考慮冰蓋生消和冰-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用的渠道彈性地基梁模型

葛建銳，牛永紅，王正中，，譚志翔，張春洋，王 羿

（1.西北農(nóng)林科技大學(xué) 旱區(qū)寒區(qū)水工程安全研究中心 旱區(qū)農(nóng)業(yè)水土工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 楊凌 712100；2.中國科學(xué)院寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所凍土工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730000；3.南京水利學(xué)科學(xué)研究院 巖土工程研究所，江蘇 南京 210024）

1 研究背景

在我國北方廣大季節(jié)性凍土區(qū)，水資源短缺且時(shí)空分布不平衡的問題長期制約著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。針對(duì)此，我國已修建了一系列長距離輸水、跨流域調(diào)水的渠道及配套工程措施[1]。為了挖掘渠系工程供水系統(tǒng)潛力、解決人口承載量增加與水資源供需矛盾等問題，諸多調(diào)水工程已采用常年輸水或冬季輸水形式[2]。冬季輸水主要采用運(yùn)行方式為：無冰輸水、冰水兩相流和冰蓋下輸水等運(yùn)行工況[3]，其中明渠在冰蓋下輸水被認(rèn)為是一種高效且經(jīng)濟(jì)節(jié)能的輸水運(yùn)行方式，即當(dāng)寒潮來臨前通過對(duì)水力條件進(jìn)行人工調(diào)控形成穩(wěn)定的平封式冰蓋，利用冰蓋對(duì)其下部水體的保溫作用進(jìn)行安全輸水。但我國季凍區(qū)河渠冰凍破壞現(xiàn)象嚴(yán)重[4]，對(duì)寒旱區(qū)冬季輸水渠道抗冰-凍設(shè)計(jì)方法及相關(guān)措施研究亟需完善。

目前，針對(duì)河冰形成、發(fā)展和消亡過程相關(guān)機(jī)理研究已有一定基礎(chǔ)。Shen 等[5]基于冰凌生消演變規(guī)律和傳熱傳質(zhì)理論，構(gòu)建了天然河道全周期冰情演變的數(shù)學(xué)計(jì)算模型，為實(shí)現(xiàn)河冰演變過程數(shù)值模擬提供了理論基礎(chǔ)。楊開林[6]通過綜合考慮Einstein公式[7]、Belokon-Sabaneev公式[8]及Larsen公式[9]的計(jì)算適用條件，建立了流冰過程的通用糙率公式和冰情演變模型。吳劍疆等[10]基于二維紊流理論對(duì)渠道內(nèi)冰的生消及分布規(guī)律進(jìn)行了數(shù)值模擬分析。Wang等[11]考慮將GIS地理信息系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論相結(jié)合，提出了適用于黃河河段的冰情預(yù)報(bào)模型?；谏鲜鲅芯?，對(duì)長距離輸水工程中冰情預(yù)測(cè)與防控[12]、河渠冰水力學(xué)[13]、冰蓋穩(wěn)定性及其力學(xué)特性[14-15]等方面研究都得到進(jìn)一步完善。而針對(duì)渠道工程抗凍脹機(jī)理及理論模型的相關(guān)研究有：王正中[16]根據(jù)材料力學(xué)理論及相關(guān)假設(shè)，建立了現(xiàn)澆混凝土梯形渠道凍脹破壞力學(xué)模型；基于此模型的理論構(gòu)想，宋玲等[17]對(duì)無冰蓋輸水梯形渠道；肖旻等[18]對(duì)凍土彈性地基的梯形渠道；葛建銳等[19]對(duì)冬季冰蓋輸水條件下梯形渠道分別建立了力學(xué)分析模型。同時(shí)，考慮凍土三場(chǎng)耦合理論的渠道凍脹數(shù)值計(jì)算模型也相繼開展[20-22]。上述成果為寒區(qū)渠系工程抗冰凍研究提供了技術(shù)支持和理論保障，但文獻(xiàn)[18]認(rèn)為各點(diǎn)的凍脹力大小僅與對(duì)應(yīng)位置凍脹強(qiáng)度有關(guān)，即由各點(diǎn)自由凍脹量求出法向凍脹力并施加到襯砌結(jié)構(gòu)上得到坡板的內(nèi)力與應(yīng)力，而這種預(yù)先假定的凍脹力大小與分布不能真實(shí)反映凍土與襯砌板之間相互作用，與實(shí)際凍脹過程差別較大。文獻(xiàn)[19]研究僅是考慮冬季輸水渠道中無冰蓋和冰蓋形成后的兩種穩(wěn)態(tài)運(yùn)行工況，而實(shí)際上對(duì)冰蓋生消動(dòng)態(tài)過程中渠道冰凍破壞的控制階段尚不明確。

輸水渠道襯砌結(jié)構(gòu)的抗冰凍問題需綜合考慮河冰力學(xué)、凍土力學(xué)、熱力學(xué)和冰水力學(xué)[23-25]等學(xué)科理論體系，然而目前學(xué)者大多關(guān)注于渠冰生消與發(fā)展、冰蓋力學(xué)特性和渠道結(jié)構(gòu)抗凍脹規(guī)律研究，而針對(duì)寒區(qū)混凝土襯砌渠道冰蓋生消過程中關(guān)鍵時(shí)間段的冰蓋-結(jié)構(gòu)-凍土耦合作用的力學(xué)分析較為鮮見。針對(duì)此，本文考慮冰蓋生消過程中結(jié)冰初期、流冰期和封凍期3個(gè)關(guān)鍵階段的不同影響條件，將冬季行水渠道冰凍破壞過程中冰蓋、襯砌結(jié)構(gòu)與凍土間的相互作用視作3個(gè)相互耦合的過程，提出一種渠道由冰、結(jié)構(gòu)與凍土協(xié)同作用下產(chǎn)生協(xié)調(diào)變形的冰凍破壞分析構(gòu)想，基于彈性地基梁Winkler理論，考慮在冰-結(jié)構(gòu)-凍土耦合作用過程中襯砌結(jié)構(gòu)達(dá)到極限平衡狀態(tài)，推導(dǎo)得到了冬季輸水渠道彈性地基梁撓曲線微分方程。進(jìn)一步對(duì)3個(gè)階段分別建立了冰凍破壞力學(xué)模型，并結(jié)合不同荷載組合和邊界條件的影響對(duì)方程求解獲得渠坡板撓度、內(nèi)力和應(yīng)力的解析表達(dá)，最終提出基于冰-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用下的渠道襯砌冰凍破壞判斷準(zhǔn)則。以期為寒區(qū)冰蓋輸水襯砌渠道冰凍破壞的有效評(píng)價(jià)與防治提供理論方法。

2 冰-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用的襯砌渠道冰凍破壞分析

將冬季行水渠道冰凍破壞過程中冰蓋、襯砌結(jié)構(gòu)與凍土間的相互作用視作3個(gè)相互耦合的過程：當(dāng)冰蓋形成后，冰蓋膨脹或收縮會(huì)對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的冰壓力或冰拉力的作用；在累計(jì)負(fù)溫、水分遷移等條件下渠基土發(fā)生凍脹，但受襯砌結(jié)構(gòu)對(duì)其約束作用時(shí)會(huì)產(chǎn)生凍脹荷載；當(dāng)襯砌結(jié)構(gòu)產(chǎn)生冰-凍位移且變形程度增強(qiáng)或減小時(shí)，相應(yīng)地表現(xiàn)為對(duì)基土約束作用的削減和加強(qiáng)（即對(duì)冰蓋約束作用的加強(qiáng)和削減）。在冰-結(jié)構(gòu)-凍土間的3個(gè)耦合過程相互影響下達(dá)到極限平衡狀態(tài)，最終得到冰-結(jié)構(gòu)-凍土耦合作用下渠道襯砌結(jié)構(gòu)的實(shí)際冰-凍位移（如圖1）。綜上，本研究根據(jù)冰蓋生消過程3個(gè)階段，通過建立并求解地基梁的撓曲線微分方程進(jìn)而探明冰-凍荷載作用襯砌結(jié)構(gòu)的實(shí)際變形分布，建立方程之前需先對(duì)冰-凍荷載分布情況進(jìn)行討論分析。

圖1 冰蓋下輸水梯形混凝土襯砌渠道斷面及冰-土-結(jié)構(gòu)作用示意

2.1 基本約定和假設(shè)考慮在冬季輸水過程中渠內(nèi)水體、渠基土與大氣環(huán)境之間進(jìn)行熱量交換，當(dāng)冰蓋穩(wěn)定生成后對(duì)渠內(nèi)水體具有保溫作用而使渠道橫斷面內(nèi)產(chǎn)生不均勻冰-凍現(xiàn)象：行水水位線以下土體保持未凍狀態(tài)（下文稱該區(qū)域?yàn)槲磧鰠^(qū)）；而水位線上方渠基土在累積負(fù)溫作用下易發(fā)生凍結(jié)，同時(shí)又有渠水入滲補(bǔ)給而使該區(qū)域凍脹變形顯著[14，19，25]（下文稱該區(qū)域?yàn)槭軆鰠^(qū)），即渠道坡板整體受不均勻冰-凍作用。由于水分遷移及相變作用會(huì)改變凍土力學(xué)特性，導(dǎo)致對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)實(shí)際計(jì)算的復(fù)雜程度增大，且考慮的影響因素越多計(jì)算越困難[18，22]。因此，該文主要針對(duì)冬季行水渠道冰蓋生消過程中關(guān)鍵時(shí)間節(jié)點(diǎn)段進(jìn)行分析，即渠道受凍區(qū)坡板承受的凍脹荷載；未凍區(qū)坡板承受的靜水壓力，基土摩擦力和底板約束作用；加之冰蓋生消過程中3個(gè)階段的冰荷載作用的綜合影響視為引起襯砌各點(diǎn)冰-凍位移差異的主要因素。

根據(jù)已有研究和實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)[16-17，19]，對(duì)該力學(xué)模型作如下假設(shè)[2，5，26]：

（1）當(dāng)渠道形成整體穩(wěn)定、厚度均勻的平封式冰蓋，冰蓋與襯砌結(jié)構(gòu)黏結(jié)穩(wěn)定后冰層升溫膨脹時(shí)水平方向作用于渠道坡板上的冰壓力即為靜冰壓力。且暫不考慮沿渠道水流方向流動(dòng)冰蓋會(huì)對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動(dòng)冰荷載影響[14，27]。

（2）考慮冬季冰蓋輸水由于冰蓋的產(chǎn)生將渠道分為受凍區(qū)和未凍區(qū)兩個(gè)部分，在冰凍荷載作用下，冰-結(jié)構(gòu)-凍土由破壞前的平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)化為冰凍破壞時(shí)的極限平衡狀態(tài)，且整個(gè)冰凍破壞過程發(fā)生準(zhǔn)靜態(tài)變化。

（3）受凍區(qū)渠基土在凍結(jié)前已發(fā)生固結(jié)，暫不考慮未凍區(qū)基土的壓縮效應(yīng)，冰-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用下的變形均在彈性范圍內(nèi)，僅考慮凍深范圍內(nèi)凍土的變形對(duì)襯砌產(chǎn)生的凍脹荷載，暫不考慮凍深以外未凍土的固結(jié)變形。

（4）在流冰期冰凍荷載分析中，對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)冰凍破壞而言由懸臂冰蓋自重引起坡板的冰荷載和基土凍脹引起坡板的凍脹荷載是一種協(xié)同加強(qiáng)作用，暫不考慮水體對(duì)冰蓋的浮力作用，這是偏安全的。

2.2 輸水渠道基土自由凍脹量分析根據(jù)彈性地基Winkler理論[28-30]，認(rèn)為襯砌坡板各點(diǎn)所受自由凍脹變形大小與對(duì)應(yīng)位置基土凍脹率有關(guān)，渠道坡板自由凍脹量的大小與分布由地下水位至襯砌板下對(duì)應(yīng)基土位置的高度可計(jì)算獲得[18]。已有研究表明[23，25]，基土凍脹率與地下水位的關(guān)系為

式中：η為凍脹率，%；e為自然對(duì)數(shù)的底；a、b為該地區(qū)土質(zhì)、氣溫條件的相關(guān)參數(shù)；z為基土計(jì)算點(diǎn)至地下水位距離，m。

由于地下水位至渠道斷面基土各點(diǎn)的距離不同，通過式（1）可得到各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的基土自由凍脹量ω0（x）為：

式中：ω0（x）為斷面各點(diǎn)的自由凍脹量，m；η（x）為斷面各點(diǎn)的自由凍脹率；z（x）為斷面各點(diǎn)至地下水位的距離，m；H為凍結(jié)深度，m；x為計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，m。

2.3 冰-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用的冰凍荷載分析

2.3.1 結(jié)冰初期的凍土-結(jié)構(gòu)相互作用冰凍荷載分析 在北方降溫初期，輸水渠道行水表面未凍結(jié)成冰凌和岸冰時(shí)，受凍區(qū)坡板只有基土凍脹與襯砌結(jié)構(gòu)約束的相互作用，假定襯砌結(jié)構(gòu)完全約束住渠基土的自由凍脹量，且結(jié)構(gòu)恰好處于未變形狀態(tài)時(shí)（即結(jié)構(gòu)的初始狀態(tài)），此時(shí)地基梁彈簧被完全約束住處于初始?jí)嚎s狀態(tài)，而作用在襯砌結(jié)構(gòu)上的凍脹力視為初始凍脹力。當(dāng)襯砌結(jié)構(gòu)發(fā)生凍脹變形時(shí)會(huì)使凍脹力產(chǎn)生釋放，最終由基土凍脹與襯砌結(jié)構(gòu)的相互作用下達(dá)到平衡，此時(shí)的結(jié)構(gòu)凍脹變形為實(shí)際凍脹位移大小與分布，這個(gè)過程為結(jié)冰初期基土凍脹-襯砌結(jié)構(gòu)相互作用階段（下文稱第1階段）。

在實(shí)際工程中，襯砌結(jié)構(gòu)往往不可能完全約束住基土的自由凍脹量ω0，而在凍土-結(jié)構(gòu)作用下將基土微元的總長由ω0+H壓縮至ωf+H，則被襯砌結(jié)構(gòu)約束的實(shí)際凍脹量為ω0-ωf（如圖1），第1階段襯砌各點(diǎn)實(shí)際凍脹力與凍脹位移關(guān)系為：

式中：p1(x)為第1 階段冰凍荷載，MPa；Ef為凍土的彈性模量，MPa；ω（0x）為斷面各點(diǎn)的自由凍脹量，m；ωf為襯砌各點(diǎn)實(shí)際凍脹位移（即撓度），m。

當(dāng)寒區(qū)基土凍結(jié)深度H＞1 m，自由凍脹量ω0=0.02m時(shí)，ω0/（ω0+H）這一項(xiàng)相對(duì)誤差小于2%，即認(rèn)為ω0+H與H等價(jià)。并引入木下誠一提出凍脹率與凍脹力的關(guān)系式[18，23]：p（x）=Ef·（ω0/H）=0.01Ef·ae-b·z（x），進(jìn)而將式（3）化簡為：

式中：p（x）為基土自由凍脹量被完全約束時(shí)作用在襯砌上的凍脹力（即初始凍脹荷載），MPa。

2.3.2 流冰期的冰-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用冰凍荷載分析 隨著外界氣溫繼續(xù)降低，輸水渠道中開始產(chǎn)生的大量冰花、冰絮，由于在渠道同一橫斷面中，岸邊流速相對(duì)較小而渠中心流速較大，這些漂浮的冰花和冰絮起初會(huì)在渠岸累積并逐漸黏結(jié)形成岸冰，而岸冰穩(wěn)定后會(huì)向渠中心發(fā)展且在整個(gè)橫斷面形成完整的冰蓋，最后通過上下游水力調(diào)控后實(shí)現(xiàn)冰蓋下輸水的目的。

圖2 第2階段懸臂冰蓋作用荷載分析示意

事實(shí)上，在渠中心冰蓋由于成冰時(shí)間較短使該處冰蓋較?。ㄝ^岸冰處），當(dāng)渠中心處冰蓋未黏結(jié)穩(wěn)定即通過水力調(diào)控降低水位后為該階段最危險(xiǎn)工況，將中心處未黏結(jié)成穩(wěn)定冰蓋時(shí)可視作渠坡板處作用懸臂冰蓋（為1/2 平封冰蓋長度），如圖2所示。這種懸臂冰蓋會(huì)對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)產(chǎn)生附加彎矩作用[19]，在這一階段受凍區(qū)坡板有冰蓋附加彎矩、基土凍脹與襯砌結(jié)構(gòu)約束的共同作用，由于懸臂冰蓋的存在使地基梁彈簧被釋放，進(jìn)而加劇了受凍區(qū)坡板的冰凍變形（較第1階段），最終在基土、懸臂冰蓋與襯砌結(jié)構(gòu)的協(xié)同作用下達(dá)到平衡，此時(shí)在流冰期冰-結(jié)構(gòu)-凍土耦合作用下渠道襯砌結(jié)構(gòu)的變形即為實(shí)際冰-凍位移大小與分布，這個(gè)過程為流冰期的冰蓋作用-基土凍脹-襯砌結(jié)構(gòu)相互作用階段（下文稱第2階段）。

在第2階段中，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)理論，由懸臂冰蓋自重引起的渠坡板附加彎矩為：

式中：Mix為懸臂冰蓋自重引起的坡板附加彎矩，kN·m；qi為懸臂冰蓋自重荷載集度，kN/m；lix為懸臂冰蓋長度，m。

冰-土-結(jié)構(gòu)耦合作用下將基土微元的總長由ω0+H釋放至ωi+H，則被襯砌結(jié)構(gòu)約束的冰凍變形量為ω0-ωi（如圖1），第2階段襯砌各點(diǎn)實(shí)際冰-凍荷載與襯砌結(jié)構(gòu)位移關(guān)系為：

式中：p2（x）為第2階段的冰凍荷載，MPa；Ef為凍土的彈性模量，MPa；ωi為襯砌各點(diǎn)實(shí)際的冰-凍位移（即撓度），m；p（x）為初始凍脹荷載，MPa；H為基土凍結(jié)深度，m。

2.3.3 封凍期的冰-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用冰凍荷載分析 當(dāng)外界氣溫持續(xù)降低時(shí)并通過人工調(diào)控上下游水位變化后，輸水渠道表面形成穩(wěn)定的平封式冰蓋，這種穩(wěn)定冰蓋會(huì)對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)產(chǎn)生靜冰荷載及冰蓋對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)的附加彎矩作用[14，19]，且對(duì)左右渠岸坡板而言靜冰荷載及冰蓋對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)的附加彎矩具有對(duì)稱效應(yīng)，即左右渠岸坡板冰凍荷載數(shù)值相等作用方向相反。在這一階段受凍區(qū)坡板有基土凍脹、靜冰荷載、冰蓋附加彎矩荷載與襯砌結(jié)構(gòu)約束的共同作用，并使地基梁彈簧被再次約束進(jìn)而處于壓縮狀態(tài)（較第1、第2階段），最終在基土、平封冰蓋與襯砌結(jié)構(gòu)間的協(xié)同作用下達(dá)到平衡，此時(shí)在封凍期冰-結(jié)構(gòu)-凍土耦合作用下渠道襯砌結(jié)構(gòu)的變形即為實(shí)際冰-凍位移大小與分布，這個(gè)過程為封凍期的冰蓋作用-基土凍脹-襯砌結(jié)構(gòu)相互作用階段（下文稱第3階段）。

本模型通過對(duì)規(guī)范[26]中現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)擬合得到冰蓋作用在渠坡板上的靜冰壓力與冰厚關(guān)系為：

式中：Pis為靜冰壓力，kN；hi為冰厚，m（由冰凍度-日法冰厚與累積負(fù)溫的關(guān)系求得[2，34]）。

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)理論，由平封冰蓋自重引起的渠坡板附加彎矩為：

式中：Mis為平封冰蓋自重引起的坡板附加彎矩，kN·m；qi為冰蓋自重荷載集度，kN/m；lis為平封冰蓋長度，m。

在冰-土-結(jié)構(gòu)耦合作用下將基土微元的總長由ω0+H壓縮至ωi+H，則被襯砌結(jié)構(gòu)約束的冰凍變形量為ω0-ωi（如圖1），第3階段襯砌各點(diǎn)實(shí)際冰-凍荷載與襯砌結(jié)構(gòu)位移關(guān)系為：

式中：p3（x）為第3階段的冰凍荷載，MPa；Ef為凍土的彈性模量，MPa；ωi為襯砌各點(diǎn)實(shí)際的冰-凍位移，m；p（x）為初始凍脹荷載，MPa；H為基土凍結(jié)深度，m。

綜合考慮公式（4）、式（6）、式（9）可反應(yīng)輸水渠道3個(gè)階段中冰蓋-基土-襯砌結(jié)構(gòu)之間荷載、變形與約束的協(xié)同作用關(guān)系。

3 冰-土-結(jié)構(gòu)協(xié)同作用襯砌渠道變形的撓曲線微分方程

3.1 襯砌渠道撓曲線微分方程建立根據(jù)彈性地基梁計(jì)算假定[28，31]，當(dāng)荷載作用位置距地基梁兩端均大于3L時(shí)，視為無限長梁問題；當(dāng)荷載作用位置距地基梁一端小于3L，而距另一端大于3L時(shí)，視為半無限長梁問題；當(dāng)荷載作用位置距地基梁兩端均小于3L時(shí)，視為短梁問題，其中：L=1/β=（4EI/k）1/4為梁的特征長度，m；k為彈性地基抗力系數(shù)。

考慮輸水渠道襯砌結(jié)構(gòu)冰-凍破壞模型可視為二維平面應(yīng)變問題[19]，將渠道坡板視為置于Winkler彈性地基上的兩端簡支梁，并根據(jù)工程力學(xué)方法對(duì)冬季輸水渠道冰凍破壞彈性地基梁模型進(jìn)行受力分析，如圖3所示。

基于彈性地基Winkler理論，考慮冰-結(jié)構(gòu)-凍土耦合作用過程中的變形協(xié)調(diào)性，冬季輸水渠道坡板襯砌結(jié)構(gòu)彈性地基梁撓曲線微分方程一般形式為：

式中：Ec為襯砌結(jié)構(gòu)彈性模量，MPa；I為襯砌截面慣性矩，m4；ωj（x）為地基梁的實(shí)際法向位移（即撓度），m；k為彈性地基抗力系數(shù)，kN/m2；pj（x）為地基梁上作用的冰-凍荷載分布，MPa；變量下標(biāo)j為1～3，分別表示3個(gè)階段的不同冰-凍荷載作用。

根據(jù)文獻(xiàn)研究[31]得到凍土地基系數(shù)k0與凍結(jié)深度H和彈性模量Ef的關(guān)系為：

式中：k0為凍土地基系數(shù)，kN/m3；Ef為凍土彈性模量，MPa。當(dāng)計(jì)算凍深內(nèi)的渠基土完全凍結(jié)時(shí)，則彈性地基抗力系數(shù)k=bk0，b為地基梁計(jì)算寬度，模型中取單位寬度；當(dāng)計(jì)算凍深內(nèi)的渠基土未完全凍結(jié)時(shí)，則彈性地基抗力系數(shù)k需對(duì)不同地基土層積分求解。

圖3 冬季輸水渠道彈性地基梁模型計(jì)算簡圖

對(duì)式（10）進(jìn)行整理并標(biāo)準(zhǔn)化后得：

其中，

式中：βj為地基梁的特征系數(shù)，m-1。

3.2 撓曲線微分方程求解基本微分方程式（12）是一個(gè)四階常系數(shù)線性非齊次微分方程。其相應(yīng)齊次方程的通解為：

式中：c1—c4為積分常數(shù)?；疚⒎址匠痰耐ń庥升R次微分方程的通解ωj（0x）與非齊次微分方程的特解ω（*x）構(gòu)成，即：

根據(jù)材料力學(xué)理論，梁中任意截面轉(zhuǎn)角θ（x）、彎矩M（x）、剪力Q（x）與撓度ω（x）存在如下微分關(guān)系：θ（x）=ω（′x），M（x）=-EIω″（x），Q（x）=-EIω?（x）。則在地基梁的計(jì)算中，確定式（15）中積分常數(shù)c1—c4是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)凍土地基梁解法[18]只涉及一種分布荷載且要求全斷面分布，而實(shí)際渠道冰-凍破壞力學(xué)模型在冰蓋生消過程中作用多種荷載且分布不均，因此不宜照搬傳統(tǒng)凍土地基梁的方法，應(yīng)當(dāng)另尋簡化途徑。

考慮地基梁在每個(gè)截面有4個(gè)基本量（即4個(gè)參數(shù)）：撓度ω、轉(zhuǎn)角θ、彎矩M和剪力Q，梁初始截面A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，則初始截面A端的4個(gè)參數(shù)ω0、θ0、M0、Q0可稱為地基梁的初參數(shù)。將初參數(shù)代入式（14）并考慮對(duì)應(yīng)撓度ω、轉(zhuǎn)角θ、彎矩M和剪力Q間的微分關(guān)系方程，得：

聯(lián)立求解式（16）四個(gè)方程，得：

由轉(zhuǎn)化關(guān)系式（17）解出的c1—c4再代入式（14），即得初參數(shù)表示的撓度方程：

其中，引入克雷洛夫函數(shù)φ1（βx）、φ2（βx）、φ3（βx）、φ4（βx）為：

式（18）就是用初參數(shù)表示的齊次方程通解，且其每一項(xiàng)都有明確物理意義：φ1（βx）表示當(dāng)原點(diǎn)O有單位撓度時(shí)地基梁的撓度方程；φ2（βx）/β表示當(dāng)原點(diǎn)O有單位轉(zhuǎn)角時(shí)地基梁的撓度方程；-φ3（βx）/（EIβ2）表示當(dāng)原點(diǎn)O有單位彎矩時(shí)地基梁的撓度方程；-φ4（βx）/（EIβ3）表示當(dāng)原點(diǎn)O有單位剪力時(shí)地基梁的撓度方程。

考慮4個(gè)初參數(shù)中兩個(gè)由原點(diǎn)O端的邊界條件可直接求出，而另外兩個(gè)成為未知量，如圖3力學(xué)模型中，在簡支端O：ω0=0、M0=0；即θ0、Q0為未知量。為了統(tǒng)一考慮外荷載q、P和M的協(xié)同作用影響，繼續(xù)推導(dǎo)如下：由于假設(shè)O處的邊界條件為已知，式（18）所示的撓度方程適用于O≤x＜C的區(qū)段長度。在點(diǎn)x=C處，正如初始截面彎矩M0對(duì)原點(diǎn)O以右部分發(fā)生影響一樣，彎矩M將對(duì)x=C以右部分產(chǎn)生同樣的影響，則式（18）中含有M0項(xiàng)的系數(shù)就等同于影響系數(shù)。這一影響系數(shù)-φ3（βx）/（EIβ2）是與M0作用在原點(diǎn)時(shí)同樣的情況推導(dǎo)而得。則彎矩M作用于C點(diǎn)右端任意位置的一般情況為：當(dāng)xM＜x時(shí)（xM為彎矩M的坐標(biāo)位置），地基梁內(nèi)由彎矩M引起的撓度修正項(xiàng)為：

同理，當(dāng)xp＜x時(shí)（xp為集中荷載P的坐標(biāo)位置），地基梁內(nèi)由集中荷載P引起的撓度修正項(xiàng)為：

同理，當(dāng)xq＜x時(shí)（xq為分布荷載q的坐標(biāo)位置），地基梁內(nèi)由分布荷載q（x）引起的撓度修正項(xiàng)為：

式（19）—式（21）即為模型中非齊次微分方程的特解，則用初參數(shù)表示的微分方程的通解為：

考慮地基梁中任意截面轉(zhuǎn)角θ（x）、彎矩M（x）、剪力Q（x）與撓度ω（x）的微分關(guān)系，整理后得：

由于前文已將地基梁端部視為簡支約束，則有兩個(gè)初參數(shù)根據(jù)邊界條件可知：ω0=0，M0=0；另外兩個(gè)初參數(shù)邊界條件（ω（l）=0，M（l）=0）和作用不同荷載情況代入式（23）和式（25）而分別求出。

4 內(nèi)力計(jì)算和冰凍破壞判斷準(zhǔn)則

輸水渠道冬季結(jié)冰蓋運(yùn)行時(shí)，由于襯砌結(jié)構(gòu)受力復(fù)雜且其材料的抗拉強(qiáng)度較低，當(dāng)局部彎矩過大使襯砌材料截面拉應(yīng)力達(dá)到抗拉極限時(shí)產(chǎn)生裂縫，而渠道產(chǎn)生裂縫后會(huì)加劇滲漏導(dǎo)致基土凍脹嚴(yán)重，“基土凍脹-襯砌開裂-渠道滲漏-基土強(qiáng)凍脹-襯砌破壞……”這種惡性循環(huán)破壞后，使渠道襯砌結(jié)構(gòu)徹底破壞。因此，可以襯砌凍脹裂縫的產(chǎn)生來判斷渠坡板是否發(fā)生冰-凍破壞，建立渠道發(fā)生冰凍破壞的判斷準(zhǔn)則，計(jì)算公式如下：

式中：σma（xximax）為危險(xiǎn)截面的最大拉應(yīng)力，MPa；Ej為截面材料的彈性模量，MPa；M（ximax）為危險(xiǎn)截面的彎矩，（kN·m）/m；N（ximax）為危險(xiǎn)截面的軸力，kN/m；bk為混凝土襯砌材料截面厚度，m；[ε]為混凝土材料許用拉應(yīng)變，m/m。

考慮渠坡板發(fā)生鼓脹、拉裂等現(xiàn)象是由于渠道襯砌冰-凍破壞位移過大造成的，根據(jù)規(guī)范[32]中要求允許襯砌板法向位移作為其評(píng)價(jià)襯砌結(jié)構(gòu)抗凍形變和穩(wěn)定性的控制指標(biāo)，則計(jì)算公式為：

式中：[Δh]為允許法向位移值，可依據(jù)規(guī)范[32]取值。

5 工程算例與分析討論

5.1 工程研究背景與概況我國南水北調(diào)中線工程中輸水渠道全長將近1200 km，其中以總干渠最北端的京石段（北京—石家莊段）凍害較為嚴(yán)重[33]。該渠段年實(shí)測(cè)最低氣溫為-9.0℃～-18.6℃（2011—2016年），基土歷年最大凍深為：0.8～1.5 m，在冰期，實(shí)測(cè)年冰蓋平均厚度為14～32 cm，屬于寒冷地區(qū)。

圖4 京石段某梯形渠道冰-凍破壞現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)圖

圖4為京石段某梯形渠道冰-凍破壞現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)圖，該渠道為C15混凝土襯砌，坡板厚為10 cm，渠道實(shí)測(cè)越冬季最低溫度為-16.5℃。渠基土凍結(jié)深度約為1.2 m，其土質(zhì)為粉質(zhì)壤土，坡角θ為45°，實(shí)測(cè)坡板裂縫主要發(fā)生在凍結(jié)區(qū)坡板的中下部位置處。相關(guān)參數(shù)和系數(shù)見表1，基于前文構(gòu)建的冰-凍破壞渠道力學(xué)分析模型，現(xiàn)對(duì)冰蓋生消過程關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)冰-凍位移進(jìn)行計(jì)算和對(duì)比分析。

表1 相關(guān)參數(shù)與經(jīng)驗(yàn)系數(shù)[2,18,24,31]

5.2 渠坡板襯砌結(jié)構(gòu)冰-凍位移求解與數(shù)據(jù)分析經(jīng)前分析，由式（1）和木下誠一凍脹力公式求得計(jì)算渠段坡板最大凍脹率為：ηmax=7.32%；最大凍脹力為：pmax=191.04 kPa。根據(jù)式（23）、式（25）所示的方程可解得凍脹荷載作用下的初參數(shù)：ω0=0，θ0=0.6772，M0=0，Q0=1936.0809；懸臂冰蓋附加彎矩作用下的初參數(shù)：ω0=0，θ0=-9.705×10-7，M0=0，Q0=-0.0101；靜冰荷載作用下的初參數(shù)：ω0=0，θ0=3.949×10-3，M0=0，Q0=13.6378；封凍冰蓋附加彎矩作用下的初參數(shù)：ω0=0，θ0=-1.329×10-6，M0=0，Q0=-1.387×10-2；靜水壓力作用下的初參數(shù)：ω0=0，θ0=1.203×10-3，M0=0，Q0=2.9733。將上述初參數(shù)分別代入式（22）可得渠道坡板各截面冰-凍位移解析表達(dá)，考慮冰蓋生消過程中結(jié)冰初期、流冰期和封凍期3個(gè)關(guān)鍵階段的不同影響條件，并對(duì)彈性地基梁法、材料力學(xué)法、數(shù)值解法[22]和現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)[33]進(jìn)行對(duì)比分析。

圖5 第1階段渠坡板截面冰-凍位移及最大拉應(yīng)力分布

如圖5—圖7所示，在結(jié)冰初期-流冰期-封凍期變化的3個(gè)階段，對(duì)應(yīng)的渠坡板截面撓曲變形的最大值分別為10.62、13.89 和5.05 cm，且撓曲變形的峰值都出現(xiàn)在受凍區(qū)坡板的68%～88%位置上；而對(duì)應(yīng)的渠坡板截面最大拉應(yīng)力分別為3.63、4.11和2.05 MPa，且最大拉應(yīng)力的峰值都出現(xiàn)在受凍區(qū)坡板的56%～69%位置處。說明冬季輸水渠道襯砌結(jié)構(gòu)在受凍區(qū)中下部是變形和拉應(yīng)力最大區(qū)域，設(shè)計(jì)中應(yīng)重視該區(qū)域形變與強(qiáng)度超標(biāo)問題。

圖6 第2階段渠坡板截面冰-凍位移及最大拉應(yīng)力分布

圖7 第3階段渠坡板截面冰-凍位移及最大拉應(yīng)力分布

由結(jié)冰初期-流冰期-封凍期變化過程中冰蓋對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的荷載逐漸增大，即襯砌結(jié)構(gòu)對(duì)冰-凍位移約束作用逐漸增大的過程，使渠道坡板冰-凍位移逐漸減小，進(jìn)而渠坡板趨于安全服役。建議寒區(qū)冬季輸水渠道應(yīng)適當(dāng)調(diào)節(jié)3個(gè)階段的運(yùn)行周期：縮短第1、第2階段，增加第3階段平封冰蓋的服役時(shí)間。該研究方法由于考慮襯砌冰蓋-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用下渠基土地基反力影響及相互約束作用對(duì)凍脹力的削減，冰-凍位移計(jì)算結(jié)果相比材料力學(xué)法偏小，符合文獻(xiàn)假設(shè)[18，31]；由于本模型將坡板視為薄板結(jié)構(gòu)未考其自重作用，計(jì)算結(jié)果比數(shù)值解偏大，這是偏安全的[18]；且文本計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[33]現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)破壞位置及規(guī)律基本相符，證明了本文中力學(xué)模型對(duì)冬季輸水條件下渠道冰-凍破壞計(jì)算分析的適用性和準(zhǔn)確性。

圖8 考慮不同地下水位渠坡板冰-凍位移及截面彎矩分布

圖9 考慮不同冰蓋厚度渠坡板冰-凍位移及截面彎矩分布

5.3 襯砌結(jié)構(gòu)抗冰-凍破壞影響因素討論圖8為襯砌結(jié)構(gòu)彈性模量Ec=2.2×104MPa，冰蓋厚度hi=28 cm時(shí)，仍以該渠道為原型，考慮當(dāng)?shù)叵滤蛔兓瘯r(shí)對(duì)寒區(qū)輸水渠道襯砌結(jié)構(gòu)的冰-凍破壞的影響?，F(xiàn)假定地下水位分別為2.5、3.0、3.5、4.0、4.5 m 時(shí)（對(duì)應(yīng)計(jì)算最大凍脹率為34.14%、19.69%、11.37%、6.56%、3.78%），對(duì)渠道坡板冰-凍位移和截面彎矩分布進(jìn)行計(jì)算分析：襯砌結(jié)構(gòu)冰-凍位移和截面最大彎矩隨地下水位降低而逐漸減小，且變化幅值也趨于平緩。其對(duì)應(yīng)的冰-凍位移峰值分別為34.89、23.76、16.38、10.52和6.21 cm，位移峰值基本出現(xiàn)在受凍區(qū)坡板的69%～88%處；而對(duì)應(yīng)的截面最大彎矩峰值分別為193.89、130.69、88.65、55.33和30.52 kN·m，彎矩峰值基本出現(xiàn)在受凍區(qū)坡板的63%～75%處。由于地下水位升高促使基土凍脹作用加劇，因此在寒區(qū)輸水渠道地下水埋深較淺時(shí)更易發(fā)生冰-凍破壞，這與事實(shí)相符[23，25]。

圖9為地下水位z0=390 cm，襯砌結(jié)構(gòu)彈性模量Ec=2.2×104MPa 時(shí)，仍以該渠道為原型，考慮當(dāng)平封冰蓋厚度變化時(shí)對(duì)寒區(qū)輸水渠道襯砌結(jié)構(gòu)的冰-凍破壞的影響。現(xiàn)假定形成穩(wěn)定的平封冰蓋厚度分別為20、25、30、35、40 cm時(shí)，對(duì)渠道坡板冰-凍位移和截面彎矩分布進(jìn)行計(jì)算分析：襯砌結(jié)構(gòu)冰-凍位移和截面最大彎矩隨冰蓋厚度增加而逐漸減小。其對(duì)應(yīng)的冰-凍位移峰值分別為9.84、6.91、4.79、2.78和1.77cm，位移峰值基本出現(xiàn)在受凍區(qū)坡板的69%～79%處；而對(duì)應(yīng)的截面最大彎矩峰值分別為58.41、49.60、26.14、11.15 和5.44 kN · m，彎矩峰值基本出現(xiàn)在受凍區(qū)坡板的32%～69%處。由于冰蓋厚度增大后對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)產(chǎn)生冰荷載增強(qiáng)（事實(shí)上加強(qiáng)了對(duì)坡板的凍脹時(shí)約束力），則坡板越不易發(fā)生冰-凍破壞，但同時(shí)要考慮由冰蓋增厚后對(duì)其冰蓋穩(wěn)定性的影響[14，19，24]。

6 冰-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用渠道冰-凍破壞機(jī)理

在冬季不輸水渠道中，“基土凍脹融沉+接觸面凍結(jié)融化+襯砌體滲凍互饋”三者相互循環(huán)作用是導(dǎo)致襯砌結(jié)構(gòu)發(fā)生凍脹破壞的主要原因。但在冬季冰蓋輸水渠道中，土體凍結(jié)速率緩慢且有水源補(bǔ)給條件下使土體凍脹顯著，冬季輸水渠道渠內(nèi)水體與基土產(chǎn)生熱量交換：行水位以下由于渠內(nèi)水保溫作用視為該區(qū)域?yàn)槲磧鰠^(qū)即渠基土處于未凍狀態(tài)；而行水位以上渠基土在累計(jì)負(fù)溫影響下發(fā)生凍結(jié)，同時(shí)伴隨渠水入滲和水分遷移作用，使受凍坡板發(fā)生不均勻的凍脹變形。在持續(xù)負(fù)溫環(huán)境和通過水力調(diào)控形成冰蓋后，與冰蓋接觸的襯砌結(jié)構(gòu)會(huì)受到冰荷載作用，主要表現(xiàn)為：流冰期形成懸臂冰蓋產(chǎn)生的附加彎矩、封凍期平封冰蓋產(chǎn)生的靜冰荷載及冰蓋自重產(chǎn)生的附加彎矩作用。襯砌結(jié)構(gòu)在基土凍脹和冰荷載共同作用下會(huì)在冰蓋附近產(chǎn)生不協(xié)調(diào)冰-凍位移，出現(xiàn)較大彎矩和拉應(yīng)力。當(dāng)渠道襯砌極限承載力不能滿足冰-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用下的最大荷載時(shí)即發(fā)生冰-凍破壞。

7 結(jié)論

探討并剖析寒區(qū)冬季行水渠道冰-凍荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的破壞機(jī)理，對(duì)不輸水條件彈性地基梁模型和穩(wěn)態(tài)條件下冰蓋輸水模型進(jìn)行修正和補(bǔ)充，提出一種考慮冰蓋作用-基土凍脹-襯砌結(jié)構(gòu)協(xié)同作用影響下坡板冰-凍破壞分析計(jì)算方法。得出如下結(jié)論：

（1）推導(dǎo)得到了復(fù)雜冰凍荷載作用下渠道彈性地基梁力學(xué)模型和解析表達(dá)式，對(duì)3個(gè)階段分別建立了冰凍破壞力學(xué)模型，結(jié)合不同荷載組合和邊界條件對(duì)撓曲線微分方程求解，得到了渠坡板撓度、內(nèi)力和應(yīng)力的解析表達(dá)，本模型彌補(bǔ)了不輸水條件彈性地基梁模型中預(yù)先假定一種簡單凍脹荷載大小與分布規(guī)律，且不能真實(shí)反映基土凍脹與襯砌結(jié)構(gòu)之間相互關(guān)系的缺陷。

（2）以京石段某輸水渠道為原型研究，應(yīng)用本文方法對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)各點(diǎn)冰-凍位移和截面應(yīng)力進(jìn)行分析計(jì)算，結(jié)果表明：結(jié)冰初期、流冰期和封凍期襯砌結(jié)構(gòu)的法向凍脹位移最大值分別為10.62、13.89和5.05 cm，對(duì)應(yīng)最大拉應(yīng)力分別為3.63、4.11和2.05 MPa，形變與強(qiáng)度校核都表明流冰期為冰蓋生消過程中最危險(xiǎn)工況，且破壞位置與監(jiān)測(cè)結(jié)果基本相符。

（3）分別對(duì)地下水位和冰蓋厚度變化影響下襯砌結(jié)構(gòu)冰-凍破壞進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明：襯砌結(jié)構(gòu)冰-凍位移和截面最大彎矩均隨地下水位降低和冰蓋厚度的增加而逐漸減小，證明依據(jù)工程條件應(yīng)考慮降低地下水位和增加冰蓋厚度的影響作用，但同時(shí)要滿足冰蓋增厚后對(duì)其冰蓋穩(wěn)定性的影響條件。

本研究中第3階段只考慮冰蓋與襯砌結(jié)構(gòu)粘結(jié)穩(wěn)定后形成平封冰蓋的靜冰壓力作用。事實(shí)上，當(dāng)晝夜溫差變化較大時(shí)，冰蓋對(duì)襯砌結(jié)構(gòu)冰拉力的影響也需加以重視，綜合考慮冰蓋拉拔效應(yīng)和凍融循環(huán)作用的相關(guān)模型有待進(jìn)一步開展研究。