大學(xué)普通力學(xué)實(shí)驗(yàn)中單擺線彈性對(duì)重力加速度測(cè)量結(jié)果的影響*

朱旭鵬 李佳楠 廖峻 薛書文

(嶺南師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣東 湛江 524048)

單擺實(shí)驗(yàn)通過伽利略發(fā)現(xiàn)和研究后，在歷史長(zhǎng)河中被不斷地改進(jìn)和應(yīng)用.當(dāng)下，在大學(xué)普通物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，通過單擺來測(cè)量重力加速度的大小同樣是既簡(jiǎn)單又可以極大引起學(xué)生探究興趣的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目之一[1].當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)用一條長(zhǎng)度不變、質(zhì)量不計(jì)的線懸掛時(shí)，可以在重力的作用下沿著某一鉛垂面做簡(jiǎn)諧振動(dòng).這一被稱作為單擺的結(jié)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)周期可以通過經(jīng)典的單擺公式來計(jì)算，周期值與擺長(zhǎng)和重力加速度有關(guān)系.反過來，通過測(cè)量單擺的周期可以間接測(cè)量出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萚2].但是，事實(shí)上用來懸掛質(zhì)點(diǎn)的擺線是具有彈性的，那么整個(gè)單擺振動(dòng)過程中，彈性對(duì)擺動(dòng)周期如何影響，彈性對(duì)重力加速度的測(cè)量值如何影響，是大學(xué)學(xué)生的興趣點(diǎn)之一，掌握擺線彈性對(duì)重力加速度測(cè)量值的影響是充分理解單擺實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重要因素.

1 參數(shù)設(shè)置及材料選擇

圖1 單擺結(jié)構(gòu)及不同的擺線

圖2 擺線測(cè)量裝置及在不同負(fù)載下的長(zhǎng)度伸長(zhǎng)率

2 結(jié)果與討論

圖3 不同線型在不同擺長(zhǎng)下的周期平均值

圖4 不同線型在不同擺長(zhǎng)下的周期不確定度及周期差值

以上結(jié)果表明，不同線型單擺周期平均值的變化并沒有和長(zhǎng)度伸長(zhǎng)率變化相一致，彈性系數(shù)最小的魚線測(cè)得的周期在大多數(shù)擺長(zhǎng)下測(cè)得的周期處于其他兩條擺線所測(cè)的周期值之間.考慮到0.2 mm銅線由于材料本身在單擺固定點(diǎn)具有一定的切向力，能夠?qū)螖[周期造成一定的影響，因此，我們通過魚線和尼龍線的比較來研究擺線的彈性對(duì)單擺周期值的影響，但魚線和尼龍線做擺線時(shí)不大的周期平均值差值無法支持?jǐn)[線的彈性系數(shù)越大時(shí)，單擺周期越長(zhǎng)這一結(jié)論.再結(jié)合擺球的質(zhì)量較小，同時(shí)擺角小于5°，單擺在平衡位置對(duì)擺線的張力不大，因此，擺線的彈性對(duì)單擺周期平均值的測(cè)量有影響，但影響較小，可以忽略，這符合單擺中擺線剛性不可伸長(zhǎng)的理想假設(shè).

圖5給出了通過單擺周期經(jīng)典公式

及誤差傳遞方程

計(jì)算的重力加速度和重力加速度不確定度.

圖5 重力加速度和重力加速度不確定度

從圖5可知，銅擺線所測(cè)的重力加速度在9.800～9.820 m/s2之間，大于魚線和尼龍線測(cè)得的9.740～9.780 m/s2之間的值，魚線測(cè)得的重力加速度在大多數(shù)擺長(zhǎng)下稍大于尼龍線測(cè)得的值.從不確定度與擺長(zhǎng)的關(guān)系來看，隨著擺長(zhǎng)的增加，重力加速度值的不確定度不斷減小，表明單擺擺線越長(zhǎng)，測(cè)量重力加速度時(shí)受到的外界因素越小.我們對(duì)不同線型不同擺長(zhǎng)下測(cè)得的重力加速度及不確定度求平均，其值如圖6所示.

圖6 不同線型不同擺長(zhǎng)下重力加速度平均值及其不確定度

從以上結(jié)果來看，銅線測(cè)得的重力加速度值為(9.810±0.015) m/s2，其值大于地球各點(diǎn)重力加速度近似公式計(jì)算的值9.782 m/s2,其近似計(jì)算公式為

其中g(shù)0是地球標(biāo)準(zhǔn)重力加速度，9.806 65 m/s2；&和h分別是測(cè)量點(diǎn)的緯度和高度；R是地球的平均半徑6 370 km.魚線和尼龍線測(cè)得的重力加速度分別為(9.762±0.015) m/s2和(9.757±0.015) m/s2，其值小于地球各點(diǎn)重力加速度近似公式計(jì)算的值，主要誤差來源可能來源于擺線質(zhì)量和小球半徑，另外空氣浮力和阻力對(duì)測(cè)試結(jié)果也有一定的影響.因此,彈性系數(shù)較小的魚線測(cè)得的重力加速度值和彈性系數(shù)較大的尼龍線測(cè)得的值稍大，但相應(yīng)不確定度的覆蓋程度進(jìn)一步說明，擺球質(zhì)量較輕，擺角很小的單擺受擺線彈性的影響極小，可以忽略.

3 結(jié)論

本文對(duì)比了3種不同彈性的擺線對(duì)單擺周期及重力加速度測(cè)量值的影響.彈性系數(shù)最大的銅線由于在單擺頂端的切向阻力導(dǎo)致單擺周期偏小，重力加速度值偏大.彈性系數(shù)較小的魚線測(cè)得的重力加速度值略大于彈性系數(shù)較大的尼龍線做擺線時(shí)的值，考慮到不確定值的覆蓋度，擺線的彈性對(duì)重力加速度測(cè)量的影響很小，符合單擺理想化過程中的擺線長(zhǎng)度不變的假設(shè).另外隨著擺線長(zhǎng)度的增加，重力加速度不確定度減小，單擺測(cè)量實(shí)驗(yàn)受其他次要因素的影響越小.本結(jié)果在明確擺線彈性在單擺測(cè)量重力加速度實(shí)驗(yàn)過程中的影響程度，提高教師在整個(gè)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中對(duì)各個(gè)影響因素把控程度方面具有一定的參考價(jià)值.

現(xiàn)將筆者的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別列于表1和表2中,可供參考.其中表1為負(fù)載對(duì)不同線型擺線的影響,表2為不同擺線、不同擺長(zhǎng)的單擺周期.

表1 負(fù)載對(duì)不同線型擺線的影響

表2 不同擺線、不同擺長(zhǎng)的單擺周期