結(jié)構(gòu)力學(xué)中位移法的探討

楊小鈺

（山西工商學(xué)院，山西 太原 030062）

位移法是除力法外計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的又一種基本的、有效的計(jì)算方法。在結(jié)構(gòu)力學(xué)位移計(jì)算的兩種方法中，一種是利用基本體系建立典型方程，它是以力法為基礎(chǔ)，以獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的結(jié)構(gòu)計(jì)算方法；一種是直接利用桿端力平衡條件建立位移法基本方程，這種方法同樣是以結(jié)構(gòu)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移相應(yīng)的平衡條件建立位移法方程，以結(jié)點(diǎn)角位移為基本未知量建立結(jié)點(diǎn)力矩平衡方程，以結(jié)點(diǎn)線位移建立截面的投影平衡方程。位移法平衡方程和位移法典型方程既有相同點(diǎn)也有不同點(diǎn)，這二者本質(zhì)上是相同的，前者便于理解和手算，后者便于與力法及以計(jì)算機(jī)計(jì)算為基礎(chǔ)的矩陣位移法對(duì)比，從而加深對(duì)內(nèi)容的理解。在學(xué)習(xí)時(shí)，要了解它們的共性，還要掌握它們的不同。這樣才能有效地提高學(xué)習(xí)效率，更透徹地把握兩種方法的計(jì)算步驟和基本原理。

1 位移法典型方程和平衡方程的探討

在課本中，位移法是在力法之后學(xué)習(xí)。通過(guò)對(duì)力法的了解，學(xué)生對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)的原理和解題方法有了初步的認(rèn)識(shí)，即超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算僅由平衡條件不能完全確定，還必須考慮變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程才能求出。在已具備力法相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)位移法基本原理時(shí)，可以通過(guò)與力法基本思路對(duì)比進(jìn)行學(xué)習(xí)。

下面通過(guò)一個(gè)具體的示例說(shuō)明位移法典型方程（如圖1），該結(jié)構(gòu)含有兩個(gè)基本未知量：結(jié)點(diǎn)B 的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點(diǎn)C 的水平位移Z2。

圖1

位移法典型方程的基本體系如上圖所示，該剛架的基本體系是在結(jié)構(gòu)剛結(jié)點(diǎn)B 處加控制結(jié)點(diǎn)B 轉(zhuǎn)動(dòng)但不控制其移動(dòng)的約束，稱(chēng)為附加剛臂，在結(jié)點(diǎn)C 處加水平支桿控制結(jié)點(diǎn)C的水平位移稱(chēng)為附加鏈桿。這就增加了與基本未知量相應(yīng)的人為約束，由于增加了人工控制的約束，原來(lái)的整體結(jié)構(gòu)被分割成許多單體桿件，從而結(jié)構(gòu)由整體計(jì)算變?yōu)閱蝹€(gè)桿件的計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算。為使基本體系的變形與原結(jié)構(gòu)一致，則需使基本體系中的附加剛臂發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角，附加鏈桿發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移，對(duì)于此例，附加剛臂則需轉(zhuǎn)動(dòng)Z1，附加鏈桿水平移動(dòng)Z2，此時(shí)，基本體系各桿的內(nèi)力也和原結(jié)構(gòu)完全相同，故附加剛臂上產(chǎn)生的反力矩R1和附加鏈桿上產(chǎn)生的反力R2均為零。即：R1=0、R2=0，由此即可以推出位移法典型方程：

建立位移法典型方程后，接下來(lái)求解方程時(shí)，首先使結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移，由形常數(shù)得各桿受力，作彎矩圖；其次，考慮外因作用，由載常數(shù)得各桿受力，作彎矩圖Mp；最后，利用結(jié)點(diǎn)平衡條件求出各系數(shù)及自由項(xiàng)，解方程從而求出結(jié)點(diǎn)位移基本未知量，最終求得各桿件的內(nèi)力。

我們同樣以上面的例子分析位移法平衡方程，取結(jié)點(diǎn)B的角位移Bθ和結(jié)點(diǎn)C 的水平位移ΔBC為基本未知量，然后考慮變形協(xié)調(diào)條件并根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程寫(xiě)出用基本未知量表示的各桿桿端彎矩和剪力表達(dá)式，在結(jié)點(diǎn)角位移B 處，建立結(jié)點(diǎn)的力矩平衡方程；在結(jié)點(diǎn)線位移C 處，建立截面的投影平衡方程，利用這些結(jié)點(diǎn)的平衡條件和結(jié)構(gòu)中某一部分的平衡條件（通常為橫梁部分的剪力平衡條件）建立方程組進(jìn)而求得基本未知量，最終求得各桿桿端力。

2 通過(guò)實(shí)例計(jì)算對(duì)兩種位移法進(jìn)行比較

我們根據(jù)以上所說(shuō)的計(jì)算方法，將圖2 所示的實(shí)例采用不同的方法分別比較計(jì)算：

方法1：采用位移法典型方程

基本未知量Z1，Z2，Z3。

圖2

位移法方程

求系數(shù)及自由項(xiàng)

圖3圖

方法2：采用位移法平衡方程

（1）基本未知量θ1，，Δ。

（2）桿端彎矩。

（3）位移法方程。

由結(jié)點(diǎn)B 平衡∑MB=0 得

結(jié)點(diǎn)C 平衡∑MC=0 得

取圖4 所示部分隔離體，建立Y 向投影平衡方程，其中含有未知軸力FNBC，將B 點(diǎn)桿端剪力沿兩桿軸向分解如圖5所示，由∑FY=0 得

對(duì)圖2 所示隔離體，建立水平投影方程，得

由（1）、（2）、（3）聯(lián)立求出基本未知量，然后，將其代入各桿桿端彎矩中求得各桿內(nèi)力。

圖4

圖5

3 結(jié)語(yǔ)

從上面分析可以看出，兩種方法基本未知量的選取相同，且最終方程都是平衡方程，整理后形式均為。

不同點(diǎn)主要有兩方面：首先，位移法典型方程是先利用平衡條件分別討論各未知量和荷載的影響（即剛度系數(shù)和自由項(xiàng)），再進(jìn)行疊加以得到典型方程，和力法一樣，是在基本體系和原結(jié)構(gòu)完全相同的基礎(chǔ)上建立的，是一個(gè)和建立力法典型方程相對(duì)應(yīng)的過(guò)程，所以直接對(duì)結(jié)構(gòu)按統(tǒng)一格式處理，最終結(jié)果由疊加得到。而位移法平衡方程是先用疊加原理列出基本未知量的桿端力表達(dá)式，再利用平衡條件得到基本方程。其次，位移法平衡方程適用于全部由水平、豎直桿系組成的結(jié)構(gòu)，當(dāng)結(jié)構(gòu)為具有多個(gè)斜桿的復(fù)雜剛架時(shí)，各結(jié)點(diǎn)線位移之間的關(guān)系不易判斷，而且隔離桿件列平衡方程時(shí)會(huì)有軸力出現(xiàn)，需要將斜桿的軸力與剪力往水平方向投影，增加了求解方程難度，所以，建立方程求解相對(duì)較麻煩且易出錯(cuò)，所以，此種結(jié)構(gòu)一般用位移法典型方程來(lái)求解。