立足數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 發(fā)展理性思維
——以“三角形內(nèi)角和定理（第1 課時(shí)）”為例

林運(yùn)來(lái)

（廈門(mén)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)，福建 漳州 363123）

一、內(nèi)容及解析

（一）內(nèi)容

本節(jié)課選自北師大版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第七章第5 節(jié)“三角形內(nèi)角和定理”（第1 課時(shí)），主要內(nèi)容為探索并證明三角形內(nèi)角和定理，以及應(yīng)用該定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

（二）內(nèi)容解析

三角形是初中數(shù)學(xué)研究的重要幾何圖形之一，也是學(xué)生深入、系統(tǒng)研究的第一個(gè)幾何圖形.三角形作為最簡(jiǎn)單的封閉圖形，是研究幾何的重要基礎(chǔ)［1］，本節(jié)課作為“三角形內(nèi)角和定理”的第一節(jié)課，具有承前啟后的作用.教學(xué)中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧探究與驗(yàn)證“三角形內(nèi)角和等于”的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，立足學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲取證明思路，鼓勵(lì)學(xué)生尋求多樣的證明方法，并在多樣的證明方法中感受其共性.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，將深化學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到說(shuō)話辦事要有根有據(jù)，體會(huì)到證明活動(dòng)是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，對(duì)于觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到的結(jié)論一定要給予證明，從而提升思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)三角形內(nèi)角和定理證明的必要性的認(rèn)識(shí)和理解；證明三角形的內(nèi)角和定理，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明方法.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（1）經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理的探索與證明過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展推理能力.

（2）證明三角形內(nèi)角和定理，并會(huì)應(yīng)用該定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

（3）在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)思維能力.

（4）初步掌握證明的規(guī)范性，逐步養(yǎng)成步步有據(jù)的習(xí)慣，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生在生活中廣泛接觸過(guò)三角形及其應(yīng)用，具備一定的生活經(jīng)驗(yàn).在小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“三角形的內(nèi)角和等于180°”，七年級(jí)學(xué)生又通過(guò)活動(dòng)再次驗(yàn)證了這一結(jié)論，具備一定的知識(shí)基礎(chǔ).上述學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生掌握了一定的方法基礎(chǔ).但學(xué)生對(duì)于證明意義的理解和證明過(guò)程中格式的規(guī)范性尚未掌握，對(duì)“理性思維”的認(rèn)識(shí)有待提升.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，在積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程中不斷得到發(fā)展.”［2］在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生把握每個(gè)環(huán)節(jié)的探索任務(wù)，利用數(shù)學(xué)工具動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考，積極參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從感性到理性掌握數(shù)學(xué)命題，不斷提升實(shí)踐能力.

四、教學(xué)媒體設(shè)計(jì)

通過(guò)黑板板書(shū)知識(shí)框架和研究思路，“使學(xué)生更好地把握教學(xué)內(nèi)容的脈絡(luò)”；通過(guò)PPT 展示課件內(nèi)容；通過(guò)屏幕展示學(xué)生的學(xué)生成果；利用三角形紙片、三角板、量角器等教具展示有關(guān)結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)過(guò)程.

五、教學(xué)過(guò)程

（一）溫故知新，樹(shù)立證明意識(shí)

教師活動(dòng)：（PPT 展示）費(fèi)馬的失誤

形如22n+1（n為自然數(shù)）的數(shù)稱為費(fèi)馬數(shù)，簡(jiǎn)記為Fn.1640 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬根據(jù)F0=3，F(xiàn)1=5，F(xiàn)2=17，F(xiàn)3=257，F(xiàn)4=65537 都是質(zhì)數(shù)做出猜想：對(duì)于所有的自然n，F(xiàn)n均為質(zhì)數(shù).

直到1732 年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉指出F5=641×6700417 不是質(zhì)數(shù)，從而否定了費(fèi)馬的猜想.

問(wèn)題1：從中你能得到什么啟示？

生：通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到的結(jié)論可能正確，也可能不正確.

師：是的，歸納推理和演繹推理都是數(shù)學(xué)研究的有效工具.但是，基于簡(jiǎn)單操作生成的結(jié)論未必可靠，需要嚴(yán)格推理論證后方可推廣使用.［3］

［設(shè)計(jì)意圖］引領(lǐng)學(xué)生回顧舊知，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊，喚醒學(xué)生對(duì)證明必要性的感受和證明意識(shí)的建立，幫助學(xué)生形成反思質(zhì)疑等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探索幾何結(jié)論

教師活動(dòng)：在黑板上作出△ABC.

問(wèn)題2：大家說(shuō)一說(shuō)學(xué)過(guò)的三角形的相關(guān)知識(shí).

生1：△ABC有三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，三條邊AB，BC，CA，三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C.

生2：AB+BC>AC，AB+AC>BC，BC+CA>BA.

生3：三角形的內(nèi)角和等于180°，也就是∠A+∠B+∠C=180°.

師（追問(wèn)）：事實(shí)上，我們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°.你還記得我們是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的？

生3：通過(guò)度量或剪拼的方法得出這一結(jié)論的.

［設(shè)計(jì)意圖］通過(guò)追問(wèn)，引出“度量或剪拼”的探索方法，喚醒學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

實(shí)驗(yàn)1：我們手上有一副三角板（如下圖），用量角器測(cè)量每個(gè)三角板的三個(gè)角的大小，并計(jì)算它們的和.

學(xué)生活動(dòng)：按要求用量角器測(cè)量三角形的三個(gè)角的角度，然后把三個(gè)角度加起來(lái).

實(shí)驗(yàn)2：在準(zhǔn)備好的三角形紙片頂點(diǎn)處標(biāo)上字母A，B，C，將三角形紙片的∠B和∠C剪下來(lái)，分別與∠A拼合在一起（頂點(diǎn)重合，三個(gè)角不重疊）.

學(xué)生活動(dòng)：按要求進(jìn)行剪拼，并將剪拼結(jié)果貼到黑板上，如圖1、圖2 所示.

師（追問(wèn)）：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：在圖1、圖2 中，可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)角合起來(lái)形成一個(gè)平角.

師：另取一張三角形紙片，與實(shí)驗(yàn)2 一樣進(jìn)行標(biāo)注，剪下∠C，將其與∠A（或∠B）拼合在一起，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生按要求活動(dòng)，教師不急于做出判斷，而是引導(dǎo)學(xué)生探索不同的拼合方法，并從中找出能用前面所學(xué)知識(shí)證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的拼圖，將其貼在黑板上，如圖3 所示.

［設(shè)計(jì)意圖］借助工具讓學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考，自主探索數(shù)學(xué)知識(shí)，從而經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，“讓思維可見(jiàn)”.同時(shí)通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性［2］.

（三）內(nèi)化知識(shí)，創(chuàng)設(shè)推理情境

師：上面我們經(jīng)過(guò)測(cè)量和剪拼實(shí)驗(yàn)后，大家得出了共同的結(jié)論：三角形的內(nèi)角和等于180°.但是，形狀不同的三角形有無(wú)窮多種，我們才測(cè)量了幾個(gè)三角形，才剪拼了幾種三角形，而僅僅通過(guò)測(cè)量和剪拼了全體三角形中的極小極小的一部分，何況“測(cè)量常常有誤差”“剪拼后觀察不一定細(xì)致”，這就會(huì)導(dǎo)致得出的結(jié)論不一定正確，不能完全讓人信服.因此，要確定對(duì)所有的三角形而言，它的內(nèi)角和一定是180°，我們?cè)趺崔k呢？

生5：需要證明這個(gè)結(jié)論.

師：很好！在幾何學(xué)里，只有從公理和定義出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理而證明了的命題，才被認(rèn)為是真理.歸納推理被趕出了幾何的花園.［4］

師（繼續(xù)）：雖然測(cè)量、實(shí)驗(yàn)所產(chǎn)生的“結(jié)論”不一定正確，但它是我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式、定理的重要途徑，有時(shí)也能為我們證明結(jié)論提供方法指引.

問(wèn)題3：回顧上面的實(shí)驗(yàn)2，說(shuō)說(shuō)實(shí)驗(yàn)中剪拼角的目的是什么？從中能得到什么樣的啟發(fā)呢？

生6：圖1 中，剪拼的過(guò)程，相當(dāng)于將∠B，∠C都移到∠A處，圖2 和圖3 也有同樣的效果.證明時(shí)，我們可以通過(guò)作平行線，實(shí)現(xiàn)這種平移效果.

問(wèn)題4：大家觀察圖1、圖2 和圖3，在這三幅圖中，是否存在一條與△ABC的邊BC平行的直線？

師生活動(dòng)：學(xué)生認(rèn)真觀察并分析，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)的拼圖結(jié)果進(jìn)行抽象，得到圖4、圖5 和圖6.

［設(shè)計(jì)意圖］引導(dǎo)學(xué)生回顧探索與驗(yàn)證過(guò)程，歸納實(shí)驗(yàn)成果，從中獲取證明的思路，為證明結(jié)論做好鋪墊.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)成果進(jìn)行抽象，創(chuàng)設(shè)推理情境，“讓思維可見(jiàn)”，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，達(dá)到優(yōu)化解題的目的，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

（四）教師示范，注重答題規(guī)范

例1 已知：如圖7，△ABC.

求證：∠A+∠B+∠C=180°.

教師活動(dòng)：與學(xué)生交流圖4 中輔助線的作法，并結(jié)合圖形向?qū)W生“示范”推理過(guò)程.

證明：如圖4，過(guò)點(diǎn)A作直線l，使l∥BC，則∠B=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠C=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

因?yàn)椤?+∠2+∠3=180°（平角的定義），

所以∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）.

［設(shè)計(jì)意圖］教師條理清晰地板書(shū)推理論證過(guò)程，以便學(xué)生“臨摹”與“借鑒”，這樣學(xué)生在遇到陌生的問(wèn)題和領(lǐng)域時(shí)，就有章可循，有法可依.

問(wèn)題5：你還能根據(jù)圖5 或圖6，用其他方法證明三角形內(nèi)角和定理嗎？

教師活動(dòng)：利用投影展示學(xué)生的推理過(guò)程.

生7：如圖5，延長(zhǎng)BA，過(guò)點(diǎn)A作直線l∥BC，則

∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），

∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

因?yàn)椤?+∠2+∠3=180°（平角的定義），

所以∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）.

生8：如圖6，過(guò)點(diǎn)A作直線l∥BC，則

∠1=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∠1+∠2+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

所以∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）.

師：上面我們用幾種不同的方法證明了“三角形的內(nèi)角和等于180°”，這就是三角形內(nèi)角和定理.

［設(shè)計(jì)意圖］鼓勵(lì)學(xué)生尋求多樣的證明方法，有助于激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，達(dá)到舉一反三的效果.在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提升解決問(wèn)題的能力.［5］在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，教師要求學(xué)生寫(xiě)出嚴(yán)格的證明過(guò)程，最后進(jìn)行展示、交流、評(píng)析，矯正學(xué)生的典型錯(cuò)誤.

問(wèn)題6：上面的幾種證明方法可謂“殊途同歸”，都圓滿地證明了三角形內(nèi)角和定理，你能說(shuō)說(shuō)這幾種證明方法有什么共同的特點(diǎn)嗎？

生9：通過(guò)作平行線，利用平行線的性質(zhì)，將部分角移到適當(dāng)?shù)奈恢茫狗稚⒌娜齻€(gè)角相對(duì)集中，從而解決問(wèn)題.

［設(shè)計(jì)意圖］引導(dǎo)學(xué)生比較不同的解法，同時(shí)在多樣的證明方法中感受共性：利用輔助線，實(shí)施平移變換，將分散的要素集中起來(lái).

（五）運(yùn)用新知，解決簡(jiǎn)單問(wèn)題

例2 如圖8，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).

解：在△ANC中，

∠B+∠C+∠ABC=180°（三角形內(nèi)角和定理）.

因 為∠B=38°，∠C=62°（已知），

所 以∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性質(zhì)）.

因?yàn)锳D平分∠BAC（已知），所以∠BAD=∠CAD=∠BAC=40（°角平分線的定義）.

在△ADB中，

∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三 角 形 內(nèi) 角 和 定理）.

所 以∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-38°-40°=102°（等式的性質(zhì)）.

師生活動(dòng)：教師講解例1，學(xué)生獨(dú)立完成例2 以及教材179 頁(yè)“隨堂練習(xí)”1、2、3 題，教師提問(wèn)學(xué)生并及時(shí)評(píng)價(jià).

（六）反思小結(jié)，提升學(xué)科素養(yǎng)

問(wèn)題7：請(qǐng)同學(xué)們想一想：

（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)內(nèi)容？

（2）你認(rèn)為證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”有什么意義？

（3）在應(yīng)用“三角形的內(nèi)角和等于180°”這一結(jié)論解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意些什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生短暫梳理，小組代表發(fā)言，教師總結(jié).

［設(shè)計(jì)意圖］該環(huán)節(jié)既有學(xué)生的分享交流，又有教師的總結(jié)提煉，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)和方法兩個(gè)層面關(guān)注本節(jié)課的收獲，為后繼學(xué)習(xí)做鋪墊.

（七）設(shè)計(jì)板書(shū)，突出研究思路

本節(jié)課的板書(shū)如圖9 所示.

圖9

六、教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)

（一）檢測(cè)形式：課后作業(yè).

（二）檢測(cè)內(nèi)容：

1.△ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B______.

2.在一個(gè)三角形中最多有幾個(gè)鈍角？為什么？

3.△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°.求△ABC的各內(nèi)角的度數(shù).

4.如 圖10，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=65°，求∠F的度數(shù).

七、教學(xué)反思

（一）創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考

合適的問(wèn)題情境有助于引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供了真實(shí)的表現(xiàn)機(jī)會(huì).［6］本節(jié)課的多個(gè)環(huán)節(jié)，教師非常重視學(xué)生的主體地位，精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，如引導(dǎo)學(xué)生從“費(fèi)馬的失誤”的故事中認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)需要證明，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活中的其他事物，也應(yīng)養(yǎng)成追究其緣由、問(wèn)個(gè)為什么的習(xí)慣；再如，引導(dǎo)學(xué)生由剪拼實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)推理情境，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)等.通過(guò)在數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生發(fā)展的關(guān)節(jié)點(diǎn)上創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，不僅能啟發(fā)學(xué)生思考，更關(guān)鍵的是能夠引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，真正讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)活動(dòng)的主角.

（二）重視證明的規(guī)范性，發(fā)展學(xué)生推理能力

“教育就是培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣”，學(xué)生推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中.本節(jié)課的教學(xué)中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧探索“三角形內(nèi)角和等于”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，感悟合情推理是數(shù)學(xué)研究的有效工具；其次，引導(dǎo)學(xué)生立足數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、借助圖形直觀地探索證明思路，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)結(jié)論到驗(yàn)證結(jié)論的過(guò)程；再次，借助規(guī)范的板書(shū)進(jìn)行示范，做到步步有據(jù)，在這個(gè)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考、感悟理性精神；最后，引導(dǎo)學(xué)生探索證明結(jié)論的不同思路和方法，解決問(wèn)題，獲得成就感，增強(qiáng)自信心，發(fā)展思維的廣闊性和靈活性.這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，既掌握了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又獲得了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

密立根說(shuō)過(guò)：“科學(xué)靠?jī)蓷l腿走路，一是理論，一是實(shí)驗(yàn)，有時(shí)一條腿走在前面，有時(shí)另一條腿走在前面，但只有使用兩條腿，才能前進(jìn).”在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，立足基礎(chǔ)，突出實(shí)驗(yàn)操作，可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并探尋解決之道.要放手讓學(xué)生去探究，變結(jié)果性知識(shí)為過(guò)程性知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的信息獲取能力、分析論證能力和問(wèn)題解決能力，樹(shù)立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，引領(lǐng)學(xué)生從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，最終促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.