基于傳遞矩陣法的齒輪系統(tǒng)軸承跨距優(yōu)化研究

鄭雅琳，黃鵬鵬，程 洋

（江西理工大學 機電工程學院，贛州 34100）

0 引言

汽車傳動系統(tǒng)中主減速器產(chǎn)生的振動和噪聲對傳動系統(tǒng)穩(wěn)定性和整車NVH性能具有決定性影響[1]。連接齒輪軸與主減速器殼體的軸承座剛度會影響錐齒輪副的嚙合質(zhì)量，從而影響主減速器的振動響應[2,3]。當軸承預緊力一定時，軸承跨距對支撐剛度有直接影響[4]。

傳輸矩陣可以描述線性化MIMO系統(tǒng)（多輸入多輸出系統(tǒng)）的輸入和輸出之間的關(guān)系，輸入和輸出是各單元的末端狀態(tài)矢量，包括位移，角位移，彎矩和剪切應力。以自由端為約束條件得到特征方程，并通過相關(guān)參數(shù)的計算得到系統(tǒng)在不同支承跨度下的固有頻率[5,6]。通過主動齒輪軸的模態(tài)分析和主減速器的振動試驗可以確定應避免的共振頻率范圍，從而得到最佳的軸承跨距。

裴大明用有限元方法從靜剛度的角度出發(fā)建立數(shù)控鏜銑床主軸部件模型，并計算了該主軸軸承的最優(yōu)跨距[7]。郭向東等通過對理論公式的計算以及試驗分析得出了軸承預緊力、系統(tǒng)固有頻率及跨距的關(guān)系[8,9]。本文基于傳遞矩陣，以軸承跨距為研究對象，以改善主減速器的振動響應和整車NVH性能為目的，通過主動齒輪軸的模態(tài)分析和主減速器振動試驗，得到了在一定軸承預載荷下的最佳軸承跨度，并通過ADAMS中的動態(tài)仿真驗證了結(jié)果的有效性。

1 建立主減速器齒輪系統(tǒng)模型

主減速器齒輪系統(tǒng)的剖面如圖1(a)所示。它包含5個部分：主動齒輪，軸I，軸II，軸III和軸IV，軸承安裝在軸II上。如圖1(b)所示，主減速器齒輪系統(tǒng)繼續(xù)被分散成多個特征單元，以便建立傳輸矩陣模型。軸IV和軸III被設(shè)置為一般軸，一般軸段由無質(zhì)量彈性軸和兩個集中式質(zhì)量站組成。兩個軸承設(shè)置為無質(zhì)量彈性支撐站，作用點位于兩個支撐軸承的中心。軸II和軸承被簡化為一個整體的質(zhì)量單元，然后被分為兩部分：軸II-2和軸II-1。軸-II-1的長度是l/2，l是軸承跨距。由于軸II-1的直徑大于其長度，因此設(shè)置軸II-2和軸II-1作為輪盤站。軸I與主動齒輪一體設(shè)為帶有彈性支撐的軸段，其可以等同于無質(zhì)量彈性軸和具有彈性支撐的剛性質(zhì)量單元。

圖1 主動齒輪離散化模型

特征單元的簡化力學模型如圖2所示，每個子單元的傳遞矩陣可以通過動力學方程得到。

圖2 特征單元的簡化力學模型

2 矩陣計算

結(jié)合傳遞矩陣法的基本思想，將主減速器齒輪系統(tǒng)離散化為幾個特征單元，分別建立各單元的傳遞矩陣，然后結(jié)合子傳遞矩陣得到系統(tǒng)的總傳遞矩陣[10]。

2.1 齒輪系統(tǒng)總傳遞矩陣計算

如圖2(a)所示，一般軸段由無質(zhì)量彈性軸和兩個集中質(zhì)量站組成，從Xi,i-1到Xi,i+1的軸段被稱為i-1截面和i截面，兩端的狀態(tài)向量包括：位移（Y），角位移（θ），彎矩（M）和切應力（Q）。I是截面慣性矩，E是彈性模量，通過力學模型得到無質(zhì)量彈性軸段的動力學方程如下：

將方程(1)轉(zhuǎn)化為矩陣形式，則無質(zhì)量彈性軸段的傳遞矩陣表示為Tsh。

集中質(zhì)量站的動力學方程可以通過圖2(b)所示的力學模型來獲得：

將方程(3)轉(zhuǎn)化為矩陣形式，則集中質(zhì)量站的傳輸矩陣記為Tm，T是一般軸段的傳遞矩陣。

通過將它們的物理參數(shù)代入等式(5)中可以得到軸IV和軸III的傳遞矩陣。T4是軸IV的傳遞矩陣，T3是軸III的傳遞矩陣。

如圖2(c)所示，兩個軸承被簡化為彈性支撐站，它等同于具有徑向剛度和角向剛度的彈簧，Kr是兩個支撐軸承的等效徑向剛度，Kθ是等效的剛度，l是軸承跨距，軸承剛度為常數(shù)。在兩個軸承的中心，會有一個反作用力Fr和一個反作用力矩Mr。

滾動軸承的阻尼基本不會影響結(jié)果，因此可以忽略，無質(zhì)量彈性支撐站的動力學方程可以通過圖2(c)所示的力學模型獲得：

將式(7)轉(zhuǎn)化為矩陣形式，則無質(zhì)量彈性支撐站的傳遞矩陣記為Tb。

如圖2(d)所示，m和J分別是輪盤的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，輪盤站的動力學方程可以通過其力學模型來獲得：

將方程(9)轉(zhuǎn)化為矩陣形式，則其狀態(tài)向量的系數(shù)矩陣即為輪盤站的傳遞矩陣，軸II-2和軸II-1的傳遞矩陣分別為T2-2，T2-1。

軸I的直徑與主動齒輪的直徑之間的差值很小，所以可以將軸I和主動齒輪整體視為帶彈性支承的軸段。它可以等同于無質(zhì)量彈性軸和具有彈性支撐的剛性質(zhì)量單元，如圖2(f)所示。圖2(e)中Kh是主動齒輪的嚙合剛度，m1是軸I和主動齒輪的總質(zhì)量，J1是軸I的總的轉(zhuǎn)動慣量。當軸I和主動齒輪以角速度旋轉(zhuǎn)時，產(chǎn)生慣性力和慣性矩為m1θ。具有彈性支撐的剛體質(zhì)量單元的動力學方程可以通過力學械模型獲得：

將方程(13)轉(zhuǎn)化為矩陣形式，則其狀態(tài)向量的系數(shù)矩陣是具有彈性剛性質(zhì)量單元的傳遞矩陣，記為Tk。

推導出無質(zhì)量彈性軸的傳遞矩陣，記為Tsh。x1是軸I和主動齒輪的總長度，I1是軸I和主動齒輪的截面慣性矩，Tg是帶彈性支撐軸的傳遞矩陣：

根據(jù)離散關(guān)系，所有特征子單元串聯(lián)連接。通過將每個傳遞矩陣集中起來，可以得到主減速器齒輪系統(tǒng)的總傳遞矩陣，TN是系統(tǒng)的傳輸矩陣。

2.2 齒輪系統(tǒng)固有頻率計算

在主減速器齒輪系統(tǒng)的離散模型中，初始截面是自由端約束，即M1=0，Q1=0，末端截面也是自由端約束，即MN=0和QN=0。可以得到主減速器齒輪系統(tǒng)的兩種截面狀態(tài)向量之間的關(guān)系如下：

當主減速器齒輪系統(tǒng)振動時，Y1和θ1不能同時為0。因此，等式(18)有解的條件為：

本文的主減速器齒輪系中，等效徑向剛度Kr=1023.65N/um，嚙合剛度Kh=2.0436N/um，齒輪軸的材料為20CrMnTi，其他相關(guān)參數(shù)如表1所示。

通過求解方程(19)后，可以得到臨界速度和軸承跨距之間的關(guān)系。由于可以得到不同軸承跨距下的固有頻率曲線如圖3所示。

圖3 固有頻率和軸承跨距的關(guān)系圖

計算結(jié)果表明，主減速器齒輪系統(tǒng)的一階固有頻率主要在2650Hz～3450Hz范圍內(nèi)，并且當軸承跨距在53mm～58mm范圍內(nèi)時，一階固有頻率在2800Hz左右浮動，處于較低水平。

3 實驗測試

將主減速器齒輪系統(tǒng)三維模型導入ANSYS后，對軸承端面進行約束，運用Block Lanczos方法進行模態(tài)分析。由于低階振動模態(tài)相對高階振動模態(tài)在結(jié)構(gòu)運動方面的影響更大，因此定義主動齒輪軸為高階振動模態(tài)，表2為其前6階固有頻率。分析結(jié)果表明，主動齒輪軸的一階固有頻率為3250.0Hz，二階固有頻率為3260.0Hz。

表1 主動齒輪軸各離散段的基本參數(shù)

表2 主動齒輪軸前6階頻率

主減速器的固有頻率可以通過分析其頻域振動信號來獲得[11]。采用某振動測試裝置，對傳動系統(tǒng)的固有頻率進行了測試。三個測試樣品的測試結(jié)果如圖4所示：

圖4 主減速器齒輪傳動系統(tǒng)振動測試頻域譜

試驗結(jié)果表明，當頻率在2900Hz～3400Hz范圍內(nèi)時，主減速器的振動更為明顯，因為這是主減速器的共振頻率范圍。因此，設(shè)計主減速器零件時避免其固有頻率在2900Hz～3400Hz范圍內(nèi)，當固有頻率在3150Hz左右時可以有效減少主減速器的振動。由圖3可以看出，最優(yōu)軸承跨距范圍為53mm～58mm，當軸承跨度為55mm時，一階固有頻率與2900Hz相差最大。綜上所述，當軸承跨距為55mm時，可以盡可能地避免主減速器的共振。

4 ADAMS動態(tài)仿真

圖5是根據(jù)實際工作情況，建立的主減速器齒輪傳動系統(tǒng)的動力學簡化模型。

圖5 主減速器齒輪傳動仿真模型

為了對比分析，準備了6組不同的軸承跨距模型，包括54mm，55mm，56mm，57mm，58mm和59mm，同時也設(shè)置了6組不同的驅(qū)動速度，分別為800r/min，1500r/min，2000r/min，3000r/min，4000r/min和5000r/min。通過仿真獲得了從動齒輪在Y方向（垂直方向）上的角加速度和接觸力。從動齒輪在Y方向的接觸力會直接影響螺旋錐齒輪嚙合時的垂直振動，進而影響汽車的乘坐舒適性。系統(tǒng)在0.2秒內(nèi)處于加速階段，應該排除加速階段的模擬數(shù)據(jù)。圖6和圖7中示出了在不同行駛速度下，垂直方向上角加速度和接觸力的平均值和差值。

圖6 從動齒輪角加速度—軸承跨距關(guān)系圖

圖6(a)中顯示主不同轉(zhuǎn)速下減速器的軸承跨距為55mm時，從動齒輪角加速度的平均值最小。如圖6(b)所示，不同從動齒輪角加速度的差值在不同的驅(qū)動速度下呈現(xiàn)波動趨勢，并且在軸承跨距為55mm處差值最小。由以上分析可知，當軸承跨距為55mm時，系統(tǒng)的振動相對穩(wěn)定。主減速器齒輪系統(tǒng)的振動波動較小時，傳動過程中的振動和噪聲得到有效降低。

圖7 從動齒輪接觸力在Y方向分力—軸承跨距關(guān)系圖

圖7(a)顯示了在垂直方向上接觸力的平均值相對集中，并且當軸承跨距為55mm時的，其值處于最小值。圖7(b)表明，當軸承跨距為55mm時，驅(qū)動速度不高于4000r/min，則Y方向的接觸力的差值相對較小。表明此時傳輸過程的影響小，振動相對穩(wěn)定。

綜合分析表明，當軸承跨距為55mm時，主減速器齒輪系傳動相對穩(wěn)定，振動波動小，振動表現(xiàn)較好。

5 結(jié)語

通過理論分析和計算，并結(jié)合主動齒輪軸的模態(tài)分析和主減速器的振動試驗，得出當軸承跨距為55mm時，能最大程度避免主減速器的共振。動態(tài)仿真結(jié)果表明，當軸承跨距為55mm時，從動齒輪的在垂直方向的角加速度和接觸力較小，驗證了理論分析結(jié)果的準確性。該研究結(jié)論可以有效地減小主減速器的振動，改善車輛的NVH性能。