落球法測(cè)定液體粘滯系數(shù)的實(shí)驗(yàn)修正探討

羅鈞洋 韋帥兵 李晨浩 陳余行

摘? 要：利用落球法來(lái)測(cè)量出不同直徑金屬小球在蓖麻油中勻速運(yùn)動(dòng)一段距離所需的時(shí)間及速度，從而計(jì)算出蓖麻油的粘滯系數(shù)，并通過(guò)測(cè)定的粘滯系數(shù)計(jì)算得到雷諾數(shù)Re，進(jìn)而對(duì)蓖麻油的粘滯系數(shù)分別進(jìn)行一級(jí)修正和二級(jí)修正，并將修正結(jié)果進(jìn)行分析比較，找到最適合實(shí)驗(yàn)教學(xué)的數(shù)據(jù)改進(jìn)處理方法，并進(jìn)一步分析探討了雷諾數(shù)與小球直徑的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：落球法? 蓖麻油?? 雷諾數(shù)?? 修正? 粘滯系數(shù)

Discussion on Experimental Correction of Measuring Liquid Viscosity Coefficient by Falling Ball Method

LUO Junyang? WEI Shuaibing ?LI Chenhao ?CHEN Yuhang

（School of Mathematics and Statistics， Shanghai University of Engineering and Science， Shanghai， 201620 China）

Abstract： Falling ball method is used to measure the time and speed required for small metal balls with different diameters to move at a uniform speed for a certain distance in castor oil， so as to calculate the viscosity coefficient of castor oil， calculate the Reynolds number re through the measured viscosity coefficient. The Reynolds number Re is calculated through the measured viscosity coefficient， and then the viscosity coefficient of castor oil is corrected at the first level and the second level respectively. The correction results are analyzed and compared to find the most suitable data improvement processing method for experimental teaching， and the relationship between Reynolds number and small ball diameter is further analyzed and discussed.

Key Words： Falling ball method; Castor oil; Reynolds number; Correction; Viscous coefficient

粘滯性是流體的一種重要的物理屬性，物理學(xué)中用粘滯系數(shù)來(lái)表示其大小，粘滯系數(shù)在生產(chǎn)、生活及工程技術(shù)等各個(gè)方面都有著重要的應(yīng)用。測(cè)量液體粘滯系數(shù)的方法較多，如落球法、轉(zhuǎn)筒法、毛細(xì)管法等，其中落球法是最常用的一種方法，該方法具有物理現(xiàn)象明顯，概念清晰，原理簡(jiǎn)單易說(shuō)明，實(shí)驗(yàn)操作便捷等優(yōu)點(diǎn)，因此，落球法測(cè)液體粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)在理工科高校中基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)課程被普遍開設(shè)。在該實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生可以通過(guò)觀察液體的內(nèi)摩擦現(xiàn)象，掌握液體粘滯系數(shù)的測(cè)量方法并了解流體粘滯系數(shù)的測(cè)量在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活應(yīng)用中的重要意義^[1-3]。然而，由于現(xiàn)實(shí)條件與實(shí)驗(yàn)原理要求的理想條件有較大差距，導(dǎo)致簡(jiǎn)單的落球法測(cè)量結(jié)果往往有較大誤差，因此，課程中有必要對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行一定的修正^[4-10]，且這種修正必須原理清晰，操作上簡(jiǎn)潔易行，不至于影響實(shí)驗(yàn)課程的順利進(jìn)行。

本文利用落球法測(cè)量多個(gè)尺寸金屬小球在蓖麻油中勻速下落相同距離所需時(shí)間及速度，計(jì)算出蓖麻油的粘滯系數(shù)，利用其粘滯系數(shù)計(jì)算雷諾數(shù)，利用雷諾數(shù)對(duì)粘滯系數(shù)分別進(jìn)行一級(jí)和二級(jí)修正，旨在找到最適合實(shí)驗(yàn)課程的的數(shù)據(jù)處理方法，使學(xué)生能夠在課堂上掌握液體粘滯系數(shù)的測(cè)量方法的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步了解雷諾數(shù)和斯托克斯公式的修正。

1實(shí)驗(yàn)原理

3個(gè)力：小球所受浮力F = ρgV（V為小球體積，ρ為液體 密度）、小球重力 G = mg（m 為小球質(zhì)量）和粘滯阻力 F。若小球在蓖麻油中運(yùn)動(dòng)速度和球的半徑都很小， 且蓖麻油是無(wú)限廣闊的，則粘滯阻力可由斯托克斯公 式導(dǎo)出：

F = 6πηvr （1）

式中，v是小球的下落速度，r 為小球的半徑，η為 液體的粘滯系數(shù)，單位是Pa·s。

開始時(shí)由于小球下落速度較小，因此粘滯力不大， 小球加速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度不斷增大，粘滯力也隨之增 大。在某一時(shí)刻，小球所受浮力、粘滯力與重力達(dá)到平 衡，即：

mg = ρgV + 6πηvr （2）

于是小球開始勻速運(yùn)動(dòng)。 勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)速度 v 可以由其運(yùn)動(dòng)距 離L和運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間t得出，代入上式可得：

由于實(shí)驗(yàn)時(shí)蓖麻油處于量筒中，故不能滿足斯托克斯公式所要求的液體無(wú)限廣闊的條件，因而應(yīng)將小球運(yùn)動(dòng)速度修正為：

式中，η'表示考慮到此種修正后的粘滯系數(shù)。因此，在各力平衡并修正液體邊界影響后可得：

2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

2.1 實(shí)驗(yàn)器材

實(shí)驗(yàn)架、水平儀、量筒、秒表、蓖麻油、鋼球?qū)Ч?、溫度?jì)、直徑分別為1mm、1.5mm、2mm、2.5mm、3mm、3.5mm的小鋼球。

2.2實(shí)驗(yàn)步驟

（1）利用水平儀，調(diào)整實(shí)驗(yàn)架至底盤水平，在實(shí)驗(yàn)架底盤的中央位置放置盛有蓖麻油的量筒。

（2）選取各同直徑的小球，通過(guò)實(shí)驗(yàn)架上方的鋼球?qū)Ч茚尫牛?dāng)小球落入蓖麻油開始勻速下落之后選取一定距離，記錄所需時(shí)間，計(jì)算出小球勻速下落時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度。

（3）根據(jù)小球勻速下落時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度計(jì)算蓖麻油的粘滯系數(shù)及雷諾數(shù)，分別進(jìn)行一級(jí)修正和二級(jí)修正，并進(jìn)行分析。

3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

實(shí)驗(yàn)中各參數(shù)：溫度 T=25.0℃，蓖麻油密度 ρ= 960kg/m?，小 鋼 球 ρ'=7800kg/m?，重 力 加 速 度 g= 9.7964m/s?，實(shí)驗(yàn)中小球勻速運(yùn)動(dòng)距離L=198mm，液體 整 體 高 度 h=322mm，蓖 麻 油 粘 滯 系 數(shù) 標(biāo) 準(zhǔn) 值 η0= 0.6418Pa·s，容器半徑 R=32.02mm。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及計(jì)算 結(jié)果見表1。

（1）當(dāng)金屬小球直徑增加時(shí)，各級(jí)修正誤差百分比均呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，分析可知，當(dāng)金屬小球較小時(shí)，小球勻速運(yùn)動(dòng)速度較小，計(jì)算可知雷諾數(shù)也較小，因此修正效果較弱，可知此時(shí)誤差較大;當(dāng)小球直徑增大時(shí)，小球速度也隨之增大，導(dǎo)致雷諾數(shù)增大，因此修正效果較強(qiáng)，因此誤差較小。

（2）對(duì)比修正后與未修正的誤差百分比發(fā)現(xiàn)，一級(jí)修正和二級(jí)修正后的粘滯系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值的誤差百分比相比未修正時(shí)都變得更小了，這說(shuō)明修正之后的粘滯系數(shù)更加精確。

（3）對(duì)比一級(jí)修正和二級(jí)修正之后發(fā)現(xiàn)，在實(shí)驗(yàn)條件下，二級(jí)修正后的粘滯系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值的誤差百分比與一級(jí)修正相比差別并不明顯，但計(jì)算過(guò)程明顯更加復(fù)雜，計(jì)算量也更大，因此在基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)課程中進(jìn)行二級(jí)修正的必要性不大。

根據(jù)以上分析可知，選取一級(jí)修正η1 '，誤差百分 比較小且實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析也較為簡(jiǎn)明清晰，在一級(jí)修正 下，計(jì)算出雷諾數(shù)Re，并可以繪制雷諾數(shù)與小球直徑 的關(guān)系圖，如圖1所示。

由圖1可以看出，在粘滯系數(shù)不變的情況下，當(dāng)小 球直徑增大時(shí)，雷諾數(shù)也隨之增大，且增大速度加快。 由Re的定義可知，Re ∝ （ d·v），由于r ? R，r ? h，因此 由式（4）可知，v近似正比于小球直徑的平方，因此，Re 近似正比于小球直徑的三次方。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步分 析并加以數(shù)據(jù)擬合后可知，Re=0.0073d3 ，相關(guān)系數(shù)平 方R2 =0.999 64，擬合準(zhǔn)確度較高。

4結(jié)語(yǔ)

實(shí)驗(yàn)中通過(guò)探究一級(jí)修正及二級(jí)修正對(duì)粘滯系數(shù)誤差的影響，我們可以得出以下結(jié)論：

（1）小球直徑越小，小球勻速運(yùn)動(dòng)速度越小，此時(shí)雷諾數(shù)相對(duì)較小，導(dǎo)致修正效果較弱，可知此時(shí)誤差越大;隨著小球直徑增大，勻速運(yùn)動(dòng)速度也越大，此時(shí)雷諾數(shù)相對(duì)較大，此時(shí)修正效果明顯增強(qiáng)，因此誤差較小;

（2）在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，對(duì)容器壁進(jìn)行修正之后，再對(duì)雷諾數(shù)進(jìn)行一級(jí)修正之后可以得到更精確的粘滯系數(shù)，而二級(jí)修正之后的粘滯系數(shù)誤差百分比相對(duì)于一級(jí)修正并沒(méi)有明顯的改善，反而增加了數(shù)據(jù)處理的難度，因此在實(shí)際課堂實(shí)驗(yàn)中無(wú)需采用二級(jí)修正;

（3）本次實(shí)驗(yàn)通過(guò)數(shù)據(jù)擬合找到了小球直徑與雷諾數(shù)之間的經(jīng)驗(yàn)公式，可作為進(jìn)一步拓展學(xué)生思維的學(xué)習(xí)任務(wù)，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力，有助于學(xué)生更好地理解實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。

重新設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)處理方法后，相比于傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理方法，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理中雖然增加了容器條件修正和雷諾數(shù)修正，但原理清晰明了，容易理解，操作簡(jiǎn)單，所需時(shí)間完全可以控制在正常課堂時(shí)間內(nèi)完成，且提高了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，值得在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中推廣。

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