基于商空間的語(yǔ)言型Z-number多準(zhǔn)則決策方法*

郭海艷，蘇靜文，李燕飛，吳 濤,3

(1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601；2.安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，合肥 230601；3.安徽大學(xué) 計(jì)算機(jī)智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230039)

0 引 言

在現(xiàn)實(shí)生活中，大多數(shù)的信息都是不確定的，在不精確、不確定的環(huán)境下進(jìn)行決策不可避免，故Zadeh[1]在模糊集的概念上，提出了一種新的模糊集理論——Z-number來(lái)描述不確定問(wèn)題，Z-number是一對(duì)有序模糊數(shù)，記作Z=(A，B)，其中第一部分A是實(shí)值不確定變量X取值的限制，第二部分B是對(duì)A的可靠性度量。Z-number反應(yīng)了變量的模糊性和隨機(jī)性，基于語(yǔ)言型Z-number對(duì)變量的描述，更符合人類(lèi)的表達(dá)習(xí)慣，因?yàn)樗哂锌梢悦枋龈兄畔⒛：院涂煽啃缘膬?yōu)越性，所以被越來(lái)越多的用于評(píng)估信息。但在基于Z-number語(yǔ)言環(huán)境的多準(zhǔn)則決策問(wèn)題中，通常伴隨著計(jì)算量大，計(jì)算復(fù)雜度高等問(wèn)題，Kang等[2]提出了將Z-number轉(zhuǎn)化為經(jīng)典模糊數(shù)的方法，方法將第二部分可靠性B轉(zhuǎn)化為一個(gè)確切數(shù)α，Z-number轉(zhuǎn)化后的模糊數(shù)可通過(guò)第一部分A和α結(jié)合可得，有效減小了處理Z-number問(wèn)題中的計(jì)算量。

QUALIFLEX決策方法利用了序數(shù)和基的信息，是一種靈活有用的決策方法，因此被用于處理各種語(yǔ)言環(huán)境下的決策問(wèn)題，Shuyang Song等[3]在區(qū)間粗糙數(shù)的環(huán)境下利用上、下近似使用QUALIFLEX方法決策，Zhang等[4]在猶豫模糊集的環(huán)境下基于符號(hào)距離比較使用QUALIFLEX方法進(jìn)行多準(zhǔn)則決策。QUALIFLEX方法對(duì)處理準(zhǔn)則數(shù)較大的問(wèn)題時(shí)頗具優(yōu)越性，但是不適用于方案集較大的決策問(wèn)題。將QUALIFLEX方法與商空間理論結(jié)合，有效降低計(jì)算復(fù)雜性，減少計(jì)算量，使得在語(yǔ)言型Z-number決策環(huán)境下，QUALIFLEX方法在方案集較大的決策問(wèn)題中也變得可行。

在Z-number轉(zhuǎn)化為經(jīng)典模糊數(shù)[2]方法的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一種基于商空間的Z-number多準(zhǔn)則決策問(wèn)題的方法。首先，通過(guò)定義的模糊度公式計(jì)算出各準(zhǔn)則的權(quán)重，然后，通過(guò)提出的兩兩比較方案的可能度公式得出方案與方案之間的優(yōu)劣程度，將其結(jié)果與所得權(quán)重集結(jié)，得出最終的決策矩陣。最后，根據(jù)商空間的保假原理，選擇合適的粒度空間搜索最優(yōu)排列，改進(jìn)了QUALIFLEX排序方法，得到方案的最優(yōu)排列，并用案例分析驗(yàn)證該方法的可行性與有效性。

1 基本理論

令S={si|i=0,1,2,…,2t,t∈N}為有限的語(yǔ)言型語(yǔ)集[6]，其中si為語(yǔ)言變量的可能取值，對(duì)?si,sj∈S，需滿足兩個(gè)條件：

(1)有序性：若i

(2)若i+j=2t，則-si=sj。

定義1[5]：給定論域U上的一個(gè)模糊集A，存在隸屬函數(shù)μA:U→[0,1]，若μA滿足：

則稱(chēng)A為三角模糊數(shù)，記為(a1,a2,a3)，圖像如圖1所示。

圖1 三角模糊數(shù)

(4)不可比較關(guān)系：若Zi，Zj不存在上述3種關(guān)系，則稱(chēng)Zi，Zj不可比較，記Zi⊥Zj。

商空間理論是張鈸等在1990年提出的問(wèn)題求解理論，該理論將問(wèn)題放在各種不同的粒度空間上進(jìn)行分析和研究，然后綜合得出對(duì)原問(wèn)題的解。在商空間理論中，用三元組(X，f，T)描述一個(gè)問(wèn)題，其中X表示問(wèn)題的論域；f表示論域的屬性，f:X→Y；T是論域的結(jié)構(gòu)，指論域X中各元素的相互關(guān)系。

定義3[7]：給定(X，f，T)和一個(gè)等價(jià)關(guān)系R之后，稱(chēng)([X]，[f]，[T])為問(wèn)題(X，f，T)對(duì)應(yīng)于等價(jià)關(guān)系R的商空間(其中R對(duì)應(yīng)于一定的粒度)，若滿足：

(1)[X]是對(duì)應(yīng)于等價(jià)關(guān)系R的商集。

(2)[T]：{u|p-1(u)∈T,u∈[X]}，p:X→[X]是自然投影。

(3)[f]：[X]→Y。

定義4[7]：設(shè)R1，R2∈R，若x,y∈X，xR1y→xR2y，則稱(chēng)R1比R2細(xì)，記R1

不同粒度世界之間存在的“保真”“保假”原理，為粒度推理提供了理論依據(jù)。

保假原理[8]：若一個(gè)命題在粗粒度空間為假，則命題在細(xì)粒度空間中也為假。

保真原理[8]：若一個(gè)命題在兩個(gè)粗粒度空間為真，則在一定條件下在其合成的商空間中的命題也為真。

在商空間理論中，選取適當(dāng)?shù)纳炭臻g對(duì)問(wèn)題的解決至關(guān)重要。一般可以從3個(gè)方面進(jìn)行粒度的劃分,一直接對(duì)論域X進(jìn)行顆粒化，將較小的粒度合成為新的粒度，二是通過(guò)屬性的粒度對(duì)論域X進(jìn)行劃分，三是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃分，都得到粗粒度的結(jié)構(gòu)。

2 基于商空間的QUALIFLEX改進(jìn)方法

可能度是描述一個(gè)方案不差于另一個(gè)方案的程度，構(gòu)造由Z-number轉(zhuǎn)化后的三角模糊數(shù)兩兩比較的可能度公式如下：

(1)

模糊度是衡量一個(gè)模糊集的模糊程度，模糊度數(shù)值越大，則模糊集的不確定性越大。模糊度的定義如下：

定義6[9]：若映射d:F(A)→[0,1]滿足條件：

(1)當(dāng)且僅當(dāng)A∈P(X)時(shí)，d(A)=0；

?x∈U,當(dāng)μB(x)≤μA(x)≤0.5，

則d(B)≤d(A)；

?x∈F(X),d(A)=d(AC)。

稱(chēng)映射d為F(A)上的一個(gè)模糊度，稱(chēng)d(A)為模糊集A的模糊度。

定義7：設(shè)有映射d:F(A)→[0,1]，x∈[0,1]令

(2)

則d(A)為A的模糊度。

證明：(1)當(dāng)A是清晰集時(shí)，即μA(x)=0或1，此時(shí)d(A)=0；當(dāng)d(A)=0?μA(x)=0或1，此時(shí)，A是清晰集。

(2)μA(x)=0.5?d(A)=1，此時(shí)，模糊集A的模糊度最大。

同理可得μB(x)≥μA(x)≥0.5時(shí)，

有d(B)≤d(A)。

4(1-μA(x))dx=

故d(A)為模糊集A的模糊度。

2.1 經(jīng)典QUALIFLEX決策方法

QUALIFLEX決策方法通過(guò)上述定義的可能度大小作為一致性指標(biāo)，然后找到綜合一致性最大的排列來(lái)確定最優(yōu)排列，進(jìn)而找出決策的最優(yōu)解。假設(shè)方案集A包含n個(gè)備選方案，則n種方案共存在n!種序關(guān)系。令Pl是所有排序中的第l種序關(guān)系。

Pl=(…,Aρ,…,Aβ,…),l=1,2,…,n!

(1)若L(Aρ?Aβ)>0，即備選方案Aρ優(yōu)于備選方案Aβ，則在該預(yù)次序中，一致性存在。

(2)若L(Aρ?Aβ)=0，即備選方案Aρ等價(jià)于備選方案Aβ，則在該預(yù)次序中，稱(chēng)他們等價(jià)。

(3)若L(Aρ?Aβ)<0，即備選方案Aρ劣于備選方案Aβ，則在預(yù)次序中，不一致性存在。

通過(guò)計(jì)算n!種序關(guān)系的綜合一致性指標(biāo)找到最優(yōu)排列，綜合一致性越大，則排列越優(yōu)。例：Pl的綜合一致性指標(biāo)計(jì)算如下：φl(shuí)=∑Aρ,Aβ∈Pl(L(Aρ?Aβ)).

2.2 QUALIFLEX改進(jìn)方法

Z-number的直接計(jì)算是復(fù)雜的，其優(yōu)劣比較通常需要經(jīng)過(guò)大量復(fù)雜的計(jì)算，但是在基于Z-number的多準(zhǔn)則決策中，通過(guò)定義2敘述的Z-number的優(yōu)勢(shì)關(guān)系下，可以直接比較兩個(gè)方案的優(yōu)劣。若在每個(gè)準(zhǔn)則下，方案Aρ都不差于(強(qiáng)優(yōu)勢(shì)、弱優(yōu)勢(shì)、等價(jià))方案Aβ，即Aρj?sAβj、Aρj?wAβj或Aρj～Aβj,(j=1,2,…,m)，此時(shí)，就可以說(shuō)方案Aρ是不差于方案Aβ的。由此可知，在基于QUALIFLEX的多準(zhǔn)則決策方法找到的最優(yōu)排列中，方案Aρ的排列次序肯定是先于方案Aβ的。

在處理多準(zhǔn)則決策問(wèn)題時(shí)，根據(jù)屬性對(duì)論域X進(jìn)行劃分。用商空間理論中的三元組(X，f，T)描述一個(gè)基于Z-number的QUALIFLEX多準(zhǔn)則決策問(wèn)題的決策方法，其中，X表示論域中最細(xì)的粒度，即QUALIFLEX方法中存在的n!種序關(guān)系，這里f:X→Y是屬性函數(shù)，T為所有優(yōu)序構(gòu)成的半序結(jié)構(gòu)。

假設(shè)觀察原始信息表，能夠得到k條基于定義2的Z-number的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，將每個(gè)優(yōu)勢(shì)關(guān)系作為一個(gè)劃分論域的屬性函數(shù)，得到一個(gè)滿足該優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粒度空間Xq1(q=1,2,…,k)和一個(gè)不滿足優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粒度空間Xq2(q=1,2,…,k)，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較粗的粒度上的問(wèn)題([X],[f],[T])。且由上述分析，QUALIFLEX決策方法得到的最優(yōu)排列需同時(shí)滿足k條優(yōu)勢(shì)關(guān)系，在粗粒度空間Xq2中第q(q=1,2,…,k)條優(yōu)勢(shì)關(guān)系為假，故由保假原理，因粒度空間Xq2(q=1,2,…,k)內(nèi)的所有序關(guān)系均為假，所以粒度空間Xq2(q=1,2,…,k)中不存在最優(yōu)排列，所以不需要在Xq2中搜索最優(yōu)排列。通過(guò)不斷劃分粒度空間Xq1(q=1,2,…,k)，并且結(jié)合保假原理，排除掉不滿足優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粒度空間，不斷縮小搜索最優(yōu)排列的粒度空間，并在最終得到的粒度空間上使用QUALIFLEX排序方法搜尋綜合一致性指標(biāo)最大的最優(yōu)排列，得到所求的最優(yōu)排列。如圖2所示。

圖2 根據(jù)優(yōu)勢(shì)關(guān)系劃分的粒度空間

由于商空間的規(guī)模比原空間小，所以在經(jīng)典的QUALIFLEX決策方法中運(yùn)用方案之間的優(yōu)序關(guān)系，就可以在較小的粒度空間內(nèi)求解多準(zhǔn)則決策問(wèn)題，有效減少計(jì)算量。優(yōu)序關(guān)系越多，則存在最優(yōu)排列的粒度空間越細(xì)，搜索范圍越小，QUALIFLEX決策方法越高效。

3 基于粒度的語(yǔ)言型Z-number決策方法

基于上述基本知識(shí)，提出的多準(zhǔn)則決策方法如下：

(3)在每個(gè)準(zhǔn)則下構(gòu)建可能度矩陣。由上述可能度式(1)計(jì)算每個(gè)準(zhǔn)則下方案與方案的優(yōu)劣度Hj=(lij)n×n,(j=1,2,…,m)。

(3)

(4)

(5)得出最終的決策表?；谇懊娴玫降臋?quán)重與可能度公式，計(jì)算最終的決策矩陣：

(5)

(6)基于商空間粒度的QUALIFLEX方法，得到最優(yōu)方案。運(yùn)用改進(jìn)的QUALIFLEX決策方法選擇合適的粒度空間并計(jì)算粒度空間中所有可能的排列的綜合一致性指標(biāo)

φl(shuí)=∑Aα,Aβ∈Pl(Qαβ)

(6)

4 實(shí)例分析

工作滿意度是員工對(duì)當(dāng)前工作的積極感受的心理狀態(tài)，影響企業(yè)運(yùn)行效率與活力。ABC公司為了調(diào)查企業(yè)現(xiàn)狀及提高員工工作質(zhì)量，現(xiàn)對(duì)4個(gè)部門(mén)A={A1,A2,A3,A4}的員工進(jìn)行工作滿意度評(píng)估。由一個(gè)個(gè)人管理專(zhuān)家、一個(gè)社會(huì)學(xué)家和一個(gè)心理學(xué)家組成的專(zhuān)業(yè)團(tuán)隊(duì)幫助評(píng)估，考慮影響工作滿意度的4個(gè)準(zhǔn)則：c1：工作環(huán)境；c2：人際關(guān)系；c3：社會(huì)公益服務(wù)；c4:福利。4個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重ω={ω1,ω2,ω3,ω4}是未知的。專(zhuān)家通過(guò)對(duì)每個(gè)部門(mén)提交的問(wèn)卷進(jìn)行評(píng)估，部門(mén)ai在準(zhǔn)則cj下的評(píng)估信息用Z-number表示，并且使用了如表1所示的兩個(gè)連續(xù)的語(yǔ)言尺度函數(shù)，在激烈的討論之后，產(chǎn)生了4個(gè)部門(mén)的工作滿意度評(píng)估信息表，見(jiàn)表2。

表1 不同語(yǔ)義下的連續(xù)型語(yǔ)言集

表2 工作滿意度評(píng)估信息

步驟二：將Z數(shù)評(píng)估信息表轉(zhuǎn)化為經(jīng)典模糊數(shù)評(píng)估信息表，結(jié)果如表3所示。

表3 將Z-number轉(zhuǎn)化為經(jīng)典模糊數(shù)

步驟三:構(gòu)建可能度矩陣。由式(1)在每個(gè)準(zhǔn)則下兩兩比較部門(mén)與部門(mén)工作滿意度優(yōu)劣的可能度。得到Hj,(i=1,2,…,m)，結(jié)果如下：

步驟四：計(jì)算權(quán)重。標(biāo)準(zhǔn)化表3中的數(shù)據(jù)，并且根據(jù)式(2)計(jì)算信息表中每個(gè)模糊數(shù)的模糊度，再由式(3)、式(4)計(jì)算得出各準(zhǔn)則權(quán)重。計(jì)算得：

ω=(0.254 1,0.260 1,0.242 9,0.242 9)

步驟五：最終決策矩陣。由式(5)得最終決策矩陣：

步驟六：基于商空間的QUALIFLEX方法。由最初的決策信息表可知A4j?A3j，(j=1,2,3,4)，故A4?A3，所以由上述討論，利用這個(gè)優(yōu)勢(shì)關(guān)系，對(duì)有4！=24種序關(guān)系的空間進(jìn)行劃分，并且在擁有屬性A4?A3的粒度空間X1中尋找最優(yōu)排列。下面列出X1空間中的所有序關(guān)系，并利用上述最終決策矩陣找到最優(yōu)排列。

比較表4中粒度空間X1內(nèi)各個(gè)排列的綜合一致性指標(biāo)，數(shù)值越大，則一致性越強(qiáng)，排列越優(yōu)，由公式(6)可得：φ1=0.683 8，φ2=1.123 0，φ3=0.865 2，φ4=0.303 6，φ5=0.401 6，φ6=-0.159 0，φ7=1.221 0，φ8=0.840 8，φ9=0.280 2，φ10=0.402 6，φ11=0.022 4，φ12=0.963 2，容易得到，第7種排列的綜合一致性指數(shù)最大，故P7=(A4,A1,A2,A3)為最優(yōu)排列。所以部門(mén)A4的工作滿意度最高。

表4 粒度空間X1的排列

5 方法比較

為了更好的表明提出方法的有效性，用文獻(xiàn)[6，16，17]中的方法與方法比較，結(jié)果如表5所示。

表5 不同方法排序結(jié)果比較

文獻(xiàn)[5]定義了直接比較Z-number的優(yōu)勢(shì)度，計(jì)算繁瑣，將ELECTRE與QUALIFLEX結(jié)合，比較了n!種排列的綜合一致性指標(biāo)，得到最優(yōu)排列，對(duì)QUALIFLEX決策方法基于粒度做出改進(jìn)，大大細(xì)化了搜索最優(yōu)解的粒度空間。文獻(xiàn)[16]將Z-number轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)，并使用修正的TOPSIS方法決策，文中的準(zhǔn)則權(quán)重是根據(jù)轉(zhuǎn)化后模糊數(shù)的不確定程度——模糊度提出的，模糊程度越大，則權(quán)重越小，相較于文獻(xiàn)[16]中基于所得梯形模糊數(shù)的簡(jiǎn)單平均更為有效。文獻(xiàn)[17]用語(yǔ)言尺度函數(shù)來(lái)定義Z-number中的語(yǔ)言變量之間的距離，用拓展的TODIM來(lái)進(jìn)行決策。

提出的方法的決策結(jié)果與文獻(xiàn)[6，16，17]相同，說(shuō)明了方法的可行性與有效性。QUALIFLEX作為決策中使用最為廣泛的方法之一，通過(guò)改進(jìn)，不僅可以應(yīng)用在準(zhǔn)則數(shù)較多的情形，也可以應(yīng)用于方案數(shù)較大的多準(zhǔn)則決策之中，在多條優(yōu)勢(shì)關(guān)系的劃分下，不斷縮小搜索最優(yōu)排列的粒度空間。

6 總 結(jié)

提出的基于商空間的語(yǔ)言型Z-number多準(zhǔn)則決策方法有效減少了計(jì)算復(fù)雜度和計(jì)算量，且由上述分析，說(shuō)明了方法的有效性。QUALIFLEX方法靈活利用了序數(shù)信息，評(píng)估所有準(zhǔn)則對(duì)不同方案的支持程度，是一種靈活、有效的多準(zhǔn)則決策方法，但隨著方案集的增大，n!急劇增大，QUALIFLEX方法也就不再適用，因?yàn)橐?jì)算n!種排列的綜合一致性指標(biāo)，故而可操作性不強(qiáng)。提出的方法對(duì)原始信息表進(jìn)行分析，確定優(yōu)勢(shì)關(guān)系后，對(duì)n!種排列進(jìn)行劃分，由保假原理，排除掉包含所有不可能為最優(yōu)排列的粒度空間，減小了計(jì)算復(fù)雜度，在盡可能小的粒度空間內(nèi)搜索多準(zhǔn)則決策的最優(yōu)解，有效減少了計(jì)算量，克服了QUALIFLEX方法在方案集較大時(shí)不可行這一缺點(diǎn)，使得QUALIFLEX決策方法可以更為廣泛的應(yīng)用。

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