“電磁場與電磁波”課程可視化方法研究

衛(wèi) 延

(北京交通大學 全光網(wǎng)與現(xiàn)代通信網(wǎng)教育部重點實驗室， 北京100044)

0 引言

“電磁場與電磁波”課程內(nèi)容抽象，因為電磁場看不見，摸不到，導致學生難以理解電磁場的基本概念與理論。為提高教學質(zhì)量，有必要引入直觀性手段。隨著計算機與軟件技術的蓬勃發(fā)展，基于Matlab、Mathematica等軟件的可視化技術在教學中廣泛應用，產(chǎn)生了眾多清晰的場分布圖形和生動的動畫，帶來了直觀性，從而激發(fā)了學生學習興趣，提升了教學效果[1～9]。

電磁場模型繁多，場分布千變?nèi)f化，目前國內(nèi)尚無文獻對電磁場可視化問題進行系統(tǒng)的分類，并指出各類問題具體的可視化方法手段。根據(jù)教學經(jīng)驗，電磁場可視化的問題從內(nèi)容和方法上可以分為三類。第一類是如何制作示意性的圖形和動畫，實現(xiàn)方式有多種；第二類是如何表示有解析解或近似解析解的真實電磁場，即制作圖形和動畫來描述這類電磁場的空間分布和隨時間的動態(tài)演化，有解析解的電磁場和電磁波通常是課程中最基本的內(nèi)容，在課程教學中占據(jù)重要地位；第三類問題是無解析解的電磁場和波的可視化，在工程中絕大多數(shù)電磁場問題沒有解析解，所以在實際應用中無解析解的電磁場問題的可視化最常見。

本文針對這三類電磁場可視化問題，詳細介紹了相關的可視化技術手段、細節(jié)、注意事項和相關軟件的應用，并展示可視化實例。

1 示意性的圖形和動畫制作型

“電磁場與電磁波”課程中的某些內(nèi)容，比如媒質(zhì)磁化、介質(zhì)極化、邊界條件、位移電流、穩(wěn)恒電流、電磁感應等等，在授課時宜用圖形和動畫表示，可省去大段的語言描述。繪制圖形可以用Microsoft Word中的繪圖工具，而更好的方式是采用專業(yè)的二維繪圖工具，比如AutoCAD等軟件。繪制同樣的圖形，AutoCAD比Word定位精準，操作方便快速，并且出圖效果更清晰美觀。動態(tài)物理過程，需要動畫來描述。制作示意性的動畫常常用到Photoshop軟件，動畫制作的基本步驟是：先用AutoCAD繪制一系列某參數(shù)漸變的圖形，然后把這些圖形以堆棧方式載入到Photoshop中，再用 “時間軸”工具將這些圖形串聯(lián)起來，存為web所用格式，即可得到相關的gif格式幀動畫。圖1為用AutoCAD和Photoshop制作的示意性動畫，圖1(a)表示恒定電流的產(chǎn)生，圖1(b)反應媒質(zhì)的磁化過程。

(a)恒定電流動畫 (b)媒質(zhì)磁化動畫 圖1 用AutoCAD和Photoshop制作的示意性動畫

為防止幀動畫在播放時出現(xiàn)抖動，幀數(shù)要充足，另外每幀靜態(tài)圖形所表示的區(qū)域應該完全相同，即在截取每張圖形時，圖形的外邊框應嚴格一致。在用AutoCAD繪制這些靜態(tài)圖形時，要給每個圖形四周繪制一個統(tǒng)一的定位圖框，按照定位圖框截取圖形，從而保證定位精準。

2 存在解析解的電磁場的可視化

電磁學中的很多問題解決的前提是對場分布有一定的了解。真實的、準確的場分布圖形和場變化動畫能帶給學生積極、正確的信息，顯著提升學生對基本理論、公式和結論的理解，所以準確的場分布圖形和場變化動畫是可視化的目標，而靜態(tài)場分布圖形是最基本的元素。幀動畫正是由一張張靜態(tài)圖合成的，場可視化的第一步就是得到最基礎的靜態(tài)場分布圖形。課程中的基本電磁場模型通常有解析結果，可以用Matlab等軟件來繪制靜態(tài)場分布圖形。對于電磁場中的標量，如電位，常用Matlab中的contour命令繪制等高線，也可用surf、mesh等命令來描繪電位在某個區(qū)域中的分布。

對于電場強度、磁感應強度等矢量，既要表示其數(shù)值大小，又要標明其方向?？梢杂脙深悎D形來描繪矢量場分布，其一是用quiver命令繪制矢量點圖，即在要繪制圖形的區(qū)域中均勻選擇一系列點，每個點上繪制一個帶箭頭的有向線段，線段的長度表示矢量場數(shù)值的大小，箭頭指向為矢量場在該點的方向；其二是用streamline命令繪制矢量線圖(流線圖)，即通常的電力線圖(或磁力線圖)，電力線上任意一點處的切線方向是該點電場強度的方向，任意點處電力線的疏密程度反映該點電場強度的數(shù)值的大小。相比于矢量點圖，矢量線圖具有整體性，能清楚反映出場分布的全局概況，揭示出場與源的關系，具有深刻的物理意義。在電磁場的可視化過程中，最好采用矢量線圖來描述電磁場分布。

用contour、surf、mesh、quiver等4個命令繪制圖形，簡單直接，基本步驟是先用meshgrid命令定義一個矩陣區(qū)域以及其中的眾多矩形陣列點，然后用矩陣給這些點賦值，值是這些陣列點上的標量場的值，也可以是矢量場的分量值，再使用這4個命令直接繪圖即可。而用streamline命令繪制矢量線圖，除了上面的基本步驟外，還需要繪圖者有一定的經(jīng)驗和技巧。streamline命令需要根據(jù)經(jīng)驗精心選擇矢量線的起點，有時還需要分割繪圖區(qū)域，拼接圖形，還要仔細判別繪圖結果的正確性，改正某處的錯誤繪圖，保證理論上的正確性。

如圖2所示，設在自由空間無限大勻強電場(電場方向為水平方向，從左到右，稱之為原場)中放置一個無限長均勻介質(zhì)圓柱體，圓柱體軸線垂直與電場方向。可以用分離變量法求出電場強度和電位的解析解，從解析解可知圓柱體內(nèi)的電場是同方向的勻強電場。圖2(a)是用contour和quiver命令繪制的圓柱體附近的等位面和電場矢量點圖，該圖反應出圓柱體外面的勻強電場受到了擾動，并且圓柱體內(nèi)是一個水平向右的勻強電場，場強小于原場。圖2(b)中豎直方向的線仍然是等位面，與圖2(a)一致，水平方向的線是用streamline命令直接繪制出來的電力線。該電力線反映出圓柱體內(nèi)部的電場強度數(shù)值大于原場，是錯誤的，應該去掉幾條電力線，變成圖2(c)，才能正確反應出圓柱體內(nèi)部的電場強度分布。根據(jù)圓柱體內(nèi)電場強度與原場的比值，可以確定出需要去掉的電力線的條數(shù)。圖2(c)是修正后的等位面和電力線分布圖，電力線箭頭通過Matlab圖形面板中的箭頭工具添加。比較圖2(c)與圖2(a)，顯然矢量線圖比矢量點圖更清晰美觀，更有整體性，能更清晰地反應出場和源的關系，電力線在介質(zhì)圓柱體表面上不連續(xù)，是因為介質(zhì)圓柱體的外表面出現(xiàn)了極化面電荷。用quiver命令繪制的矢量點圖雖然粗糙，但結果是正確的，所以將contour命令與streamline命令結合使用是更好的途徑。如果矢量線圖與矢量點圖不一致，就修正矢量線圖，矢量點圖可作為一個判斷矢量線圖正誤的標準。

(a) 等位面與電場矢量點圖 (b)等位面與電力線圖(有誤)

矢量線的起點需要根據(jù)經(jīng)驗精心選擇，由于圖2中的原場是勻強電場，矢量線的起點選擇為區(qū)域左邊緣上均勻分布的一組點。對于復雜的情況，矢量線起點不容易選擇，并且streamline命令繪制的電力線，只能從電位高的點出發(fā)，增加了起點選擇上的困難。圖3是無限長帶電平行雙線的等位面和電力線圖，帶箭頭的線表示電力線，不帶箭頭的圓弧形線表示等位面。圖3(a)為平行雙線橫斷面上的電力線與等位面分布圖，圖3(b)為圖(a)的旋轉后得到的3D圖，更生動形象。

(a)橫截面分布圖 (b)3D分布圖 圖3 無限長帶電平行雙線的電力線與等位面分布圖

用streamline命令繪制平行雙線的電力線時，起點如何選擇？如果不存在能畫出全部電力線的一組起點，又該如何處理呢？電力線從正電荷出發(fā)，終止于負電荷，起點自然選擇在左邊帶正電的線電荷上，但是線電荷的電場強度無限大，具有奇異性，合適的選擇是將線電荷變成一個半徑很小的圓柱體，其橫截面外邊緣是個小圓圈，電力線起點選擇為小圓圈上一組均勻的點。為什么是均勻的一組點？因為當圓圈半徑很小時，距離線電荷很近，遠處電荷產(chǎn)生的電場可以忽略，電場主要是線電荷自身產(chǎn)生的輻射狀的圓柱對稱場，因而在小圓圈上選擇均勻的點作為電力線的起點是合理的。如此選擇起點后，并不能畫出全部的電力線，因為有些電力線從正電荷發(fā)出后，穿出了繪圖區(qū)域，經(jīng)過了很遠的路徑，再返回來進入繪圖區(qū)域終止到負電荷，streamline命令無法繪制這些返程的電力線。所以無法僅設置一組起點來繪制全部的電力線。

通過設置兩組點和多組點，可以繪制出全部的電力線，但是會發(fā)生電力線交疊、重復等情況，需要大量的圖形編輯工作。解決的方法是分成左右兩個區(qū)域，分別繪制電力線，然后將圖形拼接起來。有兩種手段處理這個問題，其一是鏡像對稱法，先繪制左半?yún)^(qū)域的電力線，再沿著中分面做個鏡像，得到右半?yún)^(qū)域的電力線，拼接后得到全部的電力線，該方法適合于電力線分布鏡像對稱的情況，并且需要Photoshop軟件。其二是先繪制左半?yún)^(qū)域的電力線，然后將平行雙線的電荷設置為左負右正，再繪制右邊的電力線，拼接后得到全區(qū)域的電力線，該方法在Matlab中即可實現(xiàn)，不需要另外的圖形編輯軟件。用streamline命令繪制矢量線，對于無法選擇一組起點繪制全部矢量線的情形，分割區(qū)域、拼接圖形是有效的途徑。用Matlab繪制帶電平行雙線的等位面和電力線分布圖的主要代碼如下：

rho_1=1e-8;%C/m, 電荷線密度

b=2.5;%m, 繪圖區(qū)域?qū)挾?/p>

a=1;%m, 線電荷中心距

h=2.5;%m, 繪圖區(qū)域高度

delta=0.001;%防止出現(xiàn)奇異值，設置小偏移

M=101;N=101;%繪圖區(qū)域x、y方向點數(shù)

K=9e9;%靜電力常數(shù)

[x,y]=meshgrid(-b:2*b/(M-1):b,-h:2*h/(N-1):h);

r1=sqrt((x+a/2).^2+y.^2+delta);

r2=sqrt((x-a/2).^2+y.^2+delta);

Phi=2*K*rho_1*log(r2./r1);%電位

figure;contour(x,y,Phi,15);%繪制等位面

hold on;

plot(-a/2,0,'r+','MarkerSize',10);%繪制正電荷標志“+”

axis equal;%令圖上x、y方向的單位長度相等

%----下面繪制左半?yún)^(qū)域電力線------

[x1,y1]=meshgrid(-b:2*b/(M-1):0,-h:2*h/(N-1):h);

r11=sqrt((x1+a/2).^2+y1.^2+delta);

r21=sqrt((x1-a/2).^2+y1.^2+delta);

Phi_1=2*K*rho_1*log(r21./r11);

[Ex1,Ey1]=gradient(-Phi_1);%根據(jù)電位求電場強度

aa=0.1;%電力線起點所在圓的半徑

KK=1:18;

Max=max(KK);

xx1=[-a/2+aa*cos(2*pi/Max.*KK)];%電力線起點x坐標

yy1=[aa*sin(2*pi/Max.*KK)];%電力線起點y坐標

streamline(x1,y1,Ex1,Ey1,xx1,yy1);%繪制左半?yún)^(qū)域電力線

%----下面繪制右半?yún)^(qū)域電力線------

[x2,y2]=meshgrid(0:2*b/(M-1):b,-h:2*h/(N-1):h);

r12=sqrt((x2+a/2).^2+y2.^2+delta);

r22=sqrt((x2-a/2).^2+y2.^2+delta);

Phi_2=2*K*rho_1*log(r22./r12);

[Ex2,Ey2]=gradient(Phi_2);%電場取相反數(shù)，繪圖方便

xx2=[a/2+aa*cos(pi-(2*pi/Max.*KK))];

yy2=[aa*sin(pi-(2*pi/Max.*KK))];

streamline(x2,y2,Ex2,Ey2,xx2,yy2);

3 無解析解的電磁場的可視化

無解析解的電磁場模型的可視化，需要借助電磁場分析軟件求出數(shù)值解，如HFSS，Comsol，Ansoft等等，然后根據(jù)計算出的數(shù)值解來繪制電磁場分布圖形。其中Comsol軟件計算可靠，出圖清晰，既能輸出靜態(tài)圖，又能輸出avi和gif格式的動畫，是電磁場可視化的一種理想工具。

使用Comsol計算電磁場模型，遵循有限元方法的基本步驟。首先定義求解區(qū)域，選擇正確的電磁模組(電磁場方程)，選取準確的材料參數(shù)，設置正確的邊界條件，劃分合適的網(wǎng)格，然后計算出結果，再經(jīng)過后處理步驟得到各物理量(標量場或矢量場的分量)在網(wǎng)格節(jié)點的數(shù)值。

根據(jù)可靠的數(shù)值計算結果繪制電磁場分布圖形，制作可視化所需的圖形和動畫，要注意兩點。首先要搞清楚計算模型中最基本、最重要、最有意義的物理量有哪些，這些基本物理量的有關圖形即可作為可視化的結果。其次，直接繪制的三維電磁場分布圖形比較復雜和混亂，而二維圖形比三維圖形更能清晰、直觀地反映出電磁場的變化規(guī)律。所以繪制圖形時，要注意選取某個合適截面上的某個合適的物理量。

圖4(a)是用Comsol軟件繪制的某電偶極子天線遠場方向圖，是軸對稱的，跟解析結果是一致的。

圖4(b)是以偶極子天線為軸線的子午面(偶極子天線所在的一個剖面)上電場強度矢量點圖，由于偶極子天線的電磁場空間分布具有軸對稱性(以偶極子天線為軸)，該圖能清晰反應出電場強度的空間分布特性。

圖4(c)是電偶極子天線中垂面上電場強度的幅度分布圖，說明空間電場分布是軸對稱且向遠處震蕩減弱的。

用Comsol軟件制作動畫，要選擇某個合適的參數(shù)，它的變化能反映計算模型中電磁場的變化規(guī)律。(衛(wèi) 延文)

(a)方向圖 (b)子午面電場強度分布圖

比如頻率或相位，在Comsol建模后，將頻率或相位定義成一個漸變的參數(shù)，從某個初值變化到終值，進行掃描計算，根據(jù)這個掃描計算的結果，使用Comsol軟件可以直接生成動畫。以圖4(b)(c)為例，選擇相位為漸變參數(shù)，從0變化到2π，進行掃面計算后，可以輸出電磁場分布隨時間變化的動畫。

4 結語

本文對電磁場與電磁波的可視化工作進行了分類，并指出了各類可視化圖形和動畫的制作方法、應用軟件和注意事項，還詳細說明了用streamline命令繪制矢量線圖的方法和技巧,對電磁場相關課程的可視化工作具有指導作用，對電磁場可視化技術的發(fā)展也具有重要參考意義。