基于光程變化量的反射式光學(xué)系統(tǒng)敏感度理論分析與降敏設(shè)計(jì)方法

孟慶宇，汪洪源，王 維，秦子長(zhǎng)，3，王曉東

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間光學(xué)工程研究中心，黑龍江哈爾濱150001；2.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長(zhǎng)春130031；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

1 引 言

反射式光學(xué)系統(tǒng)已有400余年的發(fā)展歷史［1］，并廣泛地應(yīng)用于大型光學(xué)系統(tǒng)中。從20世紀(jì)至今，隨著宇宙科學(xué)、地球觀測(cè)等領(lǐng)域?qū)Ω叻直媛食上竦男枨?，大口徑、長(zhǎng)焦距反射式光學(xué)系統(tǒng)的體積越來(lái)越大，光學(xué)系統(tǒng)的焦距已增長(zhǎng)到數(shù)十米至數(shù)百米的尺度，口徑尺寸達(dá)到了數(shù)米至數(shù)十米的量級(jí)。反射式光學(xué)系統(tǒng)雖然構(gòu)型相對(duì)簡(jiǎn)單，光學(xué)元件數(shù)量少，但隨著焦距與口徑的增大，光學(xué)系統(tǒng)的加工難度與裝調(diào)敏感劇增，這為大型光學(xué)儀器的實(shí)現(xiàn)帶來(lái)了挑戰(zhàn)，消耗了巨大的經(jīng)濟(jì)與時(shí)間成本［2-3］。

光學(xué)系統(tǒng)的最終性能不僅取決于光學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)果的好壞，還取決于建造過(guò)程中對(duì)于面形加工、裝調(diào)位置、系統(tǒng)穩(wěn)定性等各項(xiàng)誤差因素的控制，而從過(guò)往經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，這些實(shí)際誤差因素在光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中占據(jù)主導(dǎo)地位［4-5］。針對(duì)這一問(wèn)題，在大口徑、長(zhǎng)焦距反射式系統(tǒng)的研制當(dāng)中，一方面要通過(guò)CAA、主動(dòng)光學(xué)、精密溫控、高剛度高穩(wěn)定性光機(jī)結(jié)構(gòu)等手段實(shí)現(xiàn)更高精度的誤差控制［6-12］；另一方面，也必須對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的誤差敏感性進(jìn)行研究，探究光學(xué)系統(tǒng)誤差敏感性的因素及影響規(guī)律，尋找光學(xué)系統(tǒng)的降敏設(shè)計(jì)方法，降低光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量對(duì)誤差控制精度的依賴，這對(duì)于降低大口徑長(zhǎng)焦距光學(xué)系統(tǒng)的建造難度、時(shí)間成本和經(jīng)濟(jì)成本具有重要的意義。

目前，針對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的降敏設(shè)計(jì)方法主要有6種［13］：第一種是全局搜索優(yōu)化法［14］；第二種是全差分波前誤差集成優(yōu)化法，該方法依靠設(shè)計(jì)軟件的宏命令，在優(yōu)化過(guò)程中程序不斷返回可以反應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)敏感度的波前差分值，進(jìn)而獲得敏感度較優(yōu)方案；第三種是光線折射角、入射角優(yōu)化法［15-16］；第四種是降低光學(xué)表面傾斜對(duì)軸向彗差影響的方法；第五種是多重結(jié)構(gòu)降敏設(shè)計(jì)方法；第六種是降低偏心引起的差分波前誤差方法［17］。

這些降敏設(shè)計(jì)方法的理論評(píng)價(jià)主要以波像差為主，但很多情況下，光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)的波像差較大，此時(shí)以波像差作為敏感度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，往往不能直觀地反映出系統(tǒng)的真實(shí)情況。而初始結(jié)構(gòu)的選取對(duì)于誤差敏感性具有非常重要甚至是決定性的影響，因此還需要發(fā)展一種更加簡(jiǎn)潔直觀的評(píng)價(jià)方式，用于實(shí)現(xiàn)低敏感度初始設(shè)計(jì)。

影響光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的誤差因素一般包括兩大類，一是光學(xué)元件空間位置的失調(diào)，主要由光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)殘差、光機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性誤差和溫度控制誤差等因素引起；二是光學(xué)元件面形誤差，主要由光學(xué)加工制造以及環(huán)境因素引起。具有低敏感度特征的光學(xué)系統(tǒng)，應(yīng)能夠更好地抵抗這兩種誤差因素引起的成像質(zhì)量下降。因此，為了能夠獲得低敏感度光學(xué)系統(tǒng)，應(yīng)首先分析上述因素引起的系統(tǒng)光程變化，進(jìn)而明確各項(xiàng)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)于各項(xiàng)誤差因素的敏感度模型。這是后續(xù)實(shí)現(xiàn)降敏設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。

同軸兩反式光學(xué)系統(tǒng)是大口徑光學(xué)望遠(yuǎn)鏡最基本、最經(jīng)典的系統(tǒng)形式。本文以同軸兩反式系統(tǒng)作為研究對(duì)象，采用以失調(diào)擾動(dòng)引起的光程變化量（Optical Path Variation，OPV）作為評(píng)價(jià)誤差敏感程度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，推導(dǎo)了各項(xiàng)失調(diào)因素引起的成像光路OPV的理論表達(dá)式，進(jìn)而提出了以O(shè)PV為理論基礎(chǔ)的降敏設(shè)計(jì)方法。

2 理論分析

2.1 光學(xué)系統(tǒng)敏感度理論分析方法

光學(xué)元件的位置失調(diào)主要包括偏心平移、傾斜、軸向間距與旋轉(zhuǎn)，如圖1所示。偏心平移失調(diào)定義為光學(xué)元件以其曲面頂點(diǎn)為中心，向子午方向、弧矢方向或某一合成方向平移了δ；傾斜定義為光學(xué)元件以其曲面頂點(diǎn)為中心，繞著子午軸或弧矢軸旋轉(zhuǎn)了η；軸向間距失調(diào)定義為反射鏡沿著光軸方向的位置移動(dòng)了d；旋轉(zhuǎn)失調(diào)是一種特殊的傾斜，特指光學(xué)元件以其曲面頂點(diǎn)為中心，繞著光軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，對(duì)于同軸光學(xué)系統(tǒng)，當(dāng)光學(xué)元件為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱面形時(shí)則不存在旋轉(zhuǎn)失調(diào)。光學(xué)元件的位置失調(diào)往往是綜合產(chǎn)生的，即偏心平移、傾斜、軸向間距失調(diào)與旋轉(zhuǎn)是相互伴隨，相互混合的。在光學(xué)元件位置失調(diào)對(duì)成像光路光程變化的敏感度影響分析中，為了便于歸納總結(jié)，以單一類型的位置失調(diào)為研究對(duì)象。

圖1 典型光學(xué)元件位置失調(diào)類型Fig.1 Typical types of optical component misalignment

圖2 失調(diào)前后像面附近的成像光線Fig.2 Layout of optical system with mislignments

根據(jù)費(fèi)馬原理，在理想光學(xué)系統(tǒng)中，不同孔徑、不同視場(chǎng)的光線經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后，應(yīng)該具有相同的光程（Optical Path，OP）［18］。光學(xué)系統(tǒng)元件失調(diào)后，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受到破壞，成像光線光程產(chǎn)生變化，如圖2所示，光學(xué)系統(tǒng)中的每根成像光線會(huì)產(chǎn)生因失調(diào)而引起的OPV。從幾何光學(xué)角度分析，失調(diào)后每根成像光線的OPV絕對(duì)量越小，光學(xué)系統(tǒng)越接近失調(diào)前的狀態(tài)，相應(yīng)地成像質(zhì)量退化也更小，這種變化量數(shù)值越小，失調(diào)對(duì)系統(tǒng)像質(zhì)的影響也就越小。所以，失調(diào)后產(chǎn)生OPV數(shù)值小的系統(tǒng)，是低敏感度光學(xué)系統(tǒng)應(yīng)有的特征。

如果將失調(diào)定義為｛α|α1，α2，…αn｝，其中αn代表的是一系列失調(diào)類型，那么光學(xué)系統(tǒng)因?yàn)槭д{(diào)而引起的OPV一定是失調(diào)類型與失調(diào)量的函數(shù)，即：

根據(jù)工程應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，因失調(diào)引起的OPV與光學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部參數(shù)具有一定的相關(guān)性，則因失調(diào)而引起的OPV應(yīng)該與光學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部參數(shù)｛β|β1，β2，…βn｝構(gòu)成一定的函數(shù)關(guān)系，即：

那么，在同軸反射式系統(tǒng)敏感度影響因素的理論分析中，由光學(xué)元件失調(diào)引起的OPV為光學(xué)系統(tǒng)敏感度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，探尋失調(diào)類型、內(nèi)部參數(shù)等對(duì)光程變化敏感度的內(nèi)在規(guī)律，理論揭示影響同軸反射式光學(xué)系統(tǒng)敏感度的重要因素，具有重要的意義。

同軸兩鏡光學(xué)系統(tǒng)是大型反射式光學(xué)系統(tǒng)最基本的形式，本文以兩鏡反射式光學(xué)系統(tǒng)作為基本分析對(duì)象，所采用的數(shù)學(xué)分析方法對(duì)反射式光學(xué)系統(tǒng)是通用的。

2.2 主鏡偏心平移失調(diào)

如圖3所示，同軸兩鏡反射式光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)由主鏡（Primary mirror，PM）與次鏡（Secondary mirror，SM）組成，其中主鏡作為光學(xué)系統(tǒng)的孔徑光闌，光學(xué)系統(tǒng)位于右手坐標(biāo)系中，主鏡的頂點(diǎn)位于坐標(biāo)系原點(diǎn)（0，0，0），z軸是系統(tǒng)光軸，光線沿著光軸方向傳播。光線由物方無(wú)窮遠(yuǎn)發(fā)出，入射到主鏡鏡面M1（x1，y1，z1）點(diǎn)，經(jīng)主鏡反射后，光線入射到次鏡鏡面M2（x2，y2，z2）點(diǎn)，再經(jīng)次鏡反射后，光線成像于像面M3（x3，y3，z3）點(diǎn)。主鏡與次鏡可以為任意曲面面型，通常可定義為：

圖3 兩鏡反射式光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型Fig.3 Configuration model of two-mirror optical system

式中：z為平行于光軸的曲面矢高；c為曲面的頂點(diǎn)曲率；k為Schwarzschild常數(shù)，即二次曲面常數(shù)；r為曲面投影在x軸與y軸確定的平面上的點(diǎn)相對(duì)于光軸的徑向距離，如式（4）所示：

如前所述，光線經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)的光程可分為3個(gè)部分，即無(wú)窮遠(yuǎn)物點(diǎn)至M1（x1，y1，z1）點(diǎn)，定義該部分光程長(zhǎng)度為z1；M1（x1，y1，z1）點(diǎn)至M2（x2，y2，z2）點(diǎn)，定義該部分光程長(zhǎng)度為s1；M2（x2，y2，z2）點(diǎn)至M3（x3，y3，z3）點(diǎn)，定義該部分光程長(zhǎng)度為s2。根據(jù)費(fèi)馬原理，三部分光程之和為常數(shù)：

若主鏡在子午方向產(chǎn)生了偏心平移失調(diào)，如圖4所示，即沿著y方向平移了δ，入射光線IR入射到主鏡鏡面上的點(diǎn)的x軸坐標(biāo)與y軸坐標(biāo)不變，仍然為（x1，y1），但光線入射到主鏡鏡面上的點(diǎn)的z軸坐標(biāo)平移了Δz1，此時(shí)入射光線與主鏡鏡面交點(diǎn)的坐標(biāo)為M′1（x1，y1，z1+Δz1）。相應(yīng)地，入射光線與次鏡鏡面交點(diǎn)的坐標(biāo)也發(fā)生了變化，為M′2（x2+Δx2，y2+Δy2，z2），其中z2是x與y的函數(shù)。

主鏡位置產(chǎn)生偏心平移失調(diào)后，光線經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)的3部分光程之和為：

圖4 主鏡偏心平移后的光線追跡Fig.4 Ray tracing in condition of PM decenter

這里需要強(qiáng)調(diào)的是，在反射式光學(xué)系統(tǒng)敏感度影響因素的理論分析中，關(guān)注的是光學(xué)系統(tǒng)在無(wú)補(bǔ)償情況下由光學(xué)元件失調(diào)導(dǎo)致的光程變化的敏感度，在一定程度上這種敏感度表征了光學(xué)系統(tǒng)對(duì)光學(xué)元件擾動(dòng)的抵抗能力，所以在分析時(shí)，焦面位置保持不變，即系統(tǒng)無(wú)調(diào)焦補(bǔ)償環(huán)節(jié)。

對(duì)比式（6）與式（5）的變化量可知，在主鏡產(chǎn)生偏心平移失調(diào)前后，光學(xué)系統(tǒng)OPV為：

在式（7）中，對(duì)Δz1進(jìn)行數(shù)學(xué)展開［19］，得到：

為了便于簡(jiǎn)化，這里對(duì)式（8）利用一階近似，則有：

在考慮式（7）中的Δs1與Δs2時(shí)，首先分析光程s1與光程s2。根據(jù)空間兩點(diǎn)之間的距離公式得到：

在假定條件下，z1，x2，y2的變化會(huì)影響s1的數(shù)值，則利用一階近似，光程s1的變化量為：

這里z2的變化以函數(shù)的形式體現(xiàn)在x2與y2中，則有：

同理，光程s2的變化量為：

綜合分析式（13）與式（14），首先歸納分析得到：

如圖5所示，光線在光學(xué)系統(tǒng)中傳播時(shí)，以光軸為回轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，光線與每個(gè)光學(xué)元件相交的坐標(biāo)點(diǎn)相對(duì)x坐標(biāo)軸與y坐標(biāo)軸具有相同的輻角數(shù)值，且光線與光學(xué)元件相交點(diǎn)的坐標(biāo)為：

式中：r為相交坐標(biāo)點(diǎn)的孔徑值，是該點(diǎn)距離光軸的徑向距離；x為相交坐標(biāo)點(diǎn)在x軸的坐標(biāo)；y為相交坐標(biāo)點(diǎn)在y軸的坐標(biāo)；θ為輻角值。

圖5 空間光線傳播示意圖Fig.5 Ray propagation in three-dimensional space

所以在光學(xué)系統(tǒng)中，有：

因此有：

為了求解式（19），在圖3的基礎(chǔ)上，在光學(xué)系統(tǒng)模型中增加一些特殊角度，如圖6所示。

圖6 光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型Fig.6 Configuration model of optical system

根據(jù)反射定律，入射光線與反射光線分居法線兩側(cè)，入射角等于反射角，當(dāng)入射光線交主鏡于M1點(diǎn)時(shí)，定義法線為NL，入射角為φ；以光線與次鏡鏡面交點(diǎn)M2為一點(diǎn)，定義與入射光線平行的直線PL，直線PL與光線S1的夾角則為2φ，直線PL與光線S2的夾角為ξ，ξ是光學(xué)系統(tǒng)像方孔徑角的1/2。根據(jù)定義有：

如圖7所示，z2為曲面矢高，是次鏡的曲面函數(shù)；r2如式（4）所述，是曲面投影在x軸與y軸確定的平面上的點(diǎn)相對(duì)于光軸的徑向距離，曲面z2上任意一點(diǎn)處的切線為TL，法線為NL。z2曲面沿著r2方向的偏導(dǎo)數(shù)為：

式中ζ為次鏡曲面上任意一點(diǎn)處的法線與直線PL的夾角。

如圖7所示，曲面矢高z2的增長(zhǎng)與徑向距離的增長(zhǎng)符號(hào)相反。根據(jù)次鏡的入射光線、反射光線、法線和曲面切線等特征線構(gòu)成的角度數(shù)學(xué)關(guān)系，則有：

圖7 光線路徑數(shù)學(xué)關(guān)系Fig.7 Ray propagation mathematical model

根據(jù)式（25）與式（26）即可得出式（24）。

將式（20）～式（24）代入式（19），則有：

即有：

根據(jù)以上數(shù)學(xué)關(guān)系可知，主鏡偏心平移擾動(dòng)給光學(xué)系統(tǒng)帶來(lái)的OPV為：

式中：

假設(shè)主鏡在子午方向產(chǎn)生了偏心平移失調(diào)，即沿著坐標(biāo)軸y方向平移了δ，所以有：

則式（31）可轉(zhuǎn)化為：

大型反射式光學(xué)系統(tǒng)，如哈勃空間望遠(yuǎn)鏡、詹姆斯·韋伯太空望遠(yuǎn)鏡等，多屬于長(zhǎng)焦距小相對(duì)孔徑系統(tǒng)，主鏡焦比較小，則光線在主鏡上的入射角與反射角φ也較?。?0］。以哈勃空間望遠(yuǎn)鏡為例，主鏡光線入射角φ約為6°［21］。因此，根據(jù)一階近似可以認(rèn)為：

綜上分析，由主鏡偏心平移失調(diào)引起的OPV如下：

在兩鏡光學(xué)系統(tǒng)中，當(dāng)主鏡沿著子午方向產(chǎn)生了偏心平移失調(diào)量δ，對(duì)任意一根光線所產(chǎn)生的OPV，為該光線與主鏡鏡面入射點(diǎn)處的鏡面矢高z沿y方向的變化率（偏導(dǎo)數(shù)）與2倍偏心平移失調(diào)量δ的乘積，也為失調(diào)前后該光線在主鏡鏡面入射點(diǎn)處矢高變化量的2倍。這個(gè)結(jié)論不僅適用于主鏡沿子午方向平移產(chǎn)生的失調(diào)，還適用于主鏡沿著任意方向產(chǎn)生的平移失調(diào)。

2.3 次鏡偏心平移失調(diào)

根據(jù)前一節(jié)對(duì)主鏡平移的失調(diào)推導(dǎo)，當(dāng)次鏡產(chǎn)生偏心平移時(shí)，由次鏡偏心平移引起的光學(xué)系統(tǒng)OPV為：

同前文推導(dǎo)結(jié)論一致，在兩鏡光學(xué)系統(tǒng)中，當(dāng)次鏡沿著子午方向產(chǎn)生了偏心平移失調(diào)量δ，對(duì)某一光線所產(chǎn)生的光程變化量OPV，為該光線與次鏡鏡面入射點(diǎn)處的鏡面矢高z沿y方向的變化率（偏導(dǎo)數(shù)）與2倍偏心平移失調(diào)量δ的乘積，也為失調(diào)前后，該光線在次鏡鏡面入射點(diǎn)處矢高變化量的2倍。這個(gè)結(jié)論不僅適用于次鏡沿著子午方向平移產(chǎn)生的失調(diào)，還適用于次鏡沿著任意方向產(chǎn)生的平移失調(diào)。

通過(guò)對(duì)兩鏡反射式光學(xué)系統(tǒng)中主鏡偏心平移與次鏡偏心平移的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以看出，該結(jié)論可以推廣到三鏡反射式光學(xué)系統(tǒng)乃至多鏡反射式光學(xué)系統(tǒng)中。

2.4 主鏡、次鏡傾斜失調(diào)

當(dāng)主鏡或次鏡發(fā)生傾斜時(shí)，如圖8所示，光程長(zhǎng)度z1，s1與s2的變化因素與前文推導(dǎo)過(guò)程完全一致。因此，可直接利用前文推導(dǎo)結(jié)論，若主鏡以頂點(diǎn)為圓心，繞著弧矢軸傾斜擾動(dòng)了角度η，則入射到主鏡上高度為y1的光線的OPV為：

同理，若次鏡以頂點(diǎn)為圓心，繞著弧矢軸傾斜擾動(dòng)了角度η，則入射到次鏡上高度為y2的光線的OPV為：

式中：y1與y2表征光線與鏡面交點(diǎn)處的位置坐標(biāo)，與關(guān)于主鏡偏心平移的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程唯一不同的是對(duì)矢高變化量Δz的表征方式不同。

在兩鏡系統(tǒng)中，當(dāng)主鏡繞著弧矢軸傾斜擾動(dòng)了角度η，對(duì)某一光線所產(chǎn)生的OPV為失調(diào)前后該光線在主鏡鏡面入射點(diǎn)處矢高變化量的2倍，也為傾斜角度η與光線高度坐標(biāo)乘積的2倍。這個(gè)結(jié)論不僅適用于反射鏡繞著弧矢軸傾斜擾動(dòng)，還適用于反射鏡繞著任意方向產(chǎn)生的傾斜擾動(dòng)。

圖8 反射鏡傾斜后的光線追跡Fig.8 Ray tracing in condition of mirror tilt

2.5 主次鏡軸向距離失調(diào)

光學(xué)元件之間沿著光軸方向的距離變化是最為常見的位置誤差，其最明顯的影響是使光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生離焦。如圖9所示，簡(jiǎn)化式（10）與式（11），將光程s1與s2表示為：

圖9 主次鏡軸向距離變化后的光線追跡Fig.9 Ray tracing in condition of mirrors distance pertur?bation

當(dāng)主次鏡軸向距離產(chǎn)生變化時(shí)，假設(shè)次鏡向遠(yuǎn)離主鏡的方向移動(dòng)Δz2時(shí)，則在光學(xué)坐標(biāo)系下有：

求解式中的偏導(dǎo)數(shù)部分得到：

式中，三角函數(shù)的正負(fù)號(hào)關(guān)系可通過(guò)參數(shù)之間的變化關(guān)系得到，即當(dāng)r2增大時(shí)，s2也隨之增大，所以sinξ前為正號(hào)；當(dāng)z2增大時(shí)，s2隨之減小，所以cosξ前為負(fù)號(hào)。將式（42）與式（43）代入式（41）得到：

根據(jù)以上數(shù)學(xué)推導(dǎo)關(guān)系，由于主次鏡軸向距離變化擾動(dòng)給光學(xué)系統(tǒng)帶來(lái)的OPV為：

式中的負(fù)號(hào)表示：當(dāng)主次鏡軸向距離變大時(shí)，即Δz2取負(fù)值時(shí)，光程增大。

結(jié)合式（45）進(jìn)一步分析，當(dāng)ξ與2φ均較小時(shí)，cos（ξ+2φ）≈1，cos 2φ≈1，則有：

3 OPV光線追跡驗(yàn)證

為了驗(yàn)證2.2至2.5節(jié)中推導(dǎo)的由各種失調(diào)因素引起光學(xué)系統(tǒng)OPV的數(shù)學(xué)式，應(yīng)用一個(gè)系統(tǒng)焦距為1 000 mm，相對(duì)孔徑為1∶5的標(biāo)準(zhǔn)Ritchey-Chrétien系統(tǒng)進(jìn)行光線追跡，對(duì)光學(xué)系統(tǒng)分別施加主鏡偏心平移、次鏡偏心平移、次鏡傾斜和主次鏡軸向距離失調(diào)等擾動(dòng)。采用光線追跡法對(duì)上光線的實(shí)際OP、由失調(diào)因素引起的上光線OPV進(jìn)行計(jì)算，以（2Δz-OPV）/OPV評(píng)價(jià)OPV理論解析值與光線追跡真值的誤差，結(jié)果如表1～表4所示。

分析結(jié)果顯示，與OPV光線追跡值對(duì)比，主鏡偏心平移、次鏡偏心平移、主次鏡軸向距離失調(diào)擾動(dòng)引起的OPV的理論解析計(jì)算誤差在1%量級(jí)；反射鏡傾斜失調(diào)擾動(dòng)引起的OPV的理論解析計(jì)算誤差在0.1%量級(jí)，驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。

表1 主鏡偏心平移時(shí)光程變化量的數(shù)據(jù)分析Tab.1 Data analysis of OPV for PM decentration condition

表2 次鏡偏心平移時(shí)光程變化量的數(shù)據(jù)分析Tab.2 Data analysis of OPV for SM decentration condition

表3 次鏡傾斜時(shí)光程變化量的數(shù)據(jù)分析Tab.3 Data analysis of OPV for SM tilt condition

表4 關(guān)于主次鏡軸向距離變化的光學(xué)系統(tǒng)光程變化量的數(shù)據(jù)分析Tab.4 Data analysis of OPV for mirrors distance perturbation condition

4 基于光程變化量的降敏設(shè)計(jì)

4.1 降敏設(shè)計(jì)

評(píng)價(jià)函數(shù)是光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要評(píng)價(jià)指標(biāo)。當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)受到相同的失調(diào)擾動(dòng)時(shí)，OPV大的光學(xué)系統(tǒng)，敏感度高，魯棒性差；OPV小的光學(xué)系統(tǒng)，敏感度低，魯棒性好。

由多種因素引起的OPV具有獨(dú)立性和互不相關(guān)性，可以采用和方根值（Root-Sum-Squares，RSS）來(lái)計(jì)算由于多種失調(diào)因素引起的總的OPV。因此，將式（47）作為評(píng)價(jià)函數(shù)來(lái)對(duì)光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行降敏設(shè)計(jì)，相關(guān)各種其他失調(diào)因素引起的OPV可進(jìn)行數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)。

基于該思想與OPV評(píng)價(jià)函數(shù)，設(shè)計(jì)了一個(gè)焦距為5 600 mm，相對(duì)孔徑為1∶7，視場(chǎng)角為15′的兩反系統(tǒng)。設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)系統(tǒng)OPV進(jìn)行約束，以達(dá)到降敏設(shè)計(jì)的目的，使它在多項(xiàng)失調(diào)公差約束的情況下，以8.200 0μm作為系統(tǒng)OPV判定的上限閾值。像質(zhì)判定標(biāo)準(zhǔn)則選用波前誤差（Wavefront Error，WFE）RMS平均值，判定閾值為0.065 0λ（λ=0.48μm）。

通過(guò)初始結(jié)構(gòu)篩選，經(jīng)過(guò)15輪迭代優(yōu)化設(shè)計(jì)（光學(xué)系統(tǒng)結(jié)果標(biāo)記為L(zhǎng)1～L15），獲得了RMS波像差為0.059 85λ、OPV為8.195 6μm的光學(xué)系統(tǒng)。該光學(xué)系統(tǒng)的OPV與RMS WFE值的變化曲線如圖10所示。

圖10 降敏優(yōu)化過(guò)程中RMS WFE與OPV的變化Fig.10 Variation of OPV and RMS WFE in desensitiza?tion optimization process

4.2 評(píng)價(jià)函數(shù)OPV與波像差改變量（ΔRMS WFE）的關(guān)系

商業(yè)光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)軟件沒(méi)有直接計(jì)算OPV的功能。通常，設(shè)計(jì)人員通過(guò)計(jì)算在特定公差下的波像差改變量（ΔRMS WFE），來(lái)判斷光學(xué)系統(tǒng)的敏感度情況。根據(jù)波動(dòng)光學(xué)理論，OPV與ΔRMS WFE的數(shù)學(xué)關(guān)系可表示為：

式中S為光瞳面積。

從式（48）中并不可直接獲知OPV與ΔRMS WFE的相關(guān)性。在降敏設(shè)計(jì)過(guò)程中，從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)角度，為了驗(yàn)證OPV評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的正確性，與基于OPV的降敏設(shè)計(jì)方法的有效性，同步計(jì)算了15輪迭代設(shè)計(jì)過(guò)程中的ΔRMS WFE。通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，光學(xué)系統(tǒng)OPV與ΔRMS WFE具有正相關(guān)性，在優(yōu)化過(guò)程中，二者的變化趨勢(shì)一致。

圖11 降敏優(yōu)化過(guò)程中光學(xué)系統(tǒng)ΔRMS WFE與OPV的變化情況Fig.11 Variation of OPV andΔRMS WFE in desensiti?zation optimization process

綜上分析，從波像差理論與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)兩方面，驗(yàn)證了OPV評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的正確性與基于OPV評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的光學(xué)系統(tǒng)降敏設(shè)計(jì)方法的有效性。OPV與ΔRMS WFE均可以在光學(xué)設(shè)計(jì)中作為評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)敏感度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

5 結(jié) 論

基于失調(diào)后成像光線的光程變化絕對(duì)量越小，成像質(zhì)量退化也越小的思想，本文提出以O(shè)PV作為衡量光學(xué)系統(tǒng)敏感度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。在一階近似的條件下，通過(guò)建立光線傳播路徑的幾何模型，理論推導(dǎo)了主鏡/次鏡偏心、主鏡/次鏡傾斜、主次鏡間距變化等誤差因素引起的OPV的數(shù)學(xué)解析表達(dá)式。通過(guò)一套標(biāo)準(zhǔn)Ritchey-Chretien系統(tǒng)，應(yīng)用經(jīng)典幾何光線追跡法，計(jì)算了在各種失調(diào)擾動(dòng)情況下所產(chǎn)生的OPV實(shí)際數(shù)值，與理論推導(dǎo)值對(duì)比，相對(duì)誤差均在1%左右，證明了所推導(dǎo)的OPV理論表達(dá)式的正確性。

基于OPV的理論推導(dǎo)，建立了以O(shè)PV為評(píng)價(jià)函數(shù)的反射式光學(xué)系統(tǒng)降敏設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了一個(gè)焦距為5 600 mm，相對(duì)孔徑為1∶7，視場(chǎng)角為15′的兩反系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)15輪迭代設(shè)計(jì)，獲得了OPV與RMS WFE均滿足指標(biāo)要求的系統(tǒng)。對(duì)設(shè)計(jì)過(guò)程數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)控，分析了15輪迭代設(shè)計(jì)過(guò)程中的OPV與ΔRMS WFE，結(jié)果顯示二者在優(yōu)化過(guò)程中變化趨勢(shì)一致，具有正相關(guān)性，驗(yàn)證了OPV評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的正確性與基于OPV評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的光學(xué)系統(tǒng)降敏設(shè)計(jì)方法的有效性。