淺談高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的區(qū)別和如何有效學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)

皮曉瑞

摘 要：高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間，有著銜接困難的問(wèn)題。問(wèn)題主要存在于高考結(jié)束后，高中生踏入大學(xué)校園生活，尤其是文科類(lèi)學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有吃力的感覺(jué)。針對(duì)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，能否適用于高等數(shù)學(xué)還有如何改變學(xué)習(xí)習(xí)慣，提出個(gè)人的建議和做法。并且在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中，微積分的計(jì)算屬于基本要求掌握且重要的章節(jié)，是高等數(shù)學(xué)金字塔體系中的重要一環(huán)。所以當(dāng)我們理解透徹微積分的計(jì)算后，便能更加有效地學(xué)習(xí)好高等數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué); 高等數(shù)學(xué); 文科生; 微積分

中圖分類(lèi)號(hào)：G644.5? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ?文章編號(hào)：1006-3315（2021）3-118-002

2019年高考結(jié)束，我們進(jìn)入大學(xué)開(kāi)始新的學(xué)習(xí)。通過(guò)一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，再去掉軍訓(xùn)的時(shí)間差不多只有三個(gè)月的學(xué)習(xí)時(shí)間。大一上學(xué)期我們只是基本了解到高數(shù)的基本內(nèi)容是函數(shù)。到了大一下學(xué)期的時(shí)候，由于疫情的影響，我們只能通過(guò)上網(wǎng)課的方式來(lái)學(xué)習(xí)高數(shù)，并且在大二下學(xué)期中主要重點(diǎn)學(xué)習(xí)不定積分和定積分的章節(jié)。

在高中我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，涉及的內(nèi)容非常廣泛，總共有五本必修和三本選修書(shū)。在函數(shù)這一塊，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的是初等函數(shù)，包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得來(lái)的。而高等數(shù)學(xué)，我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要就是函數(shù)，所以高中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容學(xué)好了，就是大學(xué)高等數(shù)學(xué)學(xué)好的基礎(chǔ)。很多同學(xué)覺(jué)得高數(shù)不是很容易學(xué)進(jìn)去，實(shí)際上這個(gè)門(mén)檻就在于高中數(shù)學(xué)關(guān)于初等函數(shù)的基礎(chǔ)沒(méi)有打扎實(shí)，對(duì)初等函數(shù)的性質(zhì)沒(méi)有很熟悉，因此在一開(kāi)始學(xué)習(xí)和做題目就感到困難。

在此我們?cè)俅问煜じ咧袛?shù)學(xué)關(guān)于初等函數(shù)對(duì)于大學(xué)高數(shù)函數(shù)銜接的相關(guān)定義。對(duì)于冪函數(shù)，形如y=xa（a為有理數(shù)）的函數(shù)，在高等數(shù)學(xué)中，其a除了有理數(shù)還可以是任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。對(duì)于指數(shù)函數(shù)，形如y=ax（a[>0]，a[≠1]）的函數(shù)，應(yīng)用到e值時(shí)，為y=ex，這里的e是數(shù)學(xué)常數(shù)，近似等于2.718281828。對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，它的形式為y=logaX（a[>0]，且a[≠1]），與指數(shù)函數(shù)是互為反函數(shù)的關(guān)系。那么何為反函數(shù)呢？其定義是反函數(shù)X=f-1（y）的定義域、值域，分別是函數(shù)y=f（x）的值域、定義域。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是兩函數(shù)的值域和定義域互換，有不同的表達(dá)函數(shù)，具有可逆性。同時(shí)，我們所知的三角函數(shù)與反三角函數(shù)也是反函數(shù)的關(guān)系。對(duì)于三角函數(shù)，有正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tanx這三種常用三角函數(shù)，而到了大學(xué)，我們還需要學(xué)習(xí)正切函數(shù)y=tanx，余切函數(shù)y=cotx，正割函數(shù)y=secx和余割函數(shù)y=cscx。還有反三角函數(shù)的反正弦函數(shù)y=arcsinx、反余弦函數(shù)y=arccox（-1[≤x≤1]，0[≤y≤Π]）、反正切函數(shù)y=arctanx、反余切函數(shù)arccotx（-[∞≤x≤+∞]，0[≤y≤Π]）反正割函數(shù)y=arcsecx、反余割y=arccscx。這些函數(shù)在高中階段并沒(méi)有要求我們掌握，而大學(xué)高數(shù)課堂上老師也會(huì)因?yàn)檫@是高中內(nèi)容而不去講述。因此產(chǎn)生了知識(shí)空白，需要我們自己去自主補(bǔ)充學(xué)習(xí)，如果不去掌握，學(xué)習(xí)高數(shù)就開(kāi)始變得困難。而在高數(shù)課本同濟(jì)7版中，附屬頁(yè)面有詳細(xì)說(shuō)明其性質(zhì)，我們可以由此掌握。

在學(xué)習(xí)上，高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)是有很大的不同。高中數(shù)學(xué)主要講究的是對(duì)各類(lèi)題型的掌握和熟練，需要我們?nèi)ァ八㈩}”來(lái)“積累套路”，并且高中數(shù)學(xué)知識(shí)的概念是比較簡(jiǎn)單的，大多數(shù)都是淺嘗輒止。因?yàn)楸救耸俏目粕?，高中學(xué)的是文科數(shù)學(xué)，在內(nèi)容上比理科數(shù)學(xué)少了一些，相對(duì)來(lái)說(shuō)難度也低了一些。所以在學(xué)習(xí)方法上就是，通過(guò)記憶力記住公式，然后學(xué)會(huì)套用運(yùn)用解題。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是“題海戰(zhàn)術(shù)”。通過(guò)大量做題來(lái)達(dá)到熟練題型的目的，思維十分單一，這是應(yīng)試考試的學(xué)法。

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣對(duì)我們?cè)诖髮W(xué)學(xué)習(xí)高數(shù)也有影響。在高三階段時(shí)，文科生背誦方面的能力較好，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，有部分同學(xué)是有通過(guò)背題來(lái)掌握題類(lèi)的習(xí)慣。這種方式在基礎(chǔ)題方面有效，是因?yàn)榛A(chǔ)題的變通性較弱，并且題型比較固定，因此在背誦后，可以通過(guò)步驟拿分掌握相關(guān)類(lèi)型的題目。而在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，基礎(chǔ)題似乎只存于能直接使用相關(guān)公式解出的題，這種背誦題目的習(xí)慣在面對(duì)高數(shù)需要技巧性強(qiáng)或者思考難度較高的題目，就不適用了。通常來(lái)說(shuō)文科生的邏輯思維比理科生差，對(duì)公式的掌握和熟悉顯然是理科背景的同學(xué)更加老到，因此文科生在高數(shù)的學(xué)習(xí)中就比較受阻了。在此，我根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提出學(xué)習(xí)高數(shù)的方法供同為文科生的同學(xué)參考。我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候，看書(shū)、做題和思考是通用法則。而在看書(shū)這方面，不必苛求理解，可以利用我們背書(shū)的天賦，先熟悉公式，在心中對(duì)公式定理有個(gè)大概的印象。最后再去看公式是如何推導(dǎo)出來(lái)，了解公式的產(chǎn)生和證明，有益于我們做題時(shí)對(duì)公式能夠靈活的運(yùn)用。有句老話說(shuō)，“書(shū)讀百遍，其義自見(jiàn)”在此也適用。所以文科生的學(xué)法相對(duì)枯燥無(wú)味，但堅(jiān)持也是我們的韌性所在。

而到了大學(xué)階段，高等數(shù)學(xué)最主要也是最為核心的就是極限思想。如果我們沒(méi)有理解好極限思想，后面的學(xué)習(xí)也很難繼續(xù)展開(kāi)。所以要求我們改變死記硬背的習(xí)慣，要多思考為什么，學(xué)會(huì)提出問(wèn)題，我們才能更好的解決問(wèn)題。因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)是不斷深入和拓展的，而極限則是基本要求。并且知識(shí)概念都很抽象化，還有許多我們不熟悉的符號(hào)，很難去形象表達(dá)，需要我們?nèi)フJ(rèn)真思考和讀懂這些概念。最后，高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系就像一座金字塔，最下面是極限，然后環(huán)環(huán)相扣，后一章的內(nèi)容一般都會(huì)用到前一章的內(nèi)容。同時(shí)每一章的公式也是特別的多，定義定理等也是十分之多，需要我們記憶的內(nèi)容也就更多了。

我們?cè)趯W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時(shí)候，對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握，一般可以通過(guò)去弄通經(jīng)典例題，來(lái)深刻體會(huì)和掌握知識(shí)點(diǎn)。我在學(xué)習(xí)不定積分和定積分時(shí)，是先去讀通了它的概念表達(dá)了什么，首先是它們的關(guān)系是什么：定積分是一個(gè)數(shù)，而不定積分是一個(gè)表達(dá)式，它們不過(guò)是在數(shù)學(xué)邏輯上存在一個(gè)計(jì)算關(guān)系。不定積分其實(shí)就是一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的形式，然后它只給你這個(gè)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式子，我們需要通過(guò)這個(gè)式子，去求出原來(lái)的這個(gè)函數(shù)，因?yàn)橛性S多函數(shù)求導(dǎo)之后可能是相同的式子，比如3x+1和3x，他們求導(dǎo)后都是3，所以這個(gè)求導(dǎo)后的式子就是不定的，因?yàn)樗麄冎g差了常數(shù)，如果我們確定了這個(gè)常數(shù)，那么我們就可以確定了這個(gè)式子，那么這個(gè)式子就是定積分了。

我們?cè)谧鲱}的時(shí)候也要掌握好面對(duì)不定積分和定積分的方法。對(duì)于不定積分來(lái)說(shuō)，方法有直接積分法、第一換元積分法、第二換元積分法和分部積分法。直接積分法需要我們對(duì)積分表掌握熟悉才能使用。對(duì)于后面的方法，在這我舉例幾個(gè)例題來(lái)演示下如何運(yùn)用。

直接積分法的使用：舉個(gè)例題：[（1-1x2）][xxdx]，首先我們需要看這個(gè)式子能否直接運(yùn)用，不過(guò)我們看到?jīng)]有公式可以直接套用，這個(gè)時(shí)候我們就需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，把式子變形成[（x34-x-54）dx]，最后直接通過(guò)公式得出答案[47x74+4x14+c]。這個(gè)方法主要需要我們對(duì)式子的細(xì)心觀察和對(duì)公式要足夠熟悉。不然我們這個(gè)方法使用起來(lái)也是挺困難的。

第一換元積分法：其實(shí)這個(gè)方法就是湊微分法。如[f（x）dx]，我們要先湊成[g[φ（x）]φ'（x）dx]，然后令[φ（x）=u]，我們就可以得到[g（u）du]，然后求出G（u）+c，最后還原回來(lái)，就得到G[[φ（x）]]+C。舉個(gè)例子：[tanxcosxdx]。我們把tanx拆開(kāi)得到[sinxcosxcosxdx]，然后變成[-dcosxcosxcosx]，得到-[（cosx）-32dcosx]，最后求出答案是[2cosx+C]。我們做題的關(guān)鍵就是把例題本來(lái)的元素x，換成了元素cosx，這樣方便我們更迅速地去做題。湊成了cosx的微分，讓我們計(jì)算變得更加簡(jiǎn)便和輕松。

第二換元積分法的核心就是：設(shè)一個(gè)代換的元素，然后這個(gè)元素是可以單調(diào)可導(dǎo)的，并且這個(gè)元素的導(dǎo)數(shù)不能等于0.這個(gè)做法的關(guān)鍵就是我們要如何去選擇代換的元素，讓我們?nèi)グ蔁o(wú)理式的積分化成有理式的積分，通常我們是用于消去根號(hào)，然后使得我們的計(jì)算更簡(jiǎn)便。

分部積分法：這個(gè)方法的公式是[uv'dx=uv-u'vdx]。舉個(gè)例子：[x3exdx]。我們先變形成[x3dex]，再利用公式得出[x3ex-3x2dex]，然后再對(duì)后者用一次公式等到[x3ex-3x2ex+6xdex]，最后得到答案是[x3ex-3x2ex+6xex-6ex+C]。這個(gè)方法就是如何確定u和v'，當(dāng)我們確定好了v'是[ex]，就可以更加方便地得出答案，因?yàn)閇ex]的導(dǎo)數(shù)就是它本身，對(duì)于我們計(jì)算更加簡(jiǎn)單，所以選取它。我們計(jì)算定積分的時(shí)候，首先我們需要明白牛頓-萊布尼茲公式，是告訴我們一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間ab上的定積分，是等于它任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間上的增量。公式為[abf（x）dx=F（b）-F（a）=F（x）ab]。在此舉個(gè)例題，[0Π2（2cosx+sinx-1）dx]，通過(guò)積分表可以得到2[sinxΠ2][0-cosx][Π2][0-xΠ2][0]，再根據(jù)其公式的意思，分別把上下限的數(shù)值代入相應(yīng)的函數(shù)相減，再把三個(gè)函數(shù)結(jié)果值相加，得到3-[Π2]。這就是公式的基本思想和應(yīng)用。不過(guò)定積分也是經(jīng)常用到換元積分法和分部積分法，對(duì)于換元積分法，首先要理解定積分的換元公式要滿足的條件，需要f（x）函數(shù)在區(qū)間ab內(nèi)可連續(xù)，換元后的函數(shù)在區(qū)間αβ上是單值的和有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，所以公式為[ba（x）dx=αβf[φ（t）]φ'（t）dt]。在此舉個(gè)例題，[0Π2cos5xsinxdx]，首先我們觀察例題發(fā)現(xiàn)，cosx是高次，因?yàn)槲覀冃枰鼡Qcosx，減少?gòu)?fù)合函數(shù)的運(yùn)算量，所以有令t=cosx，那么dt=-sinxdx，又由定積分的上下限分別推出x=[Π2][?]t=0，x=0[?]t=1。那么原式=-[10t5dt=t6610=16]，這里由于前面有個(gè)負(fù)號(hào)，因此積分上下限調(diào)換過(guò)來(lái)抵消掉。在此我們需要注意到一個(gè)容易錯(cuò)漏的地方，在換成新自變量t的時(shí)候，我們需要把積分的上下限也相應(yīng)的做出改變。同時(shí)，定積分不需要像不定積分一樣變換為原來(lái)自變量x的函數(shù)，只用在新變量下，帶入原來(lái)表示t的函數(shù)的式子進(jìn)行積分上下限的相減就行了。定積分的分部積分法則和不定積分一樣計(jì)算。公式為[abudv=[uv]ba-abvdu]。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例題，[012arcsinxdx]。令u=arcsinx，則du=[dx1-x2];dv=x，則v=x。依照公式得出式子[[xarcsinx]12][0-012xdx1-x2]對(duì)于后一個(gè)式子變形得到[01211-x2d（1-x2）]。最后上下限代入整個(gè)式子運(yùn)算得到答案為[Π2+32-1]。我們要學(xué)會(huì)運(yùn)用這兩種方法來(lái)解決這兩種積分，這可以幫助我們更有效積累做題的經(jīng)驗(yàn)。不定積分和定積分是我們攀登高數(shù)山峰途中遇到的第一道門(mén)檻，只要我們?cè)诳邕^(guò)這道門(mén)檻后，我們就會(huì)擁有信心，迎接接下來(lái)章節(jié)的挑戰(zhàn)，而在這其中學(xué)習(xí)到的方法，會(huì)使我們后續(xù)章節(jié)學(xué)起來(lái)也會(huì)游刃有余。

最后對(duì)于我們?cè)诖髮W(xué)如何更好的學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，從我的經(jīng)驗(yàn)看來(lái)，其實(shí)上課這個(gè)時(shí)間段必須利用好，不能覺(jué)得老師講的太簡(jiǎn)單就不用心聽(tīng)課，然后下來(lái)自己突擊一兩章也能考好，這會(huì)是個(gè)留有后患的問(wèn)題——你需要培養(yǎng)自己盡快適應(yīng)不同老師講課的能力，不能沉浸在之前高中時(shí)候數(shù)學(xué)老師督促我們學(xué)習(xí)的狀態(tài)。我們?cè)谝咔槠陂g一天的大多數(shù)時(shí)間都是上網(wǎng)課，好好利用起來(lái)上課的時(shí)間，不管能聽(tīng)懂多少都要盡量跟下來(lái)，不能覺(jué)得自己只要下課補(bǔ)回課堂知識(shí)就行了。然后就是老師上課讓做的例題，要去仔細(xì)思考和做題，老師讓我們?nèi)プ龅念}目都是這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的經(jīng)典運(yùn)用，我們想學(xué)習(xí)一個(gè)新東西和要想掌握新東西，最好的方法就是去用它。所以老師當(dāng)堂布置的題一定要抓住機(jī)會(huì)去練，最后嘗試用自己的語(yǔ)言去翻譯它，我們的知識(shí)點(diǎn)就會(huì)更加掌握?？梢哉覚C(jī)會(huì)教別人，教別人做題也是在鞏固自身所學(xué)的知識(shí)。只有打好基礎(chǔ)，我們學(xué)習(xí)高數(shù)才會(huì)比較輕松和有效。也可以為以后考研打下基礎(chǔ)。其實(shí)如果我們現(xiàn)在有同學(xué)沒(méi)有認(rèn)真聽(tīng)課的話，想追上來(lái)，就會(huì)是一個(gè)苦功夫了。所以有效學(xué)習(xí)高數(shù)應(yīng)該做好的心理準(zhǔn)備是，不蛻一層皮是學(xué)不好的。但是日積月累的作用是令人震撼的。只有靜心去學(xué)習(xí)高數(shù)和向別人求助，堅(jiān)持和努力我們才能有效學(xué)習(xí)好高數(shù)。

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