淺談一道電容器與動生電動勢的問題中電阻的忽略

岳凌月 琚 鑫 馬朝華

(1. 北京師范大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100052； 2. 北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校，北京 100036)

1 問題的提出

圖1

如圖1所示,水平面上有兩根足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌,兩導(dǎo)軌間距為L．在導(dǎo)軌之間接有電容為C的不帶電的電容器,導(dǎo)體桿質(zhì)量為m,并與導(dǎo)軌接觸良好．整個裝置處于方向豎直向下、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中．現(xiàn)用一水平恒力F向右拉動導(dǎo)體桿從靜止開始運動,不考慮桿與軌道之間的摩擦和空氣阻力,不考慮一切電阻．假設(shè)導(dǎo)軌長度足夠長,磁場的范圍也足夠大,試證明該導(dǎo)體棒將做勻變速直線運動．

參考解答如下.

再對導(dǎo)體棒做受力分析,應(yīng)用牛頓第二定律,有

F-BiL=ma.

聯(lián)立上述兩式,得到加速度為

(1)

可見加速度a為一個定值,結(jié)合題干信息可以判斷,該導(dǎo)體棒將做初速度為0的勻加速直線運動．

在實際教學(xué)中,無論是教師,還是學(xué)生都可能對“導(dǎo)體棒兩端電勢差總等于電容器兩端電勢差”這個結(jié)論有很大的疑惑,如果上述結(jié)論成立,那么怎么會有充電電流呢?如果沒有充電電流,那么電容器是如何帶電的?也就是忽略所有電阻,真的合理嗎?

圖2

2 考慮電阻R的解析解

嘗試先給出考慮電阻R的普遍情況,裝置如圖2所示,其余條件與圖1均相同．設(shè)某時刻t時,導(dǎo)體棒的速度為v,回路中電流為i,電容器某一極板上所帶電荷量為q,則根據(jù)基爾霍夫方程有

(2)

再根據(jù)牛頓第二定律,有

(3)

這就是我們解決這個問題的微分方程組．將電流的定義式i=dq/dt代入(2)式后,再對(2)式兩端對時間t求導(dǎo),得

(4)

將(3)式代入(4)式,整理后得

(5)

結(jié)合初始條件t=0時,電容器極板所帶電荷量q(0)=0,電路中瞬時電流dq(0)/dt=0,于是得到上述二階常微分方程的特解

(6)

將(6)式對時間t求導(dǎo),得到電流i隨時間的演化關(guān)系

(7)

將(7)式代入(3)式得

(8)

即得該導(dǎo)體棒的加速度為

(9)

下面對(9)式做如下討論.

這與(1)式中的結(jié)果相同．說明導(dǎo)體棒會越來越趨于一個勻變速直線運動,這與忽略所有電阻時的結(jié)論是一致的．

(2) 如果直接取R=0,會導(dǎo)致(9)式中的e指數(shù)項中的系數(shù)“-(CB2L2+m)/mCR”這一項無意義,為了避免出現(xiàn)發(fā)散,不妨令R→0,這樣就導(dǎo)致當(dāng)t=0時,(9)式的第一項趨于無窮大,但隨著t>0,這一項會迅速趨于0,即導(dǎo)體桿會迅速趨于勻加速直線運動．同樣的情況也適用于(7)式,即i→∞,所以充電時間Δt→0,這就解釋了為什么總有導(dǎo)體桿兩端電勢差總與電容器兩端電勢差相等．

圖3

(3) 再來討論電阻R的數(shù)值對結(jié)果的影響．從理論上講,按照(9)式的結(jié)果,導(dǎo)體棒要用無限長的時間才能達到勻加速直線運動,但是就實際而言,它會在有限的時間內(nèi)非常接近勻加速直線運動．如圖3所示,分別為R的數(shù)值較大和較小時的情況,可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)電阻R的數(shù)值較小時,加速度趨近于定值F/(m+CB2L2)所需要的時間越短．

3 教學(xué)建議

在實際教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)正面回應(yīng)教師與愛思考的學(xué)生所提的問題,即題目中要求忽略一切電阻是一種非常極端的情形,會存在一些物理上的小問題,但是題目的做法卻是有依據(jù)的,即當(dāng)回路中的電阻越小,導(dǎo)體桿加速度趨于穩(wěn)定所需要的時間就越短,電容器每次充電提升電勢差與導(dǎo)體桿兩端電勢差相同所用的時間Δt就越短.限于中學(xué)數(shù)學(xué)的水平,這種嚴格的情況中學(xué)階段無法處理．但是，當(dāng)忽略一切電阻時,這個時間Δt可以忽略不計,就可以在中學(xué)的數(shù)學(xué)范圍內(nèi)進行求解了．注意還要說清楚一個問題,那就是因為不考慮一切電阻這個極端情況,因此電容器的充電電流i為無窮大,充電時間Δt無窮小,但上述i和Δt還應(yīng)該滿足iΔt=有限值．