基于廣義多項(xiàng)式混沌的跨座式單軌車輛隨機(jī)平穩(wěn)性分析

周生通，王 迪，肖 乾，李鴻光，張 沛

(1.華東交通大學(xué) 載運(yùn)工具與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330013；2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

自我國第一條跨座式單軌交通線路在重慶市建成以來，跨座式單軌憑借其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)，已成為我國城市軌道交通系統(tǒng)首選制式之一，而與之相關(guān)的跨座式單軌車輛動(dòng)力學(xué)性能研究在近年來也受到了國內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注[1]。眾所周知，動(dòng)力學(xué)性能的好壞決定著軌道車輛運(yùn)行品質(zhì)的高低，一直以來國內(nèi)外學(xué)者主要從車輛結(jié)構(gòu)參數(shù)、輪軌接觸特性和外部環(huán)境條件等研究不同因素對(duì)軌道車輛動(dòng)力學(xué)性能的影響[2-4]。但現(xiàn)有研究大多是建立在確定性分析框架下的，即建立確定的動(dòng)力學(xué)仿真模型，設(shè)置固定的參數(shù)，時(shí)域積分得到車輛系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，而且在探討參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響規(guī)律時(shí)，還往往存在選取參數(shù)變量單一、仿真工況有限等問題，得到的響應(yīng)規(guī)律較為片面。然而，若是執(zhí)行完全參數(shù)分析又會(huì)使仿真組合工況過于龐大，難以完成[5]。另一方面，在工程實(shí)踐中，軌道車輛系統(tǒng)的懸掛參數(shù)(如剛度和阻尼系數(shù))、軌道和輪軌參數(shù)(如軌道超高率、輪軌靜/動(dòng)摩擦因數(shù))、車輛載重等往往會(huì)受運(yùn)營里程、制造/安裝誤差、磨損老化、外部環(huán)境(如溫度、濕度)等的影響而變化，再加之各種偶然和認(rèn)知方面的影響因素，勢(shì)必造成車輛參數(shù)具有隨機(jī)不確定性[5-7]。顯然，這些隨機(jī)因素在傳統(tǒng)確定性分析中是無法被合理考慮的，進(jìn)而也就無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)軌道車輛動(dòng)力學(xué)性能。因而，針對(duì)跨座式單軌車輛系統(tǒng)，發(fā)展有效的隨機(jī)分析方法，開展隨機(jī)參數(shù)作用下的車輛動(dòng)力學(xué)研究，就顯得很有必要。

當(dāng)前，針對(duì)跨座式單軌車輛的隨機(jī)分析并不多見，已有研究主要是一些其他類型的軌道列車。早期的軌道車輛隨機(jī)分析主要關(guān)注軌道不平順作用下的隨機(jī)響應(yīng)問題，利用隨機(jī)振動(dòng)的線性頻域法、數(shù)值積分法、Monte Carlo仿真、虛擬激勵(lì)法和概率密度演化法等方法求解[8-9]。近年來，隨著隨機(jī)量化理論的發(fā)展，考慮隨機(jī)參數(shù)的軌道車輛動(dòng)力學(xué)性能開始受到關(guān)注，如Kassa等[6]考慮軸重、輪軌摩擦因數(shù)和輪軌型面的隨機(jī)性，分析了某列車-道岔耦合系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)；滕萬秀等[7]考慮車輛系統(tǒng)懸掛參數(shù)、輪軌匹配、輪軌界面參數(shù)的隨機(jī)性，研究了高寒動(dòng)車組低溫環(huán)境運(yùn)行時(shí)的動(dòng)力學(xué)性能；羅仁等[5,10]考慮懸掛剛度和阻尼、輪軌匹配參數(shù)、輪軌界面參數(shù)、載荷工況和軌道不平順的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)分布，獲得了高速列車動(dòng)態(tài)包絡(luò)線和動(dòng)力學(xué)指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律；Bigoni等[11]研究了隨機(jī)懸掛參數(shù)下的軌道車輛臨界轉(zhuǎn)速全局靈敏度；趙巖等[12]研究了軌道不平順和一系和二系彈簧剛度隨機(jī)下的車軌耦合系統(tǒng)振動(dòng)靈敏度問題；李雙等[13]則假設(shè)懸掛阻尼器兩端橡膠節(jié)點(diǎn)剛度服從高斯分布，獲得了Sperling指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)矩和靈敏度。不過，這些已有研究多是基于仿真工況隨機(jī)組合思想利用Monte Carlo仿真或拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling,LHS)方法進(jìn)行分析的。顯然，對(duì)于具有高昂計(jì)算成本的復(fù)雜非線性軌道車輛數(shù)值仿真模型，大樣本的組合工況計(jì)算是不現(xiàn)實(shí)的，而在有限樣本數(shù)目限制下，即使是適合于小樣本工況的LHS方法有時(shí)也難以獲得滿足精度的結(jié)果，尤其是在高階統(tǒng)計(jì)矩和概率分布方面。

在軌道車輛多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域，構(gòu)建近似模型(亦稱代理模型)是克服車輛仿真模型高昂計(jì)算成本的主要途徑，如謝歡等[14]結(jié)合Kriging模型、二階響應(yīng)面、徑向基函數(shù)模型構(gòu)造混合代理模型，研究懸掛參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化問題；東方世平[15]利用有限實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本構(gòu)造懸掛系統(tǒng)參數(shù)與動(dòng)力學(xué)指標(biāo)的徑向基函數(shù)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，實(shí)現(xiàn)CRH2型動(dòng)車組懸掛參數(shù)的快速多目標(biāo)優(yōu)化。作為一類隨機(jī)代理模型，非侵入式廣義多項(xiàng)式混沌(generalized polynomial chaos,gPC)方法在隨機(jī)不確定量化領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[16-18]，其本質(zhì)是通過對(duì)隨機(jī)響應(yīng)量進(jìn)行有限的多項(xiàng)式混沌展開，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜非線性數(shù)值模型隨機(jī)響應(yīng)的高效估算。Bigoni等[19]利用隨機(jī)配置法和gPC方法研究了某簡(jiǎn)單Cooperrider車輛模型的非線性臨界轉(zhuǎn)速統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律；項(xiàng)盼等[20]則結(jié)合虛擬激勵(lì)法和gPC方法開展了車軌耦合系統(tǒng)的復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)分析，指出gPC方法存在的維數(shù)災(zāi)難問題，并討論了一種結(jié)合繼承性拉丁超立方抽樣和利用決定系數(shù)篩選基函數(shù)的自適應(yīng)方案。當(dāng)前，針對(duì)gPC的自適應(yīng)稀疏展開技術(shù)頗受重視并發(fā)展迅速，如逐步回歸[21]、最小角回歸[18,22]、壓縮感知[23]等。其中，最小角回歸算法利用相關(guān)性選出對(duì)模型響應(yīng)影響大的回歸量以形成最佳基函數(shù)集合，是一種非常有效的自適應(yīng)稀疏gPC展開方案。

為此，本文以某型跨座式單軌車輛為研究對(duì)象，首先構(gòu)建隨機(jī)參數(shù)作用下的單軌車輛隨機(jī)平穩(wěn)性分析模型；之后，考慮到單軌車輛數(shù)值仿真模型的高昂計(jì)算成本，同時(shí)在有限試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本限制下，探討廣義多項(xiàng)式混沌的自適應(yīng)稀疏展開方案；最后，結(jié)合工程算例分別基于拉丁超立方抽樣法和廣義多項(xiàng)式混沌法，開展不同速度等級(jí)下單軌車輛隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律和全局靈敏度分析，對(duì)比兩種方法結(jié)果的異同，驗(yàn)證自適應(yīng)稀疏gPC方法的有效性。

1 跨座式單軌車輛的隨機(jī)平穩(wěn)性模型

1.1 參數(shù)化UM仿真模型建立

圖1所示為某型跨座式單軌車輛，由1個(gè)車體和2個(gè)轉(zhuǎn)向架子系統(tǒng)構(gòu)成，其中單個(gè)轉(zhuǎn)向架子系統(tǒng)包括1個(gè)構(gòu)架、4個(gè)走行輪、4個(gè)導(dǎo)向輪和2個(gè)穩(wěn)定輪，屬于典型的多體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。為此，這里利用UM(universal mechanism)多體動(dòng)力學(xué)軟件的參數(shù)化建模功能，建立單軌車輛輸入?yún)?shù)、運(yùn)行速度與系統(tǒng)加速度響應(yīng)之間的映射模型

圖1 跨座式單軌車輛參數(shù)化UM仿真模型Fig.1 Parameterized UM simulation model of straddle monorail vehicle

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在UM多體動(dòng)力學(xué)仿真模型中，將車體、轉(zhuǎn)向架構(gòu)架及各輪組假設(shè)為剛性體，并用鉸接和力元模擬各剛體之間的連接關(guān)系，其中采用基于Fiala模型的輪胎特殊力元(tyre)模擬各輪組的橡膠輪胎，以黏彈性的空間線性力元(viscous-elastic)模擬車體與構(gòu)架之間的空氣彈簧，以點(diǎn)繪式雙極力元(point-numberic)模擬構(gòu)架與車體之間的減振器，以襯套特殊力元(bushing)模擬牽引拉桿、抗側(cè)滾扭桿和橫向止擋等的剛度阻尼特性，最終建立的跨座式單軌車輛的UM仿真模型共有38個(gè)自由度，如表1所示。

表1 跨座式單軌車輛仿真模型自由度Tab.1 Degree of freedom of straddle monorail vehicle model

1.2 單軌車輛平穩(wěn)性指標(biāo)

車輛運(yùn)行平穩(wěn)性是考慮車輛在直線或曲線工況下運(yùn)行狀態(tài)的描述，是對(duì)旅客乘坐舒適性和運(yùn)載貨物完整性的評(píng)價(jià)。當(dāng)前，單軌車輛的運(yùn)行平穩(wěn)性多是依據(jù)軌道車輛客車運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)。為此，將式(1)中加速度響應(yīng)量a(t)取為基于UM仿真模型獲得的距離1位心盤一側(cè)1 000 mm的車體地板面上的加速度時(shí)間歷程，那么參照GB/T 5599—1985，單軌車輛的運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)Y可由下式計(jì)算

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式中：fi(i= 1,2,…,n)為加速度時(shí)間歷程a(t)進(jìn)行頻譜分析后在頻域中的第i個(gè)頻率分量，Hz；Wi為頻率為fi時(shí)的平穩(wěn)性指標(biāo)分量；Ai為頻率為fi時(shí)的振動(dòng)加速度幅值，g；F(fi)為頻率為fi時(shí)的頻率修正系數(shù)，由GB/T 5599—1985確定。

若測(cè)量的加速度響應(yīng)a(t)為垂向加速度歷程，則式(2)計(jì)算的是垂向平穩(wěn)性指標(biāo)，若是橫向加速度歷程，則計(jì)算的是橫向平穩(wěn)性指標(biāo)。

1.3 隨機(jī)平穩(wěn)性分析模型

依據(jù)不確定性傳播原理，當(dāng)考慮輸入向量X的隨機(jī)不確定性時(shí)，單軌車輛動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)響應(yīng)量a(t)也必然是隨機(jī)的，進(jìn)而計(jì)算的平穩(wěn)性指標(biāo)Y將呈現(xiàn)隨機(jī)分布規(guī)律。為此，在前述確定性平穩(wěn)性指標(biāo)分析基礎(chǔ)上，將輸入向量X作為隨機(jī)向量，可建立描述單軌車輛不同速度等級(jí)V下的隨機(jī)平穩(wěn)性分析模型

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單軌車輛運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)是利用車體上規(guī)定位置的各方向振動(dòng)加速度經(jīng)統(tǒng)計(jì)處理后得到的評(píng)價(jià)車體隨機(jī)振動(dòng)的指標(biāo)。顯然，在眾多影響平穩(wěn)性指標(biāo)的系統(tǒng)定義參數(shù)中，各參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)平穩(wěn)性指標(biāo)的影響程度是不同的。這里，參照已有研究工作[24]，選取部分關(guān)鍵的單軌車輛外部運(yùn)行條件及自身結(jié)構(gòu)參數(shù)作為系統(tǒng)輸入?yún)?shù)，組成隨機(jī)輸入向量X，并研究各參數(shù)隨機(jī)性作用下的單軌車輛運(yùn)行平穩(wěn)性隨機(jī)分布和響應(yīng)靈敏度規(guī)律。具體包括：①車輛載重m；②懸掛元件剛度阻尼參數(shù)——走行輪垂向剛度k1、水平輪(包括導(dǎo)向輪和穩(wěn)定輪)徑向剛度k2、空氣彈簧垂向剛度kz和橫向剛度kxy、抗側(cè)滾扭桿剛度CAX、牽引拉桿剛度CX、空氣彈簧垂向阻尼cz；③軌道和輪軌界面參數(shù)——軌道超高率h、輪軌動(dòng)摩擦因數(shù)μ1和輪軌靜摩擦因數(shù)μ0。將各參數(shù)組成隨機(jī)向量X，即

X=[m,k1,k2,kz,kxy,CAX,CX,cz,h,μ1,μ0]T

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2 自適應(yīng)稀疏廣義多項(xiàng)式混沌法

2.1 平穩(wěn)性指標(biāo)的gPC近似

依據(jù)gPC展開理論，設(shè)M維隨機(jī)向量X各元素獨(dú)立且滿足Askey方案，否則必須利用隨機(jī)空間變換方法變換實(shí)現(xiàn)[16,18]。那么，具有有限方差的隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)Y可被近似展開為

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式中：‖·‖1為1范數(shù)；p為gPC最大展開階數(shù)。在標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嘞?，總的gPC展開項(xiàng)數(shù)P為

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若gPC基函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正交的，那么隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)Y的均值μ和方差D(或標(biāo)準(zhǔn)差σ)可由gPC展開系數(shù)直接估算，即

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對(duì)于隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)Y的更高階統(tǒng)計(jì)矩(如偏斜度、峰度)、概率分布等信息可由大量Monte Carlo樣本在gPC近似模型式(6)的基礎(chǔ)上統(tǒng)計(jì)推斷獲得。此外，利用gPC展開系數(shù)還可直接獲得隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)對(duì)各隨機(jī)變量的Sobol全局靈敏度[18,25]。其中，一階Sobol靈敏度指標(biāo)為

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式中，集合Ii={α∈|αk≠0?k=i}。Si描述了單一隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,M)對(duì)隨機(jī)響應(yīng)方差D的相對(duì)貢獻(xiàn)大小?？偟腟obol靈敏度指標(biāo)為

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2.2 自適應(yīng)稀疏展開方案

從式(8)中可以看到，隨著維數(shù)M和階數(shù)p的增加，總的gPC展開項(xiàng)數(shù)P(即隨機(jī)模型維數(shù))將急劇增加，從而導(dǎo)致隨機(jī)平穩(wěn)性分析的維數(shù)災(zāi)難問題。因此，考慮到跨座式單軌車輛UM仿真模型的高昂計(jì)算量，在有限試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本的限制下，提出有效的降維方法，以獲得最佳gPC近似精度，就顯得尤為重要。

通常，增加階數(shù)p會(huì)提高gPC模型的近似精度，但階數(shù)的增加也意味著隨機(jī)維度P的大幅增加，尤其是維數(shù)M較大時(shí)(文中M= 11)，同時(shí)在有限樣本數(shù)據(jù)下，過高的維度(如P接近甚至超過N)將會(huì)造成過擬合問題，甚至無法求解。為此，這里給出結(jié)合低階交互截?cái)?、最小角回歸(least angle regression,LAR)、最小二乘法(ordinary least squares,OLS)和留一法交叉驗(yàn)證(leave-one-out,LOO)實(shí)現(xiàn)的gPC自適應(yīng)稀疏展開方案，如圖2所示?？梢钥吹?，在N個(gè)有限試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，該方案主要從兩個(gè)方面：①gPC最大展開階數(shù)p的自適應(yīng)選取；②特定展開階數(shù)下的基于低階交互截?cái)嗪蚅AR的最優(yōu)稀疏gPC基集合*(p)選取，來實(shí)現(xiàn)gPC近似模型的降維和獲得最佳近似精度的。

圖2 廣義多項(xiàng)式混沌展開的自適應(yīng)稀疏方案Fig.2 Adaptive sparse scheme for gPC expansion

在稀疏gPC基選擇方面，相比式(7)的傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗖呗?，低階交互截?cái)喾桨刚J(rèn)為只有變量之間的低階交互才是重要的，從而通過舍棄標(biāo)準(zhǔn)gPC展開基集合中的某些高階高秩項(xiàng)獲得稀疏gPC基集合。這里采用如下低階交互截?cái)?，亦稱q-范數(shù)或雙曲截?cái)郲22]

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式中，‖·‖q為q-范數(shù)。當(dāng)q= 1時(shí)退化為標(biāo)準(zhǔn)截?cái)?；?dāng)q<1時(shí)部分高階高秩交叉項(xiàng)則會(huì)被剔除，且q取值越小剔除的項(xiàng)數(shù)越多。除了低階交互截?cái)?，基于最小角回歸可進(jìn)一步獲得更稀疏的gPC基集合。本質(zhì)上，最小角回歸是通過將候選集(candidate set)中與當(dāng)前殘差最相關(guān)的回歸量逐步加入到有效集(active set)中來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)稀疏gPC基集合選取的。有關(guān)低階交互截?cái)唷⒆钚〗腔貧w及其在稀疏gPC基集合選擇中的應(yīng)用詳見文獻(xiàn)[22,26]。

一旦獲得了當(dāng)前階數(shù)p下的最優(yōu)稀疏gPC基集合*(p)，那么利用最小二乘法即可獲得該稀疏集合對(duì)應(yīng)的gPC展開系數(shù){cα,α∈*(p)}。同時(shí)，為了評(píng)估該稀疏集合下gPC近似模型的精度，這里采用基于留一法的后驗(yàn)交叉驗(yàn)證誤差估計(jì)

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經(jīng)過一系列循環(huán)后，依據(jù)最小的εLOO即可獲得最佳的gPC展開階數(shù)

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3 工程算例

3.1 算例描述

本節(jié)以某型跨座式單軌車輛為研究對(duì)象，建立該型單軌車輛在R300曲線段以不同速度等級(jí)運(yùn)行時(shí)的隨機(jī)平穩(wěn)性模型，在有限試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本限制下，分別采用拉丁超立方體抽樣方法和前述自適應(yīng)稀疏廣義多項(xiàng)式混沌方法，詳細(xì)探討車輛載重、懸掛元件剛度和阻尼、軌道參數(shù)和輪軌界面參數(shù)的隨機(jī)性影響下的單軌車輛隨機(jī)平穩(wěn)性統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，同時(shí)對(duì)比兩種方法的優(yōu)劣。

為此，在已有研究基礎(chǔ)上，并結(jié)合專家經(jīng)驗(yàn)取式(5)中的11個(gè)輸入?yún)?shù)作為隨機(jī)向量，設(shè)各隨機(jī)參數(shù)服從正態(tài)分布或截尾正態(tài)分布，相應(yīng)的分布參數(shù)列于表2。其中，考慮到單軌車輛在空載和超載下的重量限制，設(shè)定車輛載重m的截尾區(qū)間為[14 220，25 800]；按GB 50458—2008設(shè)定軌道超高率h最大截?cái)帱c(diǎn)為12%；同時(shí)限制輪軌動(dòng)摩擦因數(shù)μ1和靜摩擦因數(shù)μ2的分布區(qū)間分別為[0.7，0.9]和[0.9，1.3]；而其余各元件的剛度和阻尼參數(shù)由于沒有明確的上/下限值規(guī)定，這里將它們?nèi)榉墙匚驳恼龖B(tài)分布。此外，考慮空氣彈簧剛度和車輛載重之間存在的正相關(guān)性，并用Spearman相關(guān)系數(shù)描述，其中車輛載重m與空簧垂向剛度kz和空簧橫向剛度kxy的相關(guān)系數(shù)均設(shè)為0.7，空簧垂向剛度kz和橫向剛度kxy的相關(guān)系數(shù)設(shè)為0.8。

表2 隨機(jī)參數(shù)取值Tab.2 The values of stochastic parameters

算例中以確定性的軌道不平順樣本模擬軌道激勵(lì)，并取V1=45 km/h，V2=60 km/h和V3=75 km/h三種單軌車輛運(yùn)行速度工況，同時(shí)考慮到UM數(shù)值仿真模型的高昂計(jì)算量，這里限制每一速度等級(jí)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本數(shù)目為200組，并采用拉丁超立方體抽樣技術(shù)獲得試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本。為便于比較，取三種速度等級(jí)下的200組試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本保持一致，并計(jì)算該200組樣本在三種速度下的單軌車輛橫向平穩(wěn)性和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)，以獲取輸入輸出試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)。參照規(guī)范GB/T 5599—1985，跨座式單軌車輛的橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)分別由車體1位端心盤一側(cè)1 000 mm地板面上一點(diǎn)的橫向和垂向振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)按式(2)計(jì)算得到。

3.2 基于LHS樣本的隨機(jī)分析

圖3和圖4是依據(jù)200組LHS樣本數(shù)據(jù)直接繪制的三種速度等級(jí)下單軌車輛橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)的直方圖及其正態(tài)分布擬合，并估算了相應(yīng)的前四階矩(均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏斜度和峰度)和樣本極差，列于表3。

圖3 基于LHS樣本的橫向平穩(wěn)性指標(biāo)分布Fig.3 Lateral stationarity index distribution based on LHS samples

從均值統(tǒng)計(jì)量角度，可以看到：①同一速度等級(jí)下，該型跨座式單軌車輛的垂向平穩(wěn)性指標(biāo)均值要大于橫向平穩(wěn)性指標(biāo)均值；②在三種速度等級(jí)下，橫向平穩(wěn)性指標(biāo)隨運(yùn)行速度增加而增加(1.584 2,1.585 7,1.606 8)，但增幅卻不大，尤其是45 km/h和60 km/h速度等級(jí)之間相應(yīng)增幅不超過1‰，而60 km/h和75 km/h速度等級(jí)之間的增幅低于1.5%；③在三種速度等級(jí)下，垂向平穩(wěn)性指標(biāo)從45 km/h的1.821 4先略微下降到60 km/h的1.817 1，之后又相對(duì)顯著地增加到了75 km/h的1.934 0。這些均值結(jié)果規(guī)律與傳統(tǒng)的確定性平穩(wěn)性分析規(guī)律較為一致[24]，間接驗(yàn)證了計(jì)算模型的正確性。

從統(tǒng)計(jì)離散性來看，三種速度等級(jí)下的橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)，無論是標(biāo)準(zhǔn)差還是極差，隨著速度的增加均呈現(xiàn)減小趨勢(shì)，其中橫向平穩(wěn)性指標(biāo)從60 km/h到75 km/h的離散性下降較為明顯(如標(biāo)準(zhǔn)差從0.030 0降到0.017 3)，而垂向平穩(wěn)性指標(biāo)的離散性則是在45 km/h和60 km/h下降相對(duì)明顯。表明隨著車輛響應(yīng)量的增加，隨機(jī)參數(shù)隨機(jī)性對(duì)平穩(wěn)性指標(biāo)的離散性影響整體在下降。

從樣本數(shù)據(jù)的偏態(tài)分布來看，橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)的偏斜度隨著三個(gè)速度等級(jí)的增加而增大，其中45 km/h時(shí)兩種平穩(wěn)性指標(biāo)的偏斜度均比較接近零，分別為5.56×10-4和0.058 4，表明該速度工況下的隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)呈對(duì)稱分布形式，而60 km/h和75 km/h速度下的偏斜度均明顯大于零，尤其是75 km/h速度時(shí)的垂向平穩(wěn)性指標(biāo)偏斜度達(dá)到了0.750 5，使得分布呈現(xiàn)明顯右偏態(tài)，即有更多的樣本數(shù)據(jù)落在均值右側(cè)且右側(cè)尾部較長，如圖4(c)所示。

從峰度統(tǒng)計(jì)量角度，三種速度等級(jí)下的橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)，以60 km/h時(shí)的峰度值最小但均大于3，表明相比正態(tài)分布，各平穩(wěn)性指標(biāo)在分布峰值處更為陡峭。其中，橫向平穩(wěn)性指標(biāo)在45 km/h和60 km/h時(shí)以及垂向平穩(wěn)性指標(biāo)在60 km/h時(shí)的峰度值均比較接近3，分別為3.083 8，3.054 8和3.036 0，因而可以近似認(rèn)為它們具有和正態(tài)分布一致的峰態(tài)。不過，45 km/h時(shí)的垂向平穩(wěn)性指標(biāo)和和75 km/h時(shí)的橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)的峰度值是明顯大于3的，分別為3.200 4，3.252 9，3.975 7，表明這些情況下的分布峰值和尾部特征與正態(tài)分布差異較大。

不過，需要注意的是，雖然拉丁超立方抽樣利用分層抽樣原理可做到以較小樣本數(shù)目獲得較高的抽樣精度，但在這里200組有限樣本數(shù)據(jù)限制下，其對(duì)高階統(tǒng)計(jì)矩(如偏斜度、峰度等)的估計(jì)精度仍然誤差較大，因此本小節(jié)基于LHS樣本的單軌車輛隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的結(jié)論不一定完全正確，尤其是針對(duì)高階統(tǒng)計(jì)矩的規(guī)律(見表3)。這一問題在下一節(jié)討論。

表3 三種速度下隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)矩Tab.3 Statistical moments of stochastic stationarity index for three different speeds

3.3 基于gPC近似模型的隨機(jī)分析

將前述200組拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，利用文中給出的自適應(yīng)稀疏展開方案，設(shè)定低階交互截?cái)鄥?shù)q=0.75，最高展開階數(shù)范圍p∈[2,10]，建立單軌車輛隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)的最優(yōu)gPC近似模型。

3.3.1 gPC近似模型及其驗(yàn)證

表4給出了三種速度等級(jí)下自適應(yīng)稀疏gPC近似模型的構(gòu)建情況?？梢钥吹?，不同速度下橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)的gPC模型都具有較高的近似精度(誤差量級(jí)10-4)。以60 km/h時(shí)垂向平穩(wěn)性指標(biāo)的gPC近似模型為例，在標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嘞掠墒?8)可以計(jì)算出11維5階gPC展開項(xiàng)數(shù)為4 368項(xiàng)，遠(yuǎn)超過已知的200組試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)目，但采用式(13)低階交互截?cái)喾桨负?，?xiàng)數(shù)降低至496項(xiàng)，之后再利用LAR稀疏選擇方案，項(xiàng)數(shù)更是降低到33項(xiàng)，此時(shí)利用OLS算法即可估算出gPC展開系數(shù)，構(gòu)建出gPC近似模型，且留一法誤差εLOO為5.61×10-4，模型精度很高。而該工況下的最佳階數(shù)p*= 5正是在最高階數(shù)展開范圍p∈[2,10]內(nèi)自適應(yīng)運(yùn)算的結(jié)果。

表4 自適應(yīng)稀疏gPC近似模型的構(gòu)建Tab.4 Construction of adaptive sparse gPC approximation model

為了進(jìn)一步驗(yàn)證構(gòu)建的gPC模型近似精度，這里基于拉丁超立方抽樣方法再額外計(jì)算出100組試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)作為驗(yàn)證集，并采用泛化誤差估算

(17)

(18)

表5 基于驗(yàn)證集的gPC模型近似精度Tab.5 The accuracy of gPC models based on validation set

圖5 75 km/h時(shí)平穩(wěn)性指標(biāo)的真實(shí)值和gPC近似值散點(diǎn)圖Fig.5 Scatter plot of the statinarity index of real model and gPC model at 75 km/h

3.3.2 基于gPC模型的結(jié)果分析

在前述gPC近似模型基礎(chǔ)上，開展20 000組大樣本數(shù)據(jù)抽樣。圖6和圖7是利用獲得的20 000組樣本數(shù)據(jù)繪制的三種速度等級(jí)下單軌車輛橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)的直方圖及其正態(tài)分布擬合，并估算了相應(yīng)的前四階矩(均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏斜度和峰度)和樣本極差，列于表3?？梢钥吹剑合啾惹笆龌?00組有限數(shù)據(jù)的直接LHS結(jié)果，在基于gPC近似模型的20 000組大樣本數(shù)據(jù)下繪制的統(tǒng)計(jì)直方圖可以更精細(xì)地表達(dá)單軌車輛隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)的分布規(guī)律。

對(duì)比三種速度等級(jí)下的各階統(tǒng)計(jì)矩信息(見表3)，可以發(fā)現(xiàn)LHS和gPC兩種方法下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)變化規(guī)律是基本一致的。特別是，前兩階統(tǒng)計(jì)矩(即均值和標(biāo)準(zhǔn)差)數(shù)據(jù)，不僅變化規(guī)律一致，數(shù)據(jù)大小的差異也非常小，這也從側(cè)面證明了建立的自適應(yīng)稀疏gPC近似模型的正確性。不過，兩種方法下的更高階統(tǒng)計(jì)矩(如偏斜度和峰度)數(shù)據(jù)則差異比較大。以45 km/h時(shí)的LHS結(jié)果和gPC結(jié)果為例，垂向平穩(wěn)性指標(biāo)的偏斜度分別為0.058 4和0.034 9，峰度分別為3.200 4和2.980 2，差異明顯。考慮到本算例中建立的自適應(yīng)稀疏gPC模型在近似精度上有保證，因此將獲得的gPC結(jié)果作為探討單軌車輛平穩(wěn)性指標(biāo)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的依據(jù)是合理的。

為此，基于gPC結(jié)果，同時(shí)考慮到前兩階矩差異性較小，這里僅對(duì)上一節(jié)基于LHS結(jié)果的偏斜度和峰度規(guī)律進(jìn)行部分修正。在偏態(tài)方面，基于gPC的橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)的偏斜度，同樣是隨著三個(gè)速度等級(jí)的增加而增大的。不過，相比LHS結(jié)果，所有偏斜度大小均有所下降，其中45 km/h和60 km/h時(shí)橫向偏斜度減小到了負(fù)值，表現(xiàn)出左偏態(tài)，說明隨著速度等級(jí)的增加，單軌車輛的橫向平穩(wěn)性指標(biāo)分布偏態(tài)是由左偏態(tài)逐步過渡到右偏態(tài)的。從偏態(tài)程度上看，60 km/h時(shí)橫向偏斜度和45 km/h時(shí)垂向偏斜度均非常接近零，分別為-0.029 2和0.034 9，表明這兩種情況下的隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)可認(rèn)為呈對(duì)稱式分布，而其余情況下的橫向和垂向偏斜度絕對(duì)值均明顯大于零，尤其是75 km/h時(shí)橫向和垂向偏斜度分別達(dá)到了0.334 4和0.556 2，呈現(xiàn)出明顯的右偏態(tài)，使得更多的樣本數(shù)據(jù)落在了均值右側(cè)且具有較長的右尾部，如圖6(c)和圖7(c)所示，這表明：?jiǎn)诬壾囕v運(yùn)行速度越大，出現(xiàn)較大平穩(wěn)性指標(biāo)的概率也越高，使得列車舒適性體驗(yàn)下降。

在峰態(tài)方面，三種速度等級(jí)下，基于gPC的橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)，雖然仍以60 km/h時(shí)的峰度值最小，但相比LHS結(jié)果，所有峰度值大小有所下降，其中60 km/h時(shí)的橫向和垂向峰度值以及45 km/h時(shí)的垂向峰度值更是下降到了3以下，分別為2.983 2，2.882 4和2.980 2，說明這些隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)的峰態(tài)比正態(tài)分布更為平緩。而45 km/h時(shí)的橫向峰度值和75 km/h時(shí)的橫向和垂向峰度值則仍然大于3，分別為3.076 1，3.096 9和3.950 1，具有比正態(tài)分布更陡峭的峰態(tài)，尤其是75 km/h的垂向平穩(wěn)性指標(biāo)，其分布特征與正態(tài)分布在峰值和尾部方面有較為顯著的差異，如圖7(c)所示。不過，除了75 km/h時(shí)的垂向峰度值(即3.950 1)，其余各速度等級(jí)下的橫向和垂向峰度值均較為接近3，差異值很小，可以近似認(rèn)為與正態(tài)分布有一致的峰態(tài)。

最后，以GB/T 5599—1985中客車運(yùn)行平穩(wěn)性等級(jí)作為單軌車輛平穩(wěn)性評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，可知當(dāng)橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)Y<2.5時(shí)，平穩(wěn)性等級(jí)為1級(jí)，評(píng)定為優(yōu)。從圖6和圖7中可以看到，即使考慮參數(shù)的隨機(jī)性，本算例中三種速度等級(jí)下的該型單軌車輛的橫向垂向平穩(wěn)性指標(biāo)超出2.5的概率也是微乎其微。以算例中最大的75 km/h的垂向平穩(wěn)性指標(biāo)為例，基于20 000組試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本可得：統(tǒng)計(jì)均值為1.934 1，標(biāo)準(zhǔn)差為0.014 8，超出閾值2和2.5的樣本個(gè)數(shù)分別為16和0，對(duì)應(yīng)的樣本估算失效概率分別為0.8‰和0‰。說明本算例所涉工況的單軌車輛平穩(wěn)性等級(jí)為優(yōu)。

圖6 基于gPC模型的橫向平穩(wěn)性指標(biāo)分布Fig.6 Lateral stationarity index distribution based on gPC model

圖7 基于gPC模型的垂向平穩(wěn)性指標(biāo)分布Fig.7 Vertical stationarity index distribution based on gPC model

3.4 隨機(jī)平穩(wěn)性靈敏度分析

利用前述構(gòu)建的gPC近似模型，依據(jù)式(11)和式(12)可直接獲得三種速度等級(jí)下橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)對(duì)各隨機(jī)變量的Sobol全局靈敏度，如圖8、圖9和表6所示。這里僅討論橫向和垂向隨機(jī)平穩(wěn)性指標(biāo)的一階和總的Sobol靈敏度。

圖8 基于gPC模型的橫向平穩(wěn)性指標(biāo)靈敏度Fig.8 Sensitivity of lateral stationarity index based on gPC model

可以看到，對(duì)橫向平穩(wěn)性指標(biāo)方差貢獻(xiàn)最大的隨機(jī)參數(shù)是水平輪(即導(dǎo)向輪和穩(wěn)定輪)的徑向剛度k2，其次是車輛載重m；對(duì)垂向平穩(wěn)性指標(biāo)方差貢獻(xiàn)最大的隨機(jī)參數(shù)是走行輪垂向剛度k1，其次是空簧垂向阻尼cz，再次是車輛載重m；而其余各隨機(jī)參數(shù)對(duì)平穩(wěn)性方差的貢獻(xiàn)相對(duì)就非常小，也意味著它們?cè)趩诬壾囕v隨機(jī)平穩(wěn)性分析中通常是可以被忽略掉。

進(jìn)一步，對(duì)比三種速度等級(jí)下的Sobol靈敏度，可以看出：隨著運(yùn)行速度的增大，車輛載重m對(duì)橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)方差的貢獻(xiàn)均呈增大趨勢(shì)；走行輪垂向剛度k1對(duì)垂向平穩(wěn)性指標(biāo)方差的貢獻(xiàn)則呈減小趨勢(shì)；水平輪徑向剛度k2對(duì)橫向平穩(wěn)性指標(biāo)方差的貢獻(xiàn)逐漸減??；空簧垂向阻尼cz對(duì)垂向平穩(wěn)性指標(biāo)方差的貢獻(xiàn)在逐漸增大。

另外，對(duì)比三種速度等級(jí)下一階Sobol靈敏度和總的Sobol靈敏度可知，兩者的數(shù)據(jù)差異很小，這說明在本算例中單軌車輛平穩(wěn)性指標(biāo)的離散性受隨機(jī)參數(shù)交互作用的影響是較小的。不過，隨著運(yùn)行速度的增加，這種隨機(jī)參數(shù)交互作用的影響也在逐漸增大，如75 km/h時(shí)垂直平穩(wěn)性指標(biāo)對(duì)車輛載重m和走行輪垂向剛度k1的一階和總的Sobol靈敏度數(shù)據(jù)差異就比較明顯了，如表6和圖9(c)所示。

表6 三種速度下垂向平穩(wěn)性指標(biāo)的Sobol靈敏度Tab.6 Sobol sensitivity of vertical stationary index under three different speeds

圖9 基于gPC模型的垂向平穩(wěn)性指標(biāo)靈敏度Fig.9 Sensitivity of vertical stationarity index based on gPC model

4 結(jié) 論

(1)提出了以橫向和垂向平穩(wěn)性指標(biāo)為關(guān)鍵響應(yīng)量的單軌車輛運(yùn)行平穩(wěn)性隨機(jī)分析和靈敏度計(jì)算方法；同時(shí)，借助參數(shù)化UM建模和仿真功能可以實(shí)現(xiàn)任意輸入?yún)?shù)影響下單軌車輛復(fù)雜響應(yīng)量的模型函數(shù)建立。

(2)給出的gPC自適應(yīng)稀疏方案可基于現(xiàn)有有限的試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)極大地降低隨機(jī)平穩(wěn)性分析模型的隨機(jī)維度(即總展開項(xiàng)數(shù))，并達(dá)到自適應(yīng)范圍內(nèi)的最佳gPC模型近似精度。與直接采用拉丁超立方抽樣方法相比，基于gPC近似模型的隨機(jī)結(jié)果更為準(zhǔn)確可靠，尤其是高階統(tǒng)計(jì)矩。

(3)該型跨座式單軌車輛在三種速度等級(jí)下的平穩(wěn)性指標(biāo)整體呈現(xiàn)正態(tài)分布規(guī)律，其中同一速度等級(jí)下垂向平穩(wěn)性指標(biāo)均值要大于橫向平穩(wěn)性指標(biāo)均值，并且隨著速度的增加各平穩(wěn)性指標(biāo)的離散性(標(biāo)準(zhǔn)差和極差)在減?。欢诟唠A矩方面，速度增加則引起平穩(wěn)性指標(biāo)的偏斜度和峰度增大，尤其是在75 km/h時(shí)，表明運(yùn)行速度越大單軌車輛出現(xiàn)較大平穩(wěn)性指標(biāo)的概率也越高，使得列車舒適性體驗(yàn)下降。不過，即使受到輸入?yún)?shù)隨機(jī)性的影響，本算例所涉工況的平穩(wěn)性等級(jí)仍為優(yōu)。

(4)車輛載重m、走行輪垂向剛度k1、水平輪徑向剛度k2、空簧垂向阻尼cz是影響單軌車輛平穩(wěn)性指標(biāo)方差的主要隨機(jī)參數(shù)。其中，在垂向平穩(wěn)性方面，隨著速度的增大，m和cz的貢獻(xiàn)增大，k1的貢獻(xiàn)減?。欢跈M向平穩(wěn)性方面，m的貢獻(xiàn)增大，k2的貢獻(xiàn)減小。