīng)力耦合作用及索力單獨(dú)作用兩種情況下拱圈截面最大應(yīng)力值，結(jié)果如表2所示。

表2 施工階段拱圈應(yīng)力值Table 2 Arch ring stress value during construction節(jié)段號(hào)有預(yù)應(yīng)力/MPa無(wú)預(yù)應(yīng)力/MPa降幅/%增幅/%頂板底板頂板底板頂板底板10#0.311.221.470.9878.924.411#0.251.361.651.1484.819.312#0.381.031.70.8574.121.113#0.421.151.780.9276.425.014#0.510.911.630.7568.721.315#0.640.841.690.6862.123.516#0.571.071.570.8463.727.317#0.411.051.860.9177.915.4

計(jì)算結(jié)果表明：考慮索力與臨時(shí)預(yù)應(yīng)力耦合作用時(shí)，拱圈截面頂板應(yīng)力峰值均有顯著降低，降幅區(qū)間位于60%～85%，底板應(yīng)力峰值增幅均在30%以下。故配置臨時(shí)預(yù)應(yīng)力，可大幅度調(diào)整拱圈截面應(yīng)力幅值，保證拱圈在澆筑過(guò)程中強(qiáng)度安全。

4.2 扣錨索索力結(jié)果

對(duì)比分析索力與預(yù)應(yīng)力耦合作用及索力單獨(dú)作用兩種情況下索力值，結(jié)果如表3、表4所示

表3 索力與預(yù)應(yīng)力耦合作用下索力表Table 3 Cable force table under the coupling of cable force and prestresskN索號(hào)XK初拉力索號(hào)XM初拉力索號(hào)DK初拉力索號(hào)DM初拉力11 000198011 000195021 30021 02021 250298031 45031 18031 40031 08041 64041 28041 59041 22051 75051 54051 70051 52061 50061 78061 40061 60071 50071 30071 40071 18081 86081 65081 79081 53091 90091 71091 82091 600101 860101 780101 800101 620111 880111 840111 820111 700122 000121 980121 950121 860132 070132 190132 020132 010141 880142 170141 830142 090151 980152 110151 950151 960161 800162 040161 770161 950171 820172 240171 790172 100181 920181 980181 890181 940

表4 索力單獨(dú)作用下索力表Table 4 Cable force table under the action of cable forcekN索號(hào)XK初拉力索號(hào)XM初拉力索號(hào)DK初拉力索號(hào)DM初拉力11 180198011 180198021 48021 08021 48021 06031 60031 37031 60031 30041 67041 58041 67041 47051 86051 81051 79051 72061 77062 07061 72061 95071 58071 32071 53071 19081 62081 68081 57081 63091 75091 61091 74091 590101 930101 760101 870101 720111 980111 950111 900111 830122 020121 950121 920121 820132 130132 140132 120132 020142 480142 390142 330142 240152 650152 370152 490152 220162 550162 400162 450162 220172 480172 540172 380172 210182 200182 330182 170182 120

計(jì)算結(jié)果表明：考慮索力與預(yù)應(yīng)力耦合作用后，部分節(jié)段扣索初拉力降低，扣錨索安全系數(shù)增大，且各節(jié)段索力分布更為均勻，可有效防止個(gè)別扣錨索因局部反復(fù)受較大荷載發(fā)生疲勞斷裂現(xiàn)象。

4.3 扣塔應(yīng)力結(jié)果

對(duì)比分析索力與預(yù)應(yīng)力耦合作用及索力單獨(dú)作用兩種情況下扣塔最大應(yīng)力及變形結(jié)果，如圖8、圖9所示。

計(jì)算結(jié)果表明：在扣錨索索力單獨(dú)作用下，扣塔最大拉應(yīng)力為209.6 MPa，峰值應(yīng)力位置為扣塔立柱間的橫向連接桿，考慮臨時(shí)預(yù)應(yīng)力與扣錨索耦合作用時(shí)，扣塔最大拉應(yīng)力為155.8 MPa，峰值應(yīng)力出現(xiàn)位置與扣錨索索力單獨(dú)作用時(shí)相同。預(yù)應(yīng)力通過(guò)調(diào)節(jié)扣錨索索力值大小，顯著降低扣塔應(yīng)力峰值，同時(shí)，由于扣錨索索力峰值降低，扣塔高應(yīng)力區(qū)域減小，在一定程度上可降低其局部破壞風(fēng)險(xiǎn)。

圖8 扣索力作用下扣塔最大應(yīng)力云圖及峰值應(yīng)力位置

圖9 耦合作用下扣塔最大應(yīng)力云圖及峰值應(yīng)力位置

5 結(jié)論

本文基于線性規(guī)劃理論，通過(guò)建立多約束狀態(tài)下預(yù)應(yīng)力與截面應(yīng)力之間的數(shù)學(xué)模型，求解得到滿足約束條件的最小預(yù)應(yīng)力數(shù)量，并將其導(dǎo)入有限元軟件中進(jìn)行對(duì)比分析，可得到以下結(jié)論：

a.臨時(shí)預(yù)應(yīng)力對(duì)主拱圈截面應(yīng)力影響顯著，配置預(yù)應(yīng)力可大幅度降低拱圈上緣截面應(yīng)力峰值，降幅區(qū)間為60%～85%，底板應(yīng)力增幅則在30%以內(nèi)。

b.在臨時(shí)預(yù)應(yīng)力與扣錨索耦合作用下，扣錨索初拉力值有一定幅度降低，節(jié)段索力之間實(shí)現(xiàn)了“重分配”，扣錨索安全系數(shù)增大，索力值更為均勻。

c.在臨時(shí)預(yù)應(yīng)力與扣錨索耦合作用下，扣塔應(yīng)力峰值有顯著降低，高應(yīng)力區(qū)域減小，保證了扣塔在施工過(guò)程中的安全性。