相關(guān)衰落MIMO 信道下的聯(lián)合天線子集選擇*

杜文龍，黃 余

(1.江蘇電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院，江蘇 淮安223003；2.圣路易斯大學(xué)研究生院，菲律賓 碧瑤2600)

多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)技術(shù)[1]可以明顯提高系統(tǒng)性能。 這種多天線提供的額外自由度可通過空間復(fù)用[2]用于提高比特率，或通過空時(shí)編碼技術(shù)[3-4]改善分集階數(shù)。 然而，多天線部署需要多個(gè)射頻(Radio Freqency，RF)鏈路，這些RF 鏈路通常是非常昂貴的。 因此，采用具有低成本、低復(fù)雜度技術(shù)的多天線具有相當(dāng)大的吸引力，最優(yōu)天線子集選擇就是這樣的技術(shù)，天線單元的選擇可在發(fā)射機(jī)和/或接收機(jī)上使用，發(fā)送/接收是通過最優(yōu)子集進(jìn)行的。

關(guān)于天線選擇的早期研究大多集中在多輸入單輸出信道或單輸入多輸出信道，主要包括混合選擇/最大比合并算法[5]。 近年來，人們對天線子集選擇技術(shù)在MIMO 信道中的應(yīng)用研究產(chǎn)生了極大的興趣。 文獻(xiàn)[6]基于信道容量最大化準(zhǔn)則，采用兩個(gè)二進(jìn)制編碼字符串分別表示發(fā)射端和接收端天線選擇的狀態(tài)，提出將二進(jìn)制貓群算法應(yīng)用于多天線選擇中；文獻(xiàn)[7]基于二進(jìn)制粒子群算法，提出了一種新的MIMO 系統(tǒng)聯(lián)合收發(fā)端天線選擇算法，以達(dá)到提高信道容量的目的；文獻(xiàn)[8]表明天線選擇技術(shù)可應(yīng)用于低階信道以提高信道容量；文獻(xiàn)[9]研究了陣列天線中利用天線子集選擇及智能算法等來實(shí)現(xiàn)信息安全傳輸?shù)谋Ｃ芗夹g(shù)；文獻(xiàn)[10]提出了一種采用線性接收機(jī)的空間復(fù)用系統(tǒng)的誤碼率最小化天線選擇算法；文獻(xiàn)[11]提出了采用Alamouti 碼傳輸?shù)奶炀€選擇提高平均信噪比(Signal Noise Ratio，SNR)的精確表達(dá)式。

本文采用空時(shí)編碼技術(shù)Alamouti 碼，基于相關(guān)衰落MIMO 鏈路上的精確信道知識(Accurate Knowledge for Channel，AKC)和統(tǒng)計(jì)信道知識(Statistical Knowledge for Channel，SKC)提出了2 種新的天線子集選擇算法和性能分析的綜合理論。 當(dāng)AKC 可用時(shí)，選擇算法選擇天線子集以使信道Frobenius 范數(shù)最大化，從而使得數(shù)據(jù)流的接收SNR 最大化和瞬時(shí)誤差概率最小化；當(dāng)SKC 可用時(shí)，選擇算法選擇天線子集以使矢量化信道的協(xié)方差的行列式最大化，從而使全部可能信道實(shí)現(xiàn)的平均誤差概率(Average Probability of Error，APE)最小化；而且進(jìn)一步表明，對于某些信道模型，聯(lián)合子集選擇是解耦的，允許獨(dú)立于接收天線而選擇發(fā)射天線，或者反之。

1 信道與信號模型

考慮一個(gè)點(diǎn)對點(diǎn)無線鏈路，有MT個(gè)發(fā)射和MR個(gè)接收RF 鏈路，并假設(shè)有KT(KT＞MT)個(gè)發(fā)射天線單元和KR(KR＞MR)個(gè)接收天線單元，選擇KT個(gè)中的MT個(gè)和KR個(gè)中的MR個(gè)天線單元并分別連接到發(fā)射和接收RF 鏈路，如圖1 所示。 經(jīng)過MIMO 信道(大小為MT×MR)的發(fā)射和接收是通過這些選擇的天線子集來完成的，在接收機(jī)端假設(shè)正確的信道狀態(tài)信息和最大似然解碼，此外，還已知發(fā)射機(jī)端和接收機(jī)端的信道統(tǒng)計(jì)值；先給出文中所用到的記號，全部向量和矩陣皆為粗斜體。

XT:X 的轉(zhuǎn)置運(yùn)算；

XH:X 的厄米特轉(zhuǎn)置運(yùn)算；

‖X‖F(xiàn):X 的Frobenius 范數(shù)；

[X]ij:X 的第(i，j)個(gè)元素；

X?Y:X 與Y 的克羅內(nèi)克積；

E{·}:求數(shù)學(xué)期望；

vec{X}:向量化矩陣X；

det{·}:求方陣的行列式值。

圖1 MIMO 系統(tǒng)及天線選擇示意圖

1.1 信道模型

令HK(大小為KR×KT)為信道矩陣，假設(shè)信道為平坦瑞利衰落。 實(shí)際測量表明發(fā)射和接收之間存在相關(guān)性，因此假設(shè)在發(fā)射機(jī)和接收機(jī)之間存在相關(guān)散射，且信道矩陣可以建模為引起接收相關(guān)性的矩陣和引起發(fā)射相關(guān)性的矩陣的乘積，即:

1.2 信號模型

由于只有MT個(gè)發(fā)射和MR個(gè)接收RF 鏈路，將所選擇的天線子集間的(MR×MT)信道表示為H，將所選擇信道的發(fā)射和接收協(xié)方差矩陣分別表示為RT和RR，即H 是HK的一個(gè)子集，RT是RTK的一個(gè)主子矩陣，RR是RRK的一個(gè)主子矩陣。

令第k 個(gè)時(shí)刻從MT個(gè)發(fā)射天線發(fā)射的符號為s1[k]，…，sMT[k]，于是得到信號模型如下:

式中:y[k](大小為MR×1)為接收信號向量，Es為總的發(fā)射信號能量，s[k]＝[s1[k]，…，sMT[k]]T為時(shí)刻k 發(fā)射的信號向量，n[k](大小為MR×1)為加性白高斯噪聲向量，H 為所選擇的發(fā)射和接收天線單元之間的MR×MT信道矩陣。

假設(shè)每幀為T 個(gè)符號周期長，則將T 個(gè)接收到的信號向量疊加起來得到:

2 基于AKC 的天線子集選擇

2.1 OSTBC 和最優(yōu)選擇

2.1.1 OSTBC

正交空時(shí)分組碼(Orthogonal Space-Time Block Code，OSTBC)給出了相關(guān)衰落信道中的最大分集階數(shù)，編碼和解碼是以接收數(shù)據(jù)流的SNR 實(shí)現(xiàn)的[3]，即:

式中:d 為常數(shù)，依賴于所采用的星座圖。 從式(5)和(6)可以看出:最大化信道Frobenius 范數(shù)會(huì)使SNR 最大化，從而使瞬時(shí)誤差概率即誤符號率最小化，所以可根據(jù)這一結(jié)果提出天線選擇算法如下。

2.1.2 天線選擇算法

2.2 算法性能分析及仿真

2.2.1 平均SNR 分析

選擇算法選擇KT個(gè)發(fā)射天線單元中的MT個(gè)，以使信道的Frobenius 范數(shù)最大化。 重寫接收數(shù)據(jù)流的SNR 式(5):

式(10)和選擇算法選擇具有最大Frobenius 范數(shù)的列表明，我們需要采用式(8)的PDF 和式(9)的CDF 的KT個(gè)i.i.d.卡方變量中的MT個(gè)最大變量的一階統(tǒng)計(jì)值。

式中:γ0MRMT為沒有天線選擇(或隨機(jī)天線選擇)時(shí)采用OSTBC 的平均SNR。

對于接收天線選擇(這時(shí)KT＝MT，KR＞MR)的分析容易通過用KR替換式(12)中的KT和用MT替換式(12)中的MR來得到。

圖2 所示為采用Alamouti 碼傳輸MT＝2 時(shí)發(fā)射天線選擇(KT≤MT，KR＝MR)的平均SNR 增益g 的曲線。 可以看到，選擇帶來的平均SNR 增益g 改善是非常明顯的。 此外，還可看到，當(dāng)采用較少數(shù)量的接收天線時(shí)，發(fā)射天線選擇的增益g 更高，這是因?yàn)殡S著接收天線數(shù)量的增加，列平方的Frobenius 范數(shù)越來越接近，從而降低了選擇的影響。

圖2 基于AKC 的發(fā)射天線選擇的平均SNR 增益g

圖3 所示為采用Alamouti 碼傳輸MT＝2 時(shí)的接收天線選擇(KR≤MR)的平均SNR 增益g 的曲線?？梢钥吹剑瑢τ贛R＝2 時(shí)的接收天線選擇增益g 與采用2 個(gè)接收天線的發(fā)射天線選擇的增益g 是相同的(見圖2 和圖3 中最上端的一條曲線)，這是必然的結(jié)果，因?yàn)閺那懊娴姆治鰜砜?，這兩種情況是相同的。

圖3 基于AKC 的接收天線選擇的平均SNR 增益g

3 基于SKC 的天線子集選擇

基于SKC 的天線子集選擇不同于AKC 中選擇天線集是最小化瞬時(shí)誤差概率，而是最小化平均誤差概率(Average Probability of Error，APE，即平均誤符號率)。

3.1 平均誤差概率與天線選擇

3.1.1 平均誤差概率表達(dá)式

令S(i)為發(fā)送的碼字，S(j)為與發(fā)送碼字不相同的其他碼字，定義第(i，j)個(gè)誤差矩陣為Ei，j＝S(i)-S(j)。 根據(jù)切諾夫界(Chernoff bound)，解碼碼字S(j)而不是S(i)(i≠j)的概率由成對誤差概率(Pairwise Error Probability，PEP)給出為:

在高信噪比下，它會(huì)降低到:

式(19)表明了分集階數(shù)對發(fā)射和接收協(xié)方差矩陣的秩的依賴關(guān)系。 特別地，分集階數(shù)是由RR和RT的秩的乘積決定，RT的秩減少會(huì)使分集階數(shù)降低，對于RR的秩來說反之。

式(19)和式(20)的結(jié)果對應(yīng)于發(fā)射和接收天線子集的一種特定選擇。 通常，對于不同的選擇，發(fā)射和接收協(xié)方差矩陣是不同的，而目標(biāo)是選擇使式(20)最小化的天線集。

3.1.2 天線選擇算法

3.2 算法性能分析及仿真

令RTopt和RRopt分別為對應(yīng)于最優(yōu)天線子集的發(fā)射和接收協(xié)方差矩陣，RT和RR為任何其他選擇子集的對應(yīng)協(xié)方差矩陣。

3.2.1 編碼增益

假設(shè)Ropt和R 都是滿秩的，根據(jù)式(20)，性能改善可以表示為:

在高信噪比下，這種效應(yīng)與系統(tǒng)中的編碼一樣，因此將這個(gè)增益稱為編碼增益，近似如下:

3.2.2 分集增益

在極其相關(guān)的信道條件下，有可能天線的某些子集是完全相關(guān)的，這時(shí)，發(fā)射或接收協(xié)方差矩陣(或兩者)可能是低秩的。 因此基于統(tǒng)計(jì)值的選擇也可以通過增大誤符號率曲線的斜率來改善分集增益。 令r 和t 分別為RR和RT的秩，則分集階數(shù)增益為ropttopt-rt，ropt和topt分別為RRopt和RTopt的秩。

當(dāng)兩個(gè)協(xié)方差矩陣都是滿秩的病態(tài)R 和良態(tài)Ropt時(shí)，例如，對于特定的信噪比區(qū)域，不同的天線集曲線有不同的斜率，即使對應(yīng)的協(xié)方差矩陣有相同的秩。

為了驗(yàn)證選擇算法的性能，假設(shè)相關(guān)衰落和由式(1)表示的信道模型，且對于相關(guān)衰落，采用GWSSUS 模型[13]生成式(23)和式(24)中的協(xié)方差矩陣:

圖4 所示為接收選擇(KR＝3，MR＝2，KT＝MT＝2)在2 種情形下的平均SER 曲線，假設(shè)2 種情況下的發(fā)射協(xié)方差矩陣恒等，接收協(xié)方差矩陣分別為RRⅠ和RRⅡ；圖5 所示為采用發(fā)射和接收聯(lián)合選擇(KR＝3，MR＝2，KT＝3，MT＝2)的系統(tǒng)的平均SER 曲線，其中發(fā)射協(xié)方差矩陣為RRⅠ，接收協(xié)方差矩陣為RRⅡ。

圖4 基于SKC 的接收選擇情形Ⅰ和Ⅱ的SER 曲線(Alamouti 碼，4-QAM)

圖5 基于SKC 的聯(lián)合選擇的SER 曲線(Alamouti 碼，4-QAM)

對于接收選擇，基于最大化協(xié)方差的行列式選擇算法預(yù)測情形Ⅰ的最佳接收天線為1 和2(或2和3)，情形Ⅱ的最佳接收天線為1 和3，如表1 所示。 從圖4 可見，2 種情形對應(yīng)的SER 曲線明顯是最優(yōu)的，因此理論預(yù)測是準(zhǔn)確的；此外，可以看到情形Ⅱ中明顯的分集效應(yīng)，這是因?yàn)榻邮仗炀€1 和2的協(xié)方差矩陣條件很差(但仍然有秩2)，而天線1和3 的協(xié)方差矩陣條件更好；圖5 所示聯(lián)合發(fā)送和接收選擇的4 種可能情形。 算法預(yù)測發(fā)射天線1 和2 以及接收天線1 和3 是最優(yōu)的，從圖5 可見，得到的仿真結(jié)果也驗(yàn)證了預(yù)測。

顯然，基于統(tǒng)計(jì)值的選擇可以顯著地提高性能，在仿真所考慮的實(shí)例中提高了2 dB～4 dB。 一般來說，這些增益將依賴于RTK和RRK的準(zhǔn)確結(jié)構(gòu)。

表1 仿真情形的選擇規(guī)則

4 結(jié)束語

本文探討了相關(guān)衰落信道中采用空時(shí)編碼的最優(yōu)MIMO 子集選擇問題，提出了基于AKC 和SKC的選擇算法和性能分析，并給出了仿真結(jié)果來驗(yàn)證算法的性能；此外，本文研究僅限于平坦衰落信道，在存在傳播延遲的情況下，選擇增益可能會(huì)由于信道中充分的頻率分集而降低，這是我們今后研究的一個(gè)主要問題。