打磨 打通 打開 高觀點視角下的復(fù)習(xí)與整理
——以《正、反比例復(fù)習(xí)》為例

文｜錢建兵

“高觀點”思想是德國杰出的數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因于20世紀(jì)初在《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》這本書中提出來的?？巳R因認(rèn)為，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的（高等數(shù)學(xué)）視角來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；一個稱職的教師應(yīng)當(dāng)掌握或了解數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過程以及數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過。數(shù)學(xué)教材的編排具有螺旋上升的特點，知識之間的層級較為明顯，教學(xué)中需要在更高的視角審視、理解層級較低的問題，從而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。早期通過鋪墊、滲透的知識，在高級階段通過適當(dāng)?shù)貑拘?、拾取，學(xué)習(xí)者前后的經(jīng)驗得以延續(xù)與貫穿，形成知識的序列與結(jié)構(gòu)。如學(xué)習(xí)新知過程中的復(fù)習(xí)鋪墊、反思回顧等環(huán)節(jié)，就是一種喚醒舊經(jīng)驗連接新經(jīng)驗的過程。本文以《正、反比例的復(fù)習(xí)》為例，著眼于高觀點，瞻前顧后，從而達到融會貫通、深度理解知識的教學(xué)目標(biāo)，形成完整的知識結(jié)構(gòu)。

一、打磨已知：在比較中精致結(jié)構(gòu)

格式塔心理學(xué)認(rèn)為：學(xué)習(xí)主要不是加進新痕跡或減去舊痕跡的問題，而是要使一種完形改變成另一種完形。這種完形的改變可以因新的經(jīng)驗而發(fā)生，也可以通過思維而產(chǎn)生，學(xué)習(xí)就是知覺重組或認(rèn)知重組，知覺重組或認(rèn)知重組注重的是認(rèn)清事物的內(nèi)在聯(lián)系、結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。只有通過整理比較，形成清晰的結(jié)構(gòu)，才能更有效地去融合之前的知識與經(jīng)驗，將兩個獨立存在而實質(zhì)具有聯(lián)系的結(jié)構(gòu)進行融合。對概念的清晰認(rèn)識是建立良好知識結(jié)構(gòu)的前提，所謂清晰，就是要厘清相似概念的聯(lián)系與區(qū)別，從更細(xì)致處去把握概念，將原有認(rèn)識進行打磨，在形成知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上整體把握知識的本質(zhì)與內(nèi)涵。如對正比例與反比例的理解，不是僅從外部“比值一定”“乘積一定”或是圖象上去區(qū)別二者，而是要深入概念的整體與內(nèi)部，增強學(xué)生對比例是表示關(guān)系即函數(shù)思想的理解。“正”“反”是相對的概念，只有通過對比，才能體現(xiàn)自身。

通過兩個例子對兩個概念進行梳理。經(jīng)過比較，得出了正、反比例的相同點：都有兩個變化的量，一個量的變化引出另一個量的變化，且變化中都有不變的因素。在此基礎(chǔ)上，可以打磨細(xì)節(jié)，讓學(xué)生說一說對“正”“反”的理解，有的學(xué)生從變化方向角度去解釋，也有的學(xué)生從圖形利用圖象進行描述。根據(jù)學(xué)生的回答形成下表，由此學(xué)生對正、反比例相同與不同的認(rèn)識從粗糙走向精致。

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通過學(xué)生條理清楚的表達，以表格、思維導(dǎo)圖等形成知識之間的聯(lián)系。通過具體例子，首先幫學(xué)生提取相關(guān)概念的內(nèi)涵與外延；再組織比較，形成了比較清晰的正、反比例的概念結(jié)構(gòu)。要特別重視結(jié)構(gòu)的精致過程，結(jié)構(gòu)越通透，其吸納整合其他知識、同化融合其他結(jié)構(gòu)的能力就越強。

二、打通舊知：在“吐故”中融合結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)融合即建立新結(jié)構(gòu)與原有概念或結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，把原有概念與結(jié)構(gòu)納入新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使原有概念被賦予新的意義與視角。由于之前是以滲透的形式教學(xué)，是經(jīng)過了適合兒童思維水平改造后呈現(xiàn)，所以知識呈現(xiàn)的視角會與正式學(xué)習(xí)時有所不同。當(dāng)兒童正式學(xué)習(xí)某一知識時，因首因效應(yīng)，對先前改造后學(xué)習(xí)的知識會有深刻的印象，后期學(xué)習(xí)時也不會從新的視角去認(rèn)識，結(jié)構(gòu)的整合并不是自動的。所以教學(xué)要在恰當(dāng)?shù)臅r候積極尋找中間地帶，促進兩個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對質(zhì)，并積極促進舊的結(jié)構(gòu)同化融入到新的知識結(jié)構(gòu)之中。

正比例與反比例在學(xué)習(xí)了乘、除法的計算之后逐步滲透，教材以探索規(guī)律的形式讓學(xué)生感受變化的思想。如（圖1）：

圖1

這樣的例子在教材中非常多，有練習(xí)中的也有以規(guī)律、性質(zhì)等教學(xué)形式出現(xiàn)的，如商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)等?？梢哉f，通過之前的學(xué)習(xí)，學(xué)生能感受到一個量的變化引起另一個量的變化，對變化的方向也較為清晰，但不能跟正、反比例聯(lián)系起來，也不能建立起變量的概念，算術(shù)的思維始終影響代數(shù)思維的發(fā)展。對規(guī)律的解釋，還只是一種經(jīng)驗，缺少相應(yīng)的理性抽象的思考。因此，從學(xué)生思維發(fā)展的角度講，需要一個提升與轉(zhuǎn)變。

從正、反比例的學(xué)習(xí)過程來看，需要融會貫通才能深度理解。在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生是基于具體計算比值相等、乘積相等或圖象直觀去判斷兩個量存在哪種比例關(guān)系，對于用關(guān)系式進行判斷，由于不能（或缺少相應(yīng)的元認(rèn)知）將自己想到的關(guān)系式根據(jù)乘、除法之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化后進行判斷，學(xué)生對正反比例的判斷能力較差。如，三角形的底一定，面積和高是什么比例關(guān)系？學(xué)生首先想到的是面積計算公式，而不會主動地將這個公式轉(zhuǎn)化成面積除以高等于底除以2，然后判斷比例關(guān)系，但是卻知道“面積不變，底擴大多少，高要縮小多少”這樣的關(guān)系。

在對正、反比例的概念進行梳理之后，引導(dǎo)學(xué)生用比例去思考之前學(xué)過的知識，以深化對比例的認(rèn)識。

首先是乘法中的變化規(guī)律。出示（圖2）：

圖2

說一說這是什么規(guī)律？能用比例的知識解釋嗎？并讓學(xué)生用字母關(guān)系式a×b=c（a、b、c 均不為0）表示，說一說三個量的比例關(guān)系。在完成抽象表達之后回到情境，說一說常用數(shù)量關(guān)系中的比例關(guān)系：單價×數(shù)量=總價、工作效率×工作時間=工作總量……

接著是從比例的視角發(fā)現(xiàn)除法中的變化規(guī)律。用字母關(guān)系式：a÷b=c（a、b、c 均不為0）表示后引導(dǎo)學(xué)生用比例的知識解釋：商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)。小結(jié)：一個乘法或除法關(guān)系式的三個量中，只要一個量確定了，就可以確定其他兩個量是正比例或反比例關(guān)系。可以根據(jù)乘法或除法關(guān)系式判斷比例關(guān)系。用比例的眼光看面積、體積的變化規(guī)律：正方形邊長乘以或除以一個不為0 的數(shù)，周長怎么變化？圓的半徑擴大3 倍，周長怎么變化？

當(dāng)學(xué)生從現(xiàn)在的學(xué)習(xí)角度去看原來的知識與結(jié)構(gòu)并獲得一種解釋時，不僅僅是一種結(jié)構(gòu)的形成，更是理解上的深入。學(xué)生會產(chǎn)生“原來那就是比例，原來比例就是之前學(xué)習(xí)的變化規(guī)律”的想法，這樣更有助于學(xué)生理解比例的意義。通過這樣的回顧，從一個更高的視角看原有的知識，“站起來環(huán)顧四周”更容易有一種整體感，促進原有知識的同化或順應(yīng)，讓新結(jié)構(gòu)得以形成，理解得到深入。

三、打開未知：在“納新”中延伸結(jié)構(gòu)

當(dāng)舊知通過反思融入結(jié)構(gòu)中，產(chǎn)生一個新結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)仍處于平衡狀態(tài)。這時，教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生再一次制造沖突，制造新的不平衡，將這個結(jié)構(gòu)開放、生長、延伸。皮亞杰認(rèn)為，全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而且這種建構(gòu)始終是完全開放的……這種結(jié)構(gòu)或者正在形成“更強的”結(jié)構(gòu)，或者在由“更強的”結(jié)構(gòu)來予以強化。

從復(fù)習(xí)課的角度講，復(fù)習(xí)的要點在于溝通知識之間的聯(lián)系，形成更大、更清晰、更牢固的知識網(wǎng)絡(luò)。所謂更大，就是瞻前顧后，站在現(xiàn)在去俯視原有的知識，將原來教材中滲透的、不系統(tǒng)的知識放到現(xiàn)在的一個比較系統(tǒng)的知識中，形成一個結(jié)構(gòu)。瞻前，就是如本課中，對乘、除法運算中的變化規(guī)律從正、反比例的角度對其解釋。顧后，就是將現(xiàn)有知識放在一個更高的觀點上，讓學(xué)生更近距離地去接觸這一知識的本質(zhì)，正、反比例是函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，讓學(xué)生畫比值不同的比例感受一下，為后續(xù)學(xué)習(xí)打開一扇窗。瞻前顧后，復(fù)習(xí)課應(yīng)做到上不封頂、下要保底。

如果將正、反比例的學(xué)習(xí)放在一個更上位的概念系統(tǒng)中看，應(yīng)該是函數(shù)學(xué)習(xí)的一部分。因此，這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)應(yīng)該是中學(xué)函數(shù)知識的前期準(zhǔn)備，在這一準(zhǔn)備中，應(yīng)該有著后續(xù)學(xué)習(xí)所需要的“種子”，正如前期學(xué)習(xí)乘除法中的變化規(guī)律一樣。在教學(xué)中我是這樣滲透和鋪墊的。首先通過《學(xué)習(xí)單》（圖3）引導(dǎo)，畫出的圖象。

圖3

圖4

組織觀察：這些直線有什么變化？你覺得與什么有關(guān)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線的傾斜程度與比值有關(guān)。再引導(dǎo)學(xué)生聚焦直線的傾斜程度：傾斜程度的大小是從哪里看出來的？比值與夾角有什么樣的關(guān)系呢？這些問題，讓學(xué)生意識到正比例的價值，更激發(fā)了學(xué)生探究的欲望。重要的是讓學(xué)生能對正比例產(chǎn)生問題，問題使結(jié)構(gòu)常新，新的結(jié)構(gòu)始終保持著一種開放的狀態(tài)。

高觀點下的復(fù)習(xí)整理，要整理、貫通，促使結(jié)構(gòu)的生成。一是知識內(nèi)部的聯(lián)系緊密，加強知識之間的聯(lián)系，從模型、本質(zhì)的角度去理解知識，促使知識的“原來—現(xiàn)在—將來”能成為一個牢固的整體；二是不斷在學(xué)生心中產(chǎn)生問題，保持結(jié)構(gòu)的開放，使結(jié)構(gòu)常新。