基于隨機(jī)流網(wǎng)絡(luò)與Markov過(guò)程的制造系統(tǒng)可靠性建模及維護(hù)優(yōu)化

高英銘，陳 震，張秀芳，潘爾順

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

隨著科技進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)發(fā)展，制造系統(tǒng)結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜，企業(yè)間的競(jìng)爭(zhēng)愈發(fā)激烈，對(duì)制造系統(tǒng)可靠性的要求也越來(lái)越高.制造系統(tǒng)可靠性是制造過(guò)程平穩(wěn)進(jìn)行、提高生產(chǎn)效率的重要保障，也是企業(yè)重要的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)所在.目前，對(duì)制造系統(tǒng)可靠性的評(píng)價(jià)主要分為兩類[1]：一類是對(duì)傳統(tǒng)單一設(shè)備可靠性定義的擴(kuò)充，即制造系統(tǒng)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)正常運(yùn)行的概率[2-3]；另一類是從制造系統(tǒng)任務(wù)可靠性的角度，即制造系統(tǒng)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，完成的合格成品數(shù)量大于客戶需求數(shù)量的概率[4-5].

許多學(xué)者沿用傳統(tǒng)的可靠性定義來(lái)評(píng)估制造系統(tǒng)可靠性.何益海等[6]提出一種考慮產(chǎn)品質(zhì)量的系統(tǒng)可靠性評(píng)價(jià)方法，將系統(tǒng)可靠性視為系統(tǒng)未失效和產(chǎn)品質(zhì)量合格兩者概率的乘積，其中產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備刀具和夾具的磨損情況存在耦合效應(yīng)，進(jìn)而影響系統(tǒng)的失效概率.劉銀華等[7]在夾具磨損的基礎(chǔ)上，考慮來(lái)料偏差和定位時(shí)的配合公差，對(duì)車身裝配系統(tǒng)可靠性進(jìn)行評(píng)價(jià).杜世昌等[8]對(duì)制造系統(tǒng)中產(chǎn)品尺寸偏差的累積與傳遞效應(yīng)進(jìn)行建模，從系統(tǒng)層面控制尺寸偏差.Liu等[9]針對(duì)不可修復(fù)系統(tǒng)，建立非齊次Markov模型，分析多態(tài)系統(tǒng)性能的衰退過(guò)程.在此基礎(chǔ)上，周豐旭等[10]結(jié)合通用發(fā)生函數(shù)和模糊層次分析法分析非串聯(lián)多級(jí)制造系統(tǒng)的可靠性.Sharma等[11]結(jié)合故障樹分析(FTA)和失效模式及后果分析(FMEA)從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面分析復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)的可靠性.

同時(shí)，有許多學(xué)者認(rèn)為任務(wù)可靠性更加適合用于制造系統(tǒng)的可靠性評(píng)價(jià).Lin等[12]認(rèn)為基于網(wǎng)絡(luò)模型分析系統(tǒng)的產(chǎn)能十分適用于制造系統(tǒng)的可靠性評(píng)估.Tina等[13]對(duì)離散的隨機(jī)流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行分析，以輸出量作為指標(biāo)進(jìn)行可靠性建模，并提出Song Rule對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化求解.Chang等[14]考慮設(shè)備間的聯(lián)合緩存，采用仿真方法隨機(jī)生成容量狀態(tài)，并通過(guò)敏感性分析確定最可能增加緩沖區(qū)容量的位置.Gu等[15]考慮材料及機(jī)器的動(dòng)態(tài)變化，基于隨機(jī)流網(wǎng)絡(luò)對(duì)不同參數(shù)下的制造系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值分析.

以上學(xué)者在系統(tǒng)可靠性評(píng)估中，未考慮設(shè)備退化對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響，因此無(wú)法全面反映不同階段制造系統(tǒng)的狀態(tài).綜合分析制造系統(tǒng)可靠性與各設(shè)備退化及維護(hù)的關(guān)系，將維護(hù)優(yōu)化從設(shè)備層擴(kuò)展到系統(tǒng)層，有利于減少設(shè)備的不必要維護(hù)，在保障系統(tǒng)可靠性的同時(shí)，最小化維護(hù)成本.

針對(duì)現(xiàn)有研究的不足，本文以多工位流水線制造系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮產(chǎn)品返工情況，以任務(wù)可靠性作為制造系統(tǒng)可靠性的評(píng)價(jià)指標(biāo)，運(yùn)用隨機(jī)流網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行建模，并基于Markov方法對(duì)設(shè)備狀態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)換建模，以平穩(wěn)狀態(tài)下系統(tǒng)維護(hù)的平均總成本最低為目標(biāo)，對(duì)系統(tǒng)的維護(hù)方案進(jìn)行決策.

1 制造系統(tǒng)可靠性評(píng)價(jià)

圖1 制造系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of manufacturing system network

原材料依次在設(shè)備M1～Mn上加工變?yōu)槌善?，其中，設(shè)備Mr后的檢查點(diǎn)是一個(gè)返工檢查點(diǎn)，即設(shè)備Mr制造出的不良品將回到設(shè)備Mk進(jìn)行返工.因此，對(duì)于給定的產(chǎn)量需求量AD，制造系統(tǒng)的可靠性可以用規(guī)定時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)輸出滿足需求的概率來(lái)表示

R=P(AO≥AD)

(1)

假設(shè)條件如下：① 產(chǎn)品各工序加工時(shí)間相同；② 每個(gè)產(chǎn)品最多返工一次；③ 不考慮設(shè)備的計(jì)劃停工時(shí)間；④ 原材料供給充足；⑤ 制造系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)為一個(gè)連續(xù)流網(wǎng)絡(luò)；⑥ 設(shè)備狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換是一個(gè)齊次Markov過(guò)程，即每個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)換至其他狀態(tài)的速率只與該狀態(tài)本身有關(guān)；⑦ 設(shè)備維護(hù)只能由較劣狀態(tài)向較優(yōu)狀態(tài)維護(hù)，不會(huì)維護(hù)至更劣狀態(tài)，且設(shè)備處于故障狀態(tài)時(shí)必須維護(hù).

(2)

同理，可計(jì)算出在設(shè)備Mk后的各個(gè)設(shè)備的輸入.綜上，任意設(shè)備Mi的輸入可以通過(guò)下式計(jì)算：

AIi=

(3)

若系統(tǒng)輸出滿足需求，則AO≥AD.其中，系統(tǒng)輸出可以認(rèn)為是虛擬設(shè)備Mn+1的輸入，即AO=AIn+1，故有如下公式：

(4)

(5)

從而，可以獲得滿足系統(tǒng)需求的設(shè)備Mi的最小輸入可以表示為

(6)

R=P(AO≥AD)=P(Ax≥AImin)=

(7)

2 制造系統(tǒng)維護(hù)策略

2.1 系統(tǒng)維護(hù)模型建立

πiQi=0

(8)

式中：0=[00…0]，且

(9)

(10)

(11)

(12)

P(Axi=AImini)=

CAIminiAli(1-πis)AImini(πis)Ali-AImini

(13)

AImini

P(Axi≥AImini)=

∑Alij=AIminiCjAli(1-πis)j(πis)Ali-j

(14)

所以制造系統(tǒng)可靠性滿足下式：

∏ni=1∑Alij=AIminiCjAli(1-πis)j(πis)Ali-j≥Rmin

(15)

(16)

約束條件為式(3)、(6)、(8)～(11)、(15).

2.2 模型變換

圖2 決策變量矩陣Yi的形式Fig.2 Form of decision variable matrix Yi

(17)

(18)

模型的計(jì)算過(guò)程為

(3) 通過(guò)式(8)～(10)，計(jì)算轉(zhuǎn)移速率矩陣Qi和平穩(wěn)分布πi.

(4) 通過(guò)式(15)，計(jì)算系統(tǒng)可靠性并將其與給定的可靠性閾值比較.

(5) 通過(guò)式(16)，計(jì)算維護(hù)成本.

3 算例分析

下面通過(guò)算例分析來(lái)驗(yàn)證模型的有效性.制造系統(tǒng)由3種設(shè)備組成，每種設(shè)備有5臺(tái)，每臺(tái)設(shè)備的退化過(guò)程中包括狀態(tài)1～4，共4種狀態(tài).狀態(tài)1代表設(shè)備全新，狀態(tài)4代表設(shè)備故障.原材料在3種設(shè)備上依次加工變?yōu)槌善?每種設(shè)備加工出合格品的概率均為0.95.系統(tǒng)單位時(shí)間的輸出需求量為3個(gè)，系統(tǒng)可靠度最低要求為95%.設(shè)備的狀態(tài)變化為齊次Markov過(guò)程.制造系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示.

圖3 制造系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Diagram of manufacturing system structure

表1 退化過(guò)程中設(shè)備的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率Tab.1 State transition rate of devices during degradation

表2 維護(hù)過(guò)程中設(shè)備的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率Tab.2 State transition rate of devices during maintenance

表3 設(shè)備各狀態(tài)間的維護(hù)成本Tab.3 Maintenance cost among states of devices

計(jì)算步驟如下.

步驟1初始化g=4，gg=Ni.

2 fig=agg-1!,ag≡ag-1(modg-1!),

步驟3g=g-1.

步驟4若g≥1，返回步驟2；否則，計(jì)算結(jié)束.

fi4=143!=2,14≡a3=2(mod3!),fi3=22!=1,2≡a2=0(mod2!),fi2=01!=0,0≡a1=0(mod1!),fi1=00!=0,0≡a0=0(mod0!),

然后變化i，建立f=(f1,f2,f3)與正整數(shù)N的對(duì)應(yīng)關(guān)系.通過(guò)上述步驟可以確定，對(duì)于每個(gè)i，正整數(shù)Ni的最大值為 4!-1=23.按照如下步驟建立f與正整數(shù)N的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

步驟1初始化i=3,bi=N.

2 Ni=bi23i-1,bi≡bi-1(mod23i-1),

步驟即令bi除以23i-1的商為Ni，余數(shù)為bi-1.

步驟3i=i-1.

步驟4若i≥1，返回步驟2；否則，計(jì)算結(jié)束.

(4) 通過(guò)式(15)，計(jì)算系統(tǒng)可靠性并與給定可靠性閾值比較.

(5) 對(duì)于滿足可靠性閾值的一組解，通過(guò)式(16)計(jì)算其維護(hù)成本，并與當(dāng)前最小維護(hù)成本進(jìn)行對(duì)比，以確定是否更新最優(yōu)解.若N>(s!)n，計(jì)算結(jié)束；否則，令N=N+1，返回步驟(2).

圖4 最優(yōu)維護(hù)方案示意圖Fig.4 Diagram of optimal maintenance policy

下面對(duì)模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析.設(shè)備M1的維護(hù)方案為維護(hù)至相鄰的更優(yōu)狀態(tài)；設(shè)備M2的維護(hù)方案為故障后維護(hù)至全新狀態(tài)；設(shè)備M3的維護(hù)方案為若設(shè)備處于狀態(tài)2、3，直接維護(hù)至狀態(tài)1，若設(shè)備處于狀態(tài)4，維護(hù)至狀態(tài)2.由表2和3可知，設(shè)備M1的相鄰狀態(tài)間維護(hù)成本低、維護(hù)時(shí)間短，適合維護(hù)至相鄰狀態(tài).設(shè)備M2不同狀態(tài)間的維護(hù)成本和維護(hù)時(shí)間分布相同，適合故障后換新.設(shè)備M3相鄰狀態(tài)間的維護(hù)成本低，但是不同狀態(tài)間的維護(hù)時(shí)間分布相同.由此可見(jiàn)，由模型獲得的維護(hù)方案比較合理.

為了說(shuō)明本文模型的有效性，將模型的求解結(jié)果與其他11種維護(hù)策略進(jìn)行比較.將本文模型作為維護(hù)策略1(S1)；S2：故障后完美維護(hù)，即設(shè)備故障(狀態(tài)4)后維護(hù)至全新狀態(tài)(狀態(tài)1)，其他情況不維護(hù)；S3：最小修，即設(shè)備故障后維護(hù)至故障發(fā)生前的狀態(tài)，其他情況不維護(hù)；S4：設(shè)備故障(狀態(tài)4)后維護(hù)至狀態(tài)1，且設(shè)備衰退至狀態(tài)2時(shí)維護(hù)至狀態(tài)1；S5：設(shè)備故障(狀態(tài)4)后維護(hù)至狀態(tài)1，且設(shè)備衰退至狀態(tài)3時(shí)維護(hù)至狀態(tài)1；S6：設(shè)備故障(狀態(tài)4)后維護(hù)至狀態(tài)1，且設(shè)備衰退至狀態(tài)3時(shí)維護(hù)至狀態(tài)2；S7：設(shè)備故障(狀態(tài)4)后維護(hù)至狀態(tài)2，且設(shè)備衰退至狀態(tài)2時(shí)維護(hù)至狀態(tài)1；S8：設(shè)備故障(狀態(tài)4)后維護(hù)至狀態(tài)2，且設(shè)備衰退至狀態(tài)3時(shí)維護(hù)至狀態(tài)1；S9：設(shè)備故障(狀態(tài)4)后維護(hù)至狀態(tài)2，且設(shè)備衰退至狀態(tài)3時(shí)維護(hù)至狀態(tài)2；S10：設(shè)備故障(狀態(tài)4)后維護(hù)至狀態(tài)3，且設(shè)備衰退至狀態(tài)2時(shí)維護(hù)至狀態(tài)1；S11：設(shè)備故障(狀態(tài)4)后維護(hù)至狀態(tài)3，且設(shè)備衰退至狀態(tài)3時(shí)維護(hù)至狀態(tài)1；S12：設(shè)備故障(狀態(tài)4)后維護(hù)至狀態(tài)3，且設(shè)備衰退至狀態(tài)3時(shí)維護(hù)至狀態(tài)2.包括本文模型在內(nèi)的12種維護(hù)策略對(duì)比結(jié)果如表4所示.其中：Ri為設(shè)備Mi的可靠性；wtot為系統(tǒng)級(jí)的維護(hù)成本.

表4 不同維護(hù)策略的結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison results of different maintenance strategies

12種維護(hù)策略的系統(tǒng)可靠性與維護(hù)成本之間的關(guān)系如圖5所示.其中:-ln(1-R)用于衡量系統(tǒng)可靠性；Δwtot為Su與S1的維護(hù)成本差值；藍(lán)色虛線為S1的系統(tǒng)可靠性.

圖5 不同維護(hù)策略的系統(tǒng)可靠性與維護(hù)成本Fig.5 System reliability and maintenance costs of different maintenance strategies

由表4可知，S1與其他維護(hù)策略相比，在系統(tǒng)可靠性方面最多可提高8.65%，在維護(hù)成本方面最多可降低68.96%.由圖5可知，由于S1考慮了在設(shè)備退化至故障狀態(tài)前進(jìn)行先行維護(hù)，設(shè)備故障率更低，系統(tǒng)可靠性在所有維護(hù)策略中僅次于S11，并且兩者相差較小.但在維護(hù)成本方面，S1系統(tǒng)地優(yōu)化了各設(shè)備的維護(hù)策略，在保障系統(tǒng)可靠性要求的基礎(chǔ)上，避免了設(shè)備的不必要維護(hù)，與其他策略相比S1的維護(hù)成本顯著降低.

4 結(jié)語(yǔ)

本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，考慮加工過(guò)程中產(chǎn)生的不良品以及不良品返工的情況，分析了系統(tǒng)中各設(shè)備的輸入與系統(tǒng)輸出的關(guān)系，建立了基于隨機(jī)流網(wǎng)絡(luò)的制造系統(tǒng)可靠性模型.同時(shí)，考慮到現(xiàn)有研究的不足，將制造系統(tǒng)可靠性大于等于給定閾值作為約束條件，建立了基于齊次Markov過(guò)程的系統(tǒng)維護(hù)模型.針對(duì)系統(tǒng)維護(hù)模型解空間過(guò)大的情況，提出一種模型變換方法，有效降低解空間規(guī)模.最后通過(guò)算例，證明模型結(jié)果與其他11種維護(hù)策略相比，維護(hù)成本更小，系統(tǒng)可靠性更高，證明了模型的有效性和先進(jìn)性.