基于模式觀的“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”教學(xué)設(shè)計(jì)

鐘志華 唐悅 凌皓嵐

[摘 ?要] 隨著人們對數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的不斷深化，“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)”這一觀點(diǎn)已經(jīng)逐漸成為數(shù)學(xué)界的共識(shí).因此，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該緊緊立足模式的觀點(diǎn)，這不僅有利于深化對數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，而且有利于構(gòu)建充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)理論.本設(shè)計(jì)以案例的形式揭示了基于模式觀的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)一般需要經(jīng)歷：創(chuàng)設(shè)情境，識(shí)別特征;解構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)猜想;驗(yàn)證猜想，建構(gòu)模式;轉(zhuǎn)換模式，深度發(fā)現(xiàn);歸納發(fā)現(xiàn)，精制模式等過程.

[關(guān)鍵詞] 模式觀;數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì);等比數(shù)列求和

自20世紀(jì)30年代著名哲學(xué)家A.N.懷特海提出模式論的數(shù)學(xué)觀以來，“數(shù)學(xué)是一門研究模式的科學(xué)”這一觀點(diǎn)已經(jīng)逐漸成為數(shù)學(xué)界的共識(shí)，美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩明確提出，數(shù)學(xué)是模式的科學(xué).數(shù)學(xué)就是運(yùn)用這些模式對于適用的自然現(xiàn)象進(jìn)行描述、解釋和預(yù)言.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出，數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)尋求盡可能簡單、普遍適用的模式來解決認(rèn)識(shí)自然、發(fā)展社會(huì)以及數(shù)學(xué)自身世界的各種問題[1]. 不僅如此，模式觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中也發(fā)揮著越來越重要的指導(dǎo)作用.美國著名數(shù)學(xué)家波利亞從數(shù)學(xué)問題解決角度對模式觀進(jìn)行了深入研究，提出了問題解決的一般模式——“解題表”及問題解決的四種基本模式：雙軌跡模式、笛卡爾模式、遞歸模式和疊加模式;而美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩通過研究歸納出了模式的六項(xiàng)重要作用并認(rèn)為，“基于模式的數(shù)學(xué)課程”可以整合“注重基本能力”和“問題解決”這兩種學(xué)習(xí)方式的優(yōu)點(diǎn)，可以在夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)給學(xué)生以高層次思考技巧的挑戰(zhàn);美國戴爾等人的一項(xiàng)研究也實(shí)證：1200名低成就水平中學(xué)生在實(shí)行了“基于模式的數(shù)學(xué)課程”后表現(xiàn)水平出現(xiàn)顯著進(jìn)步，參與教學(xué)的32位教師一致認(rèn)為，這種課程是喚起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣最有效的方式[2]. 我國著名數(shù)學(xué)家徐利治先生和鄭毓信先生則進(jìn)一步提出，數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)基本目標(biāo)就在于幫助學(xué)生逐步建立與發(fā)展分析模式、應(yīng)用模式、建構(gòu)模式與鑒賞模式的能力.

綜上，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上就是建立數(shù)學(xué)模式的過程”這一觀點(diǎn)不僅已逐漸成為學(xué)界共識(shí)，而且也在實(shí)際教學(xué)中得到很好的踐行. 本文嘗試?yán)媚Ｊ接^指導(dǎo)“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)設(shè)計(jì).

[?] 教材地位與作用分析

等比數(shù)列是繼等差數(shù)列之后學(xué)習(xí)的又一類重要數(shù)列，作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，等比數(shù)列在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有非常廣泛的應(yīng)用，比如許多數(shù)列的求和最終都要轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題;同時(shí)，等比數(shù)列還為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定了重要的知識(shí)基礎(chǔ)，如冪級數(shù)從本質(zhì)上可以看作是等比數(shù)列的求和問題;另外，等比數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中也具有非常廣泛的應(yīng)用，諸如儲(chǔ)蓄、分期付款等問題研究的就是等比數(shù)列模型.

從等比數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)過程看，不僅滲透了類比、從特殊到一般、先猜后證等重要思想方法，而且還用到“錯(cuò)位相減”這一重要解題方法，這些方法不僅對進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特別是數(shù)學(xué)問題的求解具有重要指導(dǎo)意義，而且對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成也具有深遠(yuǎn)的影響.

分析依據(jù)：從模式觀點(diǎn)看，教材地位分析主要研究新建模式與學(xué)生哪些已有模式或后續(xù)模式之間有聯(lián)系？有何聯(lián)系？這不僅為學(xué)情分析提供依據(jù)，而且為教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點(diǎn)的確定指明方向，同時(shí)還可以為教學(xué)方法的選擇和教學(xué)過程的設(shè)計(jì)提供指導(dǎo). 比如，如果認(rèn)識(shí)到等比數(shù)列與等差數(shù)列之間具有并列關(guān)系，就有可能通過類比等差數(shù)列來引入等比數(shù)列;而如果以學(xué)生學(xué)過的特殊等比數(shù)列作為出發(fā)點(diǎn)，則適宜采用從特殊到一般的研究方法.

[?] 學(xué)情分析

學(xué)生雖然在此之前剛剛學(xué)過等差數(shù)列的求和公式，但是由于等比數(shù)列求和方法與等差數(shù)列之間很難直接通過類比得到，因此，在分析學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)時(shí)還需要考慮有沒有其他更為合適的切入點(diǎn). 考慮到學(xué)生之前有特殊等比數(shù)列（如公比為2的等比數(shù)列）的求和經(jīng)驗(yàn)，可以嘗試對學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行開發(fā)并采用從特殊到一般的方法來探索一般等比數(shù)列的求和方法. 雖然公比為2的等比數(shù)列求和方法無法直接遷移到一般等比數(shù)列，但由該方法可以想到要“將等比數(shù)列前n項(xiàng)的求和問題轉(zhuǎn)化為求該數(shù)列的第n+1項(xiàng)”，這可以為問題的順利解決指明前進(jìn)方向.

分析依據(jù)：學(xué)情分析包括學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)所具有的知識(shí)基礎(chǔ)、學(xué)生的思維特點(diǎn)、學(xué)習(xí)特點(diǎn)、心理特點(diǎn)和生理特點(diǎn)等.知識(shí)基礎(chǔ)重在準(zhǔn)確把握學(xué)習(xí)新知識(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)，從模式的觀點(diǎn)看，就是要了解學(xué)生頭腦中是否真正具有構(gòu)建新模式的舊模式（固著點(diǎn)）;學(xué)習(xí)特點(diǎn)主要了解學(xué)生通常采用哪些學(xué)習(xí)方法，這些方法是否適應(yīng)新知識(shí)的學(xué)習(xí)等，從模式的觀點(diǎn)來看，就是要了解學(xué)生是否掌握了建構(gòu)新模式的方法，如是否掌握了從特殊到一般、歸納與類比等方法;心理特點(diǎn)主要是了解學(xué)生是否具有探索并建構(gòu)新模式的心向（奧蘇貝爾語）.

[?] 教學(xué)目標(biāo)

1. 理解等比數(shù)列的求和公式，能運(yùn)用公式解決簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題;

2. 經(jīng)歷等比數(shù)列前n項(xiàng)和的探究過程，體會(huì)歸納與類比、從特殊到一般、先猜后證等數(shù)學(xué)思想方法，領(lǐng)會(huì)“錯(cuò)位相減法”的基本原理，能結(jié)合等比數(shù)列的定義對其他推導(dǎo)方法進(jìn)行適當(dāng)探索;

3. 在等比數(shù)列求和公式的學(xué)習(xí)過程中感受模式觀點(diǎn)，在分享歷史上相關(guān)研究成果的同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)文化的博大精深，激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣和積極性.

分析依據(jù)：從模式的觀點(diǎn)看，教學(xué)目標(biāo)就是要建立數(shù)學(xué)模式.但數(shù)學(xué)模式不是“空中花園”，它需要建立在已有模式基礎(chǔ)上. 因此，在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)時(shí)不僅要根據(jù)學(xué)生頭腦中的已有模式來探索所能建構(gòu)的模式（維果斯基將其稱為最近發(fā)展區(qū)），同時(shí)還需對所要建構(gòu)的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行任務(wù)分析以確定數(shù)學(xué)模式的建構(gòu)路徑. 就本節(jié)課而言，由于學(xué)生過去已有公比為2這一特殊等比數(shù)列的求和經(jīng)驗(yàn)，只要教師適當(dāng)加以啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生不難從公比為3、4、5…等特殊等比數(shù)列求和過程中歸納出等比數(shù)列的求和公式與求和方法，因此確定目標(biāo)2對學(xué)生應(yīng)該是合理的.至于為什么確定目標(biāo)3，這一方面是為了充分體現(xiàn)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)建?！边@一核心素養(yǎng);另一方面則考慮到等比數(shù)列求和公式的歷史素材比較豐富，對這些素材進(jìn)行深度開發(fā)可以充分體現(xiàn)因材施教的教學(xué)原則.

[?] 教學(xué)重難點(diǎn)

1. 教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)及錯(cuò)位相減法的理解.

2. 教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)及錯(cuò)位相減法的析出.

分析依據(jù)：美國心理學(xué)家約翰·D·布蘭斯福特研究發(fā)現(xiàn)，專家的知識(shí)不僅僅是對相關(guān)領(lǐng)域的事實(shí)和公式的羅列，相反它是圍繞核心概念或“大觀點(diǎn)”組織的，這些概念和觀點(diǎn)引導(dǎo)他們?nèi)ニ伎甲约旱念I(lǐng)域[3]. 這里的核心概念或大觀點(diǎn)實(shí)際上就是人們通常所說的重點(diǎn)知識(shí).由于等比數(shù)列求和公式不僅在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有非常重要的作用，而且在生產(chǎn)實(shí)際中也具有非常廣泛的運(yùn)用，同時(shí)公式的發(fā)現(xiàn)過程中涉及歸納與類比、從特殊到一般、先猜后證等諸多數(shù)學(xué)思想方法（“大觀點(diǎn)”），這些思想方法的運(yùn)用不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，而且可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此將等比數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)作為教學(xué)重點(diǎn);而之所以將錯(cuò)位相減法作為教學(xué)重點(diǎn)是因?yàn)樗谠S多數(shù)列的求和中十分常用.

而將等比數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)及錯(cuò)位相減法的析出作為教學(xué)難點(diǎn)是因?yàn)樵谔剿鬟^程中不僅需要對公比為3、4、5…等多個(gè)特殊等比數(shù)列之和進(jìn)行觀察、歸納、猜想，而且需要運(yùn)用歸納與類比、從特殊到一般、先猜后證等諸多數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)還需要教師適時(shí)、適度地啟發(fā)引導(dǎo).

[?] 教法與學(xué)法

1. 本節(jié)課主要采用問題解決教學(xué)法.

分析依據(jù)：問題解決教學(xué)是教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將“問題情境—建構(gòu)模式—問題解決與反思”作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)的基本形式[4]. 而從模式觀點(diǎn)看，就是要讓學(xué)生充分經(jīng)歷“問題情境”“模式解構(gòu)”“模式建構(gòu)”“問題解決”“模式精制”“模式應(yīng)用”等一系列過程來解決問題，同時(shí)在解決問題的過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)模式、掌握科學(xué)研究的一般方法、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本節(jié)課中無論是公式的發(fā)現(xiàn)與證明，還是“錯(cuò)位相減法”的產(chǎn)生都應(yīng)該讓學(xué)生在充分探索的基礎(chǔ)上自然而然地產(chǎn)生出來，而不應(yīng)該由教師強(qiáng)加給學(xué)生.要實(shí)現(xiàn)以上目標(biāo)，需要教師在精心設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上由淺入深地構(gòu)建“問題串”來啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生去探索、去發(fā)現(xiàn).

2. 本節(jié)課的學(xué)法主要采用自主探究與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方式.

[?] 教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，識(shí)別特征

國際象棋起源于古代印度，相傳國王要獎(jiǎng)勵(lì)國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子放上2顆麥粒，第3個(gè)格子放上4顆麥粒，以此類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子. 請給我足夠麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.請大家思考一下，這64個(gè)格子上到底應(yīng)放多少粒麥子？

設(shè)計(jì)意圖：情境創(chuàng)設(shè)不僅是為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，而且還要能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考并進(jìn)而提出數(shù)學(xué)問題，同時(shí)情境還需要為新知識(shí)的學(xué)習(xí)提供認(rèn)知起點(diǎn)，并能有效促進(jìn)新知識(shí)的生長. 等比數(shù)列求和公式的學(xué)習(xí)既可以類比等差數(shù)列求和公式來引入，也可以借助學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)生活化的教學(xué)情境. 雖然類比等差數(shù)列求和公式時(shí)問題的提出比較自然，但由于兩者的推導(dǎo)方法有本質(zhì)的不同，因此沒有采用;雖然學(xué)生對某些生活情境比較熟悉，比如可以從學(xué)生熟知的利率、人口增長等問題來引入，但由于這類問題的公比太過復(fù)雜，不利于充分暴露等比數(shù)列的本質(zhì)屬性，也不宜采用. 本設(shè)計(jì)之所以采用大家熟知的“麥粒問題”，一方面是因?yàn)檫@個(gè)問題本身非常有趣，另一方面最主要的是可以為學(xué)生探究等比數(shù)列的求和公式找到一個(gè)很好的“踏腳石”，即可以從q=2這一特例開始通過不斷推廣循序漸進(jìn)地推出一般等比數(shù)列的求和公式.

很不錯(cuò).大家能非常迅速地解出這個(gè)問題. 從這個(gè)問題的解決過程中大家能不能有什么新的發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)問題的求解對高中學(xué)生來說應(yīng)該不會(huì)存在太大困難，事實(shí)上，有許多學(xué)生在小學(xué)階段就知道可以通過加“1”再減“1”的方法來進(jìn)行求和.但僅僅滿足于求解這一問題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師應(yīng)該進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過深度思考對這個(gè)問題及其背后的解法進(jìn)行深度開發(fā)，讓這個(gè)“老”問題煥發(fā)出新生機(jī).比如，可以讓學(xué)生由這一問題進(jìn)一步思考“這是什么問題？”“如何求更一般的等比數(shù)列的和？”“為什么要加‘1’再減‘1’？”“這種方法有沒有推廣價(jià)值？”等問題，從而自然而然地引出“如何得到等比數(shù)列的求和公式”這一課題.

2. 解構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)猜想

剛才很多同學(xué)都想到了要研究等比數(shù)列的求和公式，看來大家很善于舉一反三.那下面我們就來進(jìn)一步研究一般等比數(shù)列的求和公式，為了簡化問題，我們假設(shè)首項(xiàng)a=1，公比為q（q≠1）（下文中除非特別說明，一般都假定q≠1），則等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和可以表示為S=1+q+q2+…+qn-1. 對于這一問題同學(xué)們有沒有什么想法？

設(shè)計(jì)意圖：對于這一問題，學(xué)生比較容易想到的可能是與等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法進(jìn)行類比，有這種想法非常正常，教師不應(yīng)抑制學(xué)生的思維，可以讓學(xué)生先嘗試一下，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“此路不通”以后自然會(huì)另辟蹊徑;也有學(xué)生可能會(huì)想到與“麥粒問題”進(jìn)行聯(lián)系（因?yàn)槔蠋焺倓傊v過這個(gè)問題）;還有學(xué)生可能會(huì)一籌莫展……. 如果學(xué)生能夠想到與“麥粒問題”進(jìn)行聯(lián)系，那固然很好;如果學(xué)生沒有想法，教師可以通過適當(dāng)啟發(fā)將學(xué)生的思維導(dǎo)向“麥粒問題”.

追問：剛才有同學(xué)想到將等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和S=1+q+q2+…+qn-1與“麥粒問題”進(jìn)行聯(lián)系，這個(gè)想法很有意思.那怎么利用求解“麥粒問題”的方法來計(jì)算S呢？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生想到將等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和S=1+q+q2+…+qn-1與“麥粒問題”進(jìn)行聯(lián)系可能只是一種直覺或“朦朧”的想法，通過追問一方面可以將問題進(jìn)一步明朗化;另一方面，則可以引發(fā)學(xué)生的深度思考.

但學(xué)生直接由“麥粒問題”推導(dǎo)出S=1+q+q2+…+qn-1的和還有困難，教師可以對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo).

問題：看來這個(gè)問題有點(diǎn)難，那同學(xué)們能不能先求一些比較簡單的等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和？如果可以，那準(zhǔn)備先研究哪個(gè)數(shù)列呢？

設(shè)計(jì)意圖：美國著名教育家奧蘇伯爾在其名著《教育心理學(xué)——認(rèn)知觀點(diǎn)》扉頁上這樣寫道：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么. 要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué).” 尋找認(rèn)知起點(diǎn)固然重要，但它僅僅只是教學(xué)的第一步（盡管也是非常重要的一步），教學(xué)要取得成功還必須把認(rèn)知起點(diǎn)作為新知識(shí)的生長點(diǎn)或新思想的生發(fā)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用各種策略來啟發(fā)學(xué)生從這些認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)生成新知識(shí)、新思想、新方法. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚在強(qiáng)調(diào)“以退為進(jìn)”方法的重要性時(shí)指出：要“善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”同時(shí)他還指出：“先足夠地退到我們最容易看清楚的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后由此向前推進(jìn).”提出這一問題是希望學(xué)生能從公比為2的等比數(shù)列前n項(xiàng)的求和方法這一認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，然后逐步向前推進(jìn)，依次考察q=3，4，…，直到學(xué)生找到等比數(shù)列的求和規(guī)律為止.

追問：有不少同學(xué)想到先求q=3的等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，那怎么求呢？

設(shè)計(jì)意圖：這一問題既是上一問題的延續(xù)，同時(shí)又是從公比為2的等比數(shù)列向公比為任意值的等比數(shù)列過渡的關(guān)鍵一步.

如果學(xué)生能夠聯(lián)想到公比為2的情形，那可以進(jìn)一步提問“剛才的問題對我們有沒有什么啟發(fā)？”如果學(xué)生聯(lián)想有困難，教師可以啟發(fā)學(xué)生“公比為2的等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和是怎么求的？”“它對公比為3的等比數(shù)列有沒有什么啟發(fā)？”

問題：在對公比為2的等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和時(shí)，我們采用的是將前n-1項(xiàng)之和加上“1”得到第n項(xiàng)的值，那對公比為3的等比數(shù)列能不能也通過加上某個(gè)數(shù)得到第n項(xiàng)的值呢？如果可以應(yīng)該加什么數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：老師先總結(jié)公比為2的等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和方法，目的是啟發(fā)學(xué)生通過類比去探索公比為3的等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和方法.

很多同學(xué)都說不能，那請一位同學(xué)說說你的理由.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在探索過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)求公比為2的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)只要加上“1”就行了，但求公比為3的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)對于不同的n需要加不同的值.讓學(xué)生闡述理由，一方面可以了解學(xué)生的真實(shí)想法，另一方面可以充分暴露學(xué)生思維中的漏洞并針對性地進(jìn)行啟發(fā).

追問：這位同學(xué)說公比為2的等比數(shù)列有規(guī)律，而公比為3的等比數(shù)列加的數(shù)沒有規(guī)律. 那你能不能具體說一下這里的規(guī)律到底指什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過這樣的追問讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到他心中的“規(guī)律”實(shí)際上是加的數(shù)是不是固定值.

反問：哦！你說的規(guī)律原來是指加的數(shù)是固定值. 那如果加的數(shù)不是固定值，能不能就說沒有規(guī)律呢？

問題：既然不能.那我們就需要思考公比是3的等比數(shù)列所加的數(shù)到底有沒有規(guī)律？該怎么研究？

設(shè)計(jì)意圖：這一問題在糾正學(xué)生錯(cuò)誤回答的同時(shí)為接下來的研究指明了方向.問題“該怎么研究？”希望學(xué)生從n=3開始通過歸納來分析所加項(xiàng)所具有的規(guī)律.在這里學(xué)生可能只關(guān)注所加項(xiàng)隨n變化的規(guī)律，而不容易想到它與前n-1項(xiàng)之間的關(guān)系. 此時(shí)，教師先讓學(xué)生做嘗試性探索，待學(xué)生碰壁以后再將學(xué)生的思維引向正確的方向.

問題：許多同學(xué)都想到了歸納方法，那我們一起來觀察n分別取1，2，3，4時(shí)所加的數(shù)到底有什么規(guī)律？

1+2=3，

（1+3）+5=9，

（1+3+9）+14=27，

（1+3+9+27）+41=81.

設(shè)計(jì)意圖：通過這樣的啟發(fā)和歸納，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)所加數(shù)與前n-1項(xiàng)之間的關(guān)系，即所加數(shù)等于前n-1項(xiàng)之和加“1”，從而得到（1+3+9+…+3n-1）×2+1=3n這一結(jié)論，變形以后即可得到1+3+9+…+3n-1=.

問題：把這個(gè)結(jié)論與一開始得到的結(jié)論比較一下，看看能不能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

設(shè)計(jì)意圖：由于這兩個(gè)式子中一個(gè)有分母，一個(gè)沒有分母，而且分母中的2也不容易與公比產(chǎn)生聯(lián)系，因此要從中找出共同規(guī)律對學(xué)生還有困難. 解決的辦法是再模仿q=3的情形對公比q=4，q=5進(jìn)行研究.

問題：僅從這兩個(gè)式子還很難看出它們之間的聯(lián)系，看來還得再找?guī)讉€(gè)數(shù)試試，現(xiàn)在大家再取公比q=4，看看前n項(xiàng)和等于什么？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生有了q=3的探索基礎(chǔ)，應(yīng)該不難得到：

（1+4+16+…+4n-1）×3+1=4n或1+4+16+…+4n-1=.

問題：現(xiàn)在能不能從中發(fā)現(xiàn)共同規(guī)律？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)過這三次探索，一般應(yīng)該能夠通過比較猜想出：

（1+q+…+qn-1）（q-1）+1=qn或1+q+…+qn-1=，如果還有困難可以再進(jìn)一步探索公比q取其他整數(shù)的情形.

3. 驗(yàn)證猜想，建構(gòu)模式

問題：剛才我們通過歸納發(fā)現(xiàn)了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

S=a+aq+aq2+…+aqn-1=（為敘述方便，這里直接給出了等比數(shù)列求和公式），但這個(gè)結(jié)論到底是否正確現(xiàn)在還不知道，看看有誰能證明或否定這個(gè)結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：等比數(shù)列的求和公式有很多種證明方法，蔡東山等人在“HPM視角下的等比數(shù)列求和公式教學(xué)”一文給出了“等比定律法”“錯(cuò)位相減法”“數(shù)學(xué)歸納法”“掐頭去尾法”“幾何推導(dǎo)法”等7種推導(dǎo)方法[5]. 這里提出這一問題，一方面是出于驗(yàn)證猜想的需要;另一方面，則希望通過多種證明方法的探索來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 就本設(shè)計(jì)而言，由于學(xué)生已經(jīng)獲得猜想，要證明這一結(jié)論并不困難，學(xué)生比較容易想到的方法可能是將右邊分母中的1-q與左邊相乘，然后再與右邊的分子進(jìn)行比較;或?qū)⒌仁阶筮叺姆肿臃帜竿艘?-q，然后將分子化簡再與右邊進(jìn)行比較. 這里的難點(diǎn)是如何通過教師的啟發(fā)引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)其他證明方法，特別是錯(cuò)位相減這一重要方法.

同學(xué)們很快就給出了證明方法，很好.同學(xué)們都有反思的習(xí)慣，大家能不能從剛才的證明中通過反思進(jìn)一步獲得新的發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：錯(cuò)位相減法不僅是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，而且在今后的解題中也很常用. 很多教師在講錯(cuò)位相減法時(shí)只是簡單告知，而很少會(huì)解釋其來歷. 提出這一問題一方面可以自然而然地引出錯(cuò)位相減法，讓學(xué)生真正理解錯(cuò)位相減法的由來，避免“違反教學(xué)理論的顛倒”（弗賴登塔爾語）[6]，另一方面則可以培養(yǎng)學(xué)生的反思能力. 如果學(xué)生沒有思路，教師可以通過“如果我們不知道這一結(jié)論，同學(xué)們能不能從剛才的證明過程發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”這一問題來啟發(fā)學(xué)生想到通過將等式左邊的分子分母同乘以1-q來消去中間項(xiàng);如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)有困難，教師可以通過“剛才證明過程中采用了什么方法”“這種方法在證明過程中起到什么作用”“這種方法有沒有推廣價(jià)值”等問題啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一方法的本質(zhì)是把等比數(shù)列前n項(xiàng)和S整體乘以1-q消去中間項(xiàng).

對于錯(cuò)位相減法，教師可以這樣來引出：

等比數(shù)列前n項(xiàng)和S整體乘以1-q拆開看就是S-qS，為了更直觀地幫助大家理解這一方法，老師把他們寫成豎式形式：

S=a+aq+aq2+…+aqn-1 ①

qS=aq+aq2+aq3+…+aqn②

①-②得：S-qS=a-aqn.

當(dāng)q≠1時(shí)，兩邊同除以1-q得：S=.

由于在推導(dǎo)過程中先將原來的等式兩邊同時(shí)乘以q，然后再用原來的等式減去乘以q以后的等式，而在相減的過程中需要“錯(cuò)位”才能相減，因此數(shù)學(xué)家給這種方法取了一個(gè)非常形象的名字“錯(cuò)位相減法”.

至于其他證明方法的探索，一方面需要教師充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，另一方面，則需要教師善于啟發(fā)引導(dǎo). 比如，對于“掐頭去尾法”，教師可以這樣啟發(fā)：“剛才的證明過程中通過兩式相減得到S=，還能不能進(jìn)行其他變形？”“能不能將兩式相除？”“如果兩式相除會(huì)不會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)？”通過這樣的啟發(fā)學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：

從而解出：S=.

4. 轉(zhuǎn)換模式，深度發(fā)現(xiàn)

問題：等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和S既可以用首項(xiàng)a、公差d和項(xiàng)數(shù)n來表示，也可以用首項(xiàng)a、末項(xiàng)a和項(xiàng)數(shù)n來表示. 那么，等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和S是否也可以用首項(xiàng)a、末項(xiàng)a和項(xiàng)數(shù)n來表示呢？如果可以，應(yīng)該怎么表示？

設(shè)計(jì)意圖：模式轉(zhuǎn)換，簡單地說就是把一個(gè)模式轉(zhuǎn)換為另一個(gè)模式.布魯納曾經(jīng)將轉(zhuǎn)換看作是學(xué)習(xí)的三個(gè)重要過程之一（這三個(gè)過程依次為獲得、轉(zhuǎn)換與評價(jià)）;著名數(shù)學(xué)家波利亞在介紹解題方法時(shí)曾有一句名言：“不斷地變換你的問題”. 模式轉(zhuǎn)換本質(zhì)上就是變換問題，通過一再改變問題的敘述和形式，改變觀察分析問題的角度，使問題呈現(xiàn)出新的面貌，引發(fā)我們新的思考、新的聯(lián)想，從而使問題獲得解答.從方法論角度看，模式轉(zhuǎn)換是化歸思想在模式研究過程中的具體運(yùn)用，它通過各種科學(xué)思維方法對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將數(shù)學(xué)問題化生為熟、化繁為簡、化難為易，最終達(dá)到充分揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)之目的. 模式轉(zhuǎn)換的常見類型有語言轉(zhuǎn)換、句法轉(zhuǎn)換、邏輯轉(zhuǎn)換、方法轉(zhuǎn)換、視角轉(zhuǎn)換等多種形式[7].

這里提出“等比數(shù)列求和公式是否可以有其他表征形式”，這一問題不僅可以通過與等差數(shù)列求和公式進(jìn)行類比培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，而且可以讓學(xué)生通過模式轉(zhuǎn)換深化對等比數(shù)列求和公式的認(rèn)識(shí)，并進(jìn)一步提高學(xué)生根據(jù)不同條件靈活運(yùn)用公式的能力.

問題：等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和S有幾何解釋，那等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和S有沒有幾何解釋呢？

設(shè)計(jì)意圖：語言轉(zhuǎn)換是模式轉(zhuǎn)換的一種常見形式. 作為數(shù)學(xué)知識(shí)的表征形式，數(shù)學(xué)語言一般包括文字語言、圖形語言和符號語言這三種.而萊什則提出了知識(shí)的表征主要有書面符號表征、圖形表征、情境表征、操作性表征以及語言表征這五種，在此基礎(chǔ)上他進(jìn)一步提出了這五者之間相互影響的表征系統(tǒng)模型[8]. 通過多種數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換不僅有利于豐富學(xué)生對等比數(shù)列求和公式的認(rèn)識(shí)，而且有利于提升學(xué)生靈活運(yùn)用公式解決問題的能力. 學(xué)生在前面剛剛學(xué)過等差數(shù)列的求和公式而且知道其幾何意義，因此提出這一問題不僅符合學(xué)生的認(rèn)知預(yù)期，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力. 但等比數(shù)列求和公式的幾何意義課本上沒有出現(xiàn)，這需要教師在課前做足“功課”，以防學(xué)生問到以后不知所措.

問題：等比數(shù)列從第m項(xiàng)到第n項(xiàng)（n>m）之和等于什么？

設(shè)計(jì)意圖：等比數(shù)列從第m項(xiàng)到第n項(xiàng)（n>m）之和是等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和的推廣，雖然推導(dǎo)過程并不困難，但提出這一問題不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力，而且有利于學(xué)生深化對等比數(shù)列求和公式的理解.

5. 歸納發(fā)現(xiàn)，精制模式

問題：等比數(shù)列的求和方法與等差數(shù)列的求和方法有什么異同點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：雖然從表面上看，“錯(cuò)位相減法”與“倒序相加法”完全不同，在等比數(shù)列求和時(shí)不能生搬硬套，但“消去中間項(xiàng)”這一核心思想還是相通的. 因此，在進(jìn)行等比數(shù)列求和時(shí)應(yīng)該類比“倒序相加法”的“魂”而不是“形”，即通過消去中間項(xiàng)來達(dá)到求和之目的. 有了這一思想，再聯(lián)系等比數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于公比q”這一本質(zhì)特征，就容易理解為什么要通過乘以公比q來進(jìn)行“錯(cuò)位相減”了.

問題：公式的發(fā)現(xiàn)與證明過程中運(yùn)用了哪些重要數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖：在公式的發(fā)現(xiàn)與證明過程中既用到歸納、類比等合情推理思想，還用到模式轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、“錯(cuò)位相減法”等多種思想方法. 提出這一問題不僅可以讓學(xué)生有意識(shí)地梳理本節(jié)課中的重要數(shù)學(xué)思想方法，而且可以讓學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度來理解等比數(shù)列求和公式及相關(guān)知識(shí)，同時(shí)還可以讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

問題：公式有什么特點(diǎn)？公式的使用過程中需要注意什么問題？

設(shè)計(jì)意圖：提出這一問題一方面可以讓學(xué)生通過抓公式特點(diǎn)來深刻理解公式;另一方面則可以讓學(xué)生在解決問題過程中能更加準(zhǔn)確、靈活地運(yùn)用公式.

問題：這節(jié)課你有什么收獲？

設(shè)計(jì)意圖：這樣設(shè)計(jì)一方面可以讓學(xué)生通過回顧系統(tǒng)梳理本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化;另一方面，可以培養(yǎng)學(xué)生善于反思、善于總結(jié)的習(xí)慣. 讓學(xué)生說出學(xué)習(xí)后的收獲與體會(huì)，學(xué)生既可以從等比數(shù)列求和公式的探索過程中所獲得的成就感和喜悅感等方面來闡述，也可以從“錯(cuò)位相減法”的探索過程中感受數(shù)學(xué)家的所思所想，學(xué)會(huì)像數(shù)學(xué)家那樣去思考，激發(fā)數(shù)學(xué)研究的積極性. 由此提升學(xué)生的發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的情感態(tài)度價(jià)值觀并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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