圓柱側(cè)面積的公式推導(dǎo)及應(yīng)用

趙福章

摘?要：小學(xué)學(xué)習(xí)時期屬于九年義務(wù)教育的范疇，而六年級則是小學(xué)生涯中最為關(guān)鍵的一學(xué)年。其中，數(shù)學(xué)是大多數(shù)學(xué)生比較薄弱的一門學(xué)科，相較于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)需要運用理性和數(shù)學(xué)思維去思考問題，比較注重思維邏輯內(nèi)在的連貫性。在人教版的數(shù)學(xué)教材中，六年級下冊的第三章將會學(xué)習(xí)到《圓柱與圓錐》的相關(guān)知識。在學(xué)習(xí)圓柱知識時，教師在講臺上奮力地講解圓柱側(cè)面積的公式推導(dǎo)，由于許多學(xué)生沒有立體幾何圖形的空間概念，缺乏空間想象能力，對該類知識的掌握十分欠缺。

關(guān)鍵詞：六年級數(shù)學(xué);圓柱側(cè)面積;公式推導(dǎo)應(yīng)用

一、引言

低年級學(xué)生最初接觸的是正方形、長方形、圓等平面圖形，從最基礎(chǔ)最常見的圖形開始學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對圖形有了初步的了解和認識。到較高年級時，學(xué)生會進行正方體、長方體等立體幾何圖形的學(xué)習(xí)，到六年級會學(xué)習(xí)圓柱、圓錐等知識，由淺顯到深層，逐步加深學(xué)生對幾何圖形的學(xué)習(xí)。圓柱知識的學(xué)習(xí)，對學(xué)生來說是一道門檻，不少學(xué)生不知道如何求解圓柱的側(cè)面積，更不用說運用公式來解決實際應(yīng)用題。本文將從圓柱側(cè)面積公式的重要性進行闡述說明，進而提出幾點可行性措施用于圓柱側(cè)面積公式推導(dǎo)及應(yīng)用的課堂教學(xué)，幫助六年級學(xué)生輕松掌握圓柱知識。

二、圓柱側(cè)面積公式的重要性

（一）進一步認識圓柱體

由于學(xué)生之前學(xué)習(xí)過圓的各種知識，能夠明確區(qū)分圓的半徑、直徑，也會運用公式求解圓的周長和面積，那么進行圓柱知識的學(xué)習(xí)時可能比較容易理解，而圓柱的側(cè)面積公式，是學(xué)習(xí)圓柱知識必不可少的一環(huán)。圓柱是由兩個底面和一個側(cè)面組成的，兩個底面都是平面圖形圓，這一點學(xué)生通過肉眼能直接觀察到，不需要教師多加贅述。但是，圓柱是一個立體圖形，其側(cè)面是曲面的，不是學(xué)生認知里的平面圖形，通過學(xué)習(xí)圓柱的側(cè)面積公式，學(xué)生將能進一步認識圓柱體，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

（二）為學(xué)習(xí)立體幾何圖形奠定基礎(chǔ)

圓柱的側(cè)面積公式的學(xué)習(xí)與認識，直接影響到學(xué)生對圓柱表面積知識的學(xué)習(xí)。如若學(xué)生只是單純依靠背公式解決問題，不能很好地理解圓柱側(cè)面積公式的求解方法，將會對后面圓柱表面積、體積的求解以及圓錐的學(xué)習(xí)產(chǎn)生不良影響。只有充分理解圓柱側(cè)面積公式的推導(dǎo)過程，才能對立體幾何圖形有一個空間概念，在腦海中構(gòu)建立體圖形的三維模擬圖，培養(yǎng)立體幾何的形象思維，為今后學(xué)習(xí)其他立體幾何圖形奠定基礎(chǔ)，甚至為中學(xué)立體幾何的證明求解作好鋪墊。

（三）解決實際應(yīng)用題

關(guān)于圓柱這一章的數(shù)學(xué)內(nèi)容，在課后題以及考試測試題中，不可能單純地考查一個圓柱側(cè)面積公式，而是運用公式知識，靈活變通地解決實際應(yīng)用題，甚至運用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活中遇到的問題。此外，圓柱側(cè)面積公式與圓柱表面積公式有著密切聯(lián)系，只有先掌握好側(cè)面積公式，才能深入學(xué)習(xí)圓柱的其他知識，在解答圓柱實際應(yīng)用題時才能輕松自如地寫下正確答案。

三、圓柱側(cè)面積公式推導(dǎo)及應(yīng)用的課堂教學(xué)

（一）借助多媒體，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

由于圓柱是立體圖形，教材書本的圖畫是平面構(gòu)圖的，學(xué)生對圓柱體沒有直觀形象的認識，看到的只是課本上枯燥的文字內(nèi)容。教師在進行圓柱這一章節(jié)的講授時，可以借助多媒體等教學(xué)設(shè)備，播放一些生活中常見的圖片，讓學(xué)生指出哪些地方是由圓柱體組成的，然后把圓柱體底面、側(cè)面等各組成部分，引導(dǎo)學(xué)生一一對應(yīng)，在和諧歡快的氛圍下輕松學(xué)習(xí)圓柱的基礎(chǔ)知識，對圓柱各組成部分有一個充分的了解。此外，教師可以借助教室內(nèi)的幾何模型向?qū)W生進行展示，讓學(xué)生用肉眼看到圓柱的側(cè)面是曲面的，認識到其求解方式與圓柱底面是不同的，激發(fā)學(xué)生對新知識的好奇心，然后逐步引導(dǎo)學(xué)生自主參與到側(cè)面積公式推導(dǎo)的教學(xué)活動中，在推導(dǎo)過程中加深對公式的理解，讓學(xué)生不光知道側(cè)面積公式是什么，還要知其所以然。

（二）引導(dǎo)學(xué)生動手制作，加深理解

只是聽教師講解，學(xué)生腦海中可能沒有圖形的立體空間概念，這就需要教師培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，讓學(xué)生親自動手制作一個圓柱體。要知道圓柱是一個旋轉(zhuǎn)體，是由一個長方形或正方形，以某條邊為軸，由線帶面旋轉(zhuǎn)而成。學(xué)生制作圓柱底面只需確定底面圓的半徑再借助圓規(guī)等工具就能完成。難點是圓柱的側(cè)面的制作，教師先用剪刀把一個半徑r為5cm，高h為10cm的圓柱模型分解開，讓學(xué)生清楚地看到模型分解出兩個圓和一個長方形，學(xué)生驚嘆圓柱的側(cè)面竟然是一個四邊形，這時學(xué)生提出疑問：“如何才能制作側(cè)面來與圓柱底面相匹配？”這時，教師把剛才分解出的長方形圍成圓筒，置于底面上方，引導(dǎo)學(xué)生思考底面圓的周長與長方形之間的關(guān)系，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)用長方形圍成的圓筒與底面圓恰好一致，然后展開圓筒，學(xué)生認出這是長方形的長邊，自然就能得出分解出的長方形的長等于底面圓的周長，長方形的寬則與圓柱的高一樣?，F(xiàn)在已知長方形的面積=長×寬，長方形的長=底面圓的周長=2πr，長方形的寬=圓柱的高=h，那么圓柱側(cè)面積=底面周長×高=2πrh。在學(xué)生明白側(cè)面積公式的推導(dǎo)過程后，引導(dǎo)學(xué)生來制作屬于自己的圓柱，學(xué)生可以選擇一個任意的半徑，在制作側(cè)面時需要學(xué)生自己動手計算出側(cè)面展開圖的長和寬，在實踐中加深對圓柱側(cè)面積公式的理解。

（三）借助公式解決應(yīng)用題

學(xué)生明白圓柱側(cè)面積公式的推導(dǎo)過程后，需要一些課后的應(yīng)用題來加深記憶鞏固知識。例如，在這樣一道課后練習(xí)題中：一臺壓路機的前輪是圓柱形，輪寬2m，直徑1.2m。前輪轉(zhuǎn)動一周，壓路的面積是多少平方米？學(xué)生初次讀題，需要找出的關(guān)鍵點是“前輪是圓柱形”，根據(jù)已給條件和問題之間的聯(lián)系可以知道，該題需要用到圓柱側(cè)面積公式，其中學(xué)生要明白所給的“輪寬”就是圓柱體的高。首先借助所給直徑求出輪的周長，然后通過計算周長與輪寬的乘積得出前輪轉(zhuǎn)動一周的側(cè)面積，也就是問題中所問的“壓路面積”。只有學(xué)會分析具體問題，選用合適的定理公式，才能運用所學(xué)知識解答出實際問題。

四、結(jié)束語

通過輕松有趣的教學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生對圓柱知識學(xué)習(xí)的興趣，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，讓學(xué)生從被動地接受知識轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訁⑴c到學(xué)習(xí)活動。教師應(yīng)當注重對學(xué)生立體空間想象能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在實踐活動中加深對所學(xué)知識的了解，學(xué)生只有清楚公式推導(dǎo)的來龍去脈，才能應(yīng)用到實際問題中去。

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（貴州省遵義市桐梓縣夜郎鎮(zhèn)中山小學(xué)）