地下圓形糧倉鋼板-混凝土組合倉壁彈性應(yīng)力計(jì)算公式推導(dǎo)與驗(yàn)證

揣 君，王錄民，何 毅，梁醒培，王振清

1.河南工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州 450001

2.國家糧食和物資儲備局，北京 100038

地下糧倉具有低溫儲糧、綠色生態(tài)、節(jié)能減損等顯著優(yōu)勢[1]，符合我國糧食行業(yè)的綠色發(fā)展方向，具有廣闊的應(yīng)用前景。組合結(jié)構(gòu)是現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)中一種重要的新型結(jié)構(gòu)體系，其中鋼與混凝土組合最為常見，它能充分發(fā)揮鋼與混凝土兩種材料各自的優(yōu)勢，在國內(nèi)外的應(yīng)用也越來越廣泛[2]。目前，組合結(jié)構(gòu)在大跨度橋梁和高層、超高層建筑中的應(yīng)用取得了良好的經(jīng)濟(jì)、社會效益。相關(guān)學(xué)者開展了鋼板-混凝土組合結(jié)構(gòu)應(yīng)用在地下糧倉的研究[3-7]，倉壁采用了鋼板-混凝土組合結(jié)構(gòu)(以下簡稱組合倉壁)，它是材料為鋼板和混凝土兩種性質(zhì)不同的雙層異材圓筒(壁厚與曲率半徑之比不大于1/50，屬薄柱殼)。組合倉壁在外側(cè)土體圍壓作用下，空倉為不利工況，需要對其進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，以滿足結(jié)構(gòu)安全性的要求。然而，經(jīng)典的彈性力學(xué)理論僅提供了單層圓筒(均勻介質(zhì)理想彈性體)受均布壓力的應(yīng)力計(jì)算公式[8-9]；該公式對于組合倉壁受外壓的雙層異材圓筒，顯然并不適用。因此，受外壓雙層異材圓筒的應(yīng)力計(jì)算問題亟待解決。蔣勁松[10]采用Fourier積分的方法建立了夾有泡沫塑料板的混凝土復(fù)合井壁應(yīng)力與位移解析公式，中間泡沫塑料板作為接觸條件，井壁為可以滑動的多層復(fù)合井壁。姚直書等[11]研究提出了一種雙層鋼板-混凝土復(fù)合井壁設(shè)計(jì)計(jì)算方法，認(rèn)為由于內(nèi)、外鋼板的約束，中間混凝土層處于3個方向受壓應(yīng)力狀態(tài)，采用彈性力學(xué)3層組合筒法得到混凝土內(nèi)邊緣的主應(yīng)力。夾有泡沫塑料板的混凝土復(fù)合井壁與雙層鋼板混凝土復(fù)合井壁均為3層厚壁圓筒。付春梅等[12]建立了內(nèi)鋼板-混凝土復(fù)合井壁計(jì)算的力學(xué)模型，假設(shè)內(nèi)鋼板完全進(jìn)入塑性狀態(tài)且混凝土內(nèi)邊緣開始破壞時井壁達(dá)到正常使用極限狀態(tài)。以此進(jìn)行該復(fù)合井壁正常使用極限狀態(tài)應(yīng)力計(jì)算，先計(jì)算出鋼板完全進(jìn)入塑性狀態(tài)時能夠承受的最大徑向荷載，將其作為混凝土層的內(nèi)壓力，與外部土壓力共同作用，按彈性理論計(jì)算混凝土層的應(yīng)力。該方法引入的假設(shè)不一定符合工程實(shí)際，應(yīng)先計(jì)算出鋼板層和混凝土層各自的應(yīng)力分布，并以此判定二者的受力狀態(tài)更為合理。張國鑫[13]提出了鋼板-混凝土復(fù)合井壁在不均勻側(cè)壓力作用下的應(yīng)力計(jì)算方法，將復(fù)合井壁作為彈性力學(xué)平面問題，采用應(yīng)力函數(shù)法推導(dǎo)了應(yīng)力計(jì)算公式。蔡海兵等[14]采用有限元數(shù)值模擬方法對不均勻壓力下雙層鋼板-混凝土井壁進(jìn)行了力學(xué)特性分析。藏德勝等[15]采用ANSYS有限元軟件對圓形鋼板混凝土井壁受力性能進(jìn)行了模擬分析。Sun[16]對鋼板-混凝土復(fù)合井壁進(jìn)行了試驗(yàn)研究，分析了復(fù)合井壁的受力狀態(tài)，給出了雙鋼板-混凝土復(fù)合倉壁極限荷載計(jì)算公式。張厚美等[17]對盾構(gòu)壓力隧洞雙層襯砌的力學(xué)模型進(jìn)行了研究，根據(jù)不同工況提出了雙層襯砌的多種計(jì)算模型。Jiang等[18]采用理想彈塑性Mohr-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則對壓力隧洞進(jìn)行彈塑性分析。Yu[19]采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論對壓力隧洞進(jìn)行彈塑性分析。地下圓形糧倉鋼板-混凝土組合倉壁彈性應(yīng)力的求解問題，是其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算面臨的首要任務(wù)之一。因此，作者基于彈性力學(xué)推導(dǎo)了受均勻外壓雙層異材圓筒的應(yīng)力計(jì)算公式，為地下糧倉組合倉壁的設(shè)計(jì)及應(yīng)力計(jì)算提供理論依據(jù)，具有一定的應(yīng)用價值。

1 計(jì)算模型簡化

為了研究新型組合倉壁的應(yīng)力計(jì)算問題，建立其簡化的力學(xué)計(jì)算模型如圖1所示。空倉工況，組合倉壁外側(cè)承受周圍水土側(cè)壓力為主，沿組合倉壁高度H的側(cè)壓力分布并不均勻；由柱殼理論可知，組合倉壁主要內(nèi)力是環(huán)向軸力，沿倉壁高度Z方向取任意一段作為研究對象，當(dāng)其高度Δh不大時，可近似認(rèn)為作用在組合倉壁上的外壓是均勻分布的。因此，新型組合倉壁的應(yīng)力計(jì)算問題可歸結(jié)為受均勻外壓雙層異材圓筒的應(yīng)力計(jì)算問題。引入假設(shè)：組合倉壁的鋼板與混凝土通過栓釘連接，假設(shè)二者可以共同受力并變形協(xié)調(diào)；假設(shè)裝配式地下糧倉的倉頂、倉底板對組合倉壁受力的影響符合圣維南原理。

定義圓筒由內(nèi)、外兩層不同的材料組成，內(nèi)、外層材料的彈性模量和泊松比分別為E、μ和E′、μ′。如圖1b所示，內(nèi)層筒內(nèi)半徑為R1，內(nèi)層筒外半徑為R2，外層筒外半徑為R3，則內(nèi)層筒厚度為R2-R1，外層筒厚度為R3-R2。外壁承受均布壓力q。

圖1 組合倉壁簡化計(jì)算模型示意圖

2 雙層異材圓筒應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)

2.1 受外壓雙層異材圓筒應(yīng)力求解

由彈性力學(xué)可知，圓筒的受力屬軸對稱問題，假設(shè)圓筒為無限長，則可簡化為平面應(yīng)變問題，其應(yīng)力和位移可以分別引用軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移。

假設(shè)內(nèi)層圓筒的應(yīng)力：

(1)

假設(shè)外層圓筒的應(yīng)力：

(2)

式中：σr、σφ分別為徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力；r為圓筒內(nèi)部任何一點(diǎn)到圓心的距離；A、C、A′、C′是4個待求常數(shù)，可由以下4個邊界條件確定。

(1)應(yīng)力邊界條件

在圓筒的內(nèi)表面r=R1處：(σr)r=R1=0,即

(3)

(4)

(2)界面條件

(5)

(3)位移單值條件

由于圓筒是多連體，可以寫出兩者的徑向位移的表達(dá)式，其中I、K、I′、K′、θ為任意常數(shù)。

內(nèi)層圓筒徑向位移：

(6)

外層圓筒徑向位移：

(7)

將式(6)、式(7)簡化后得：

(8a)

I′cosθ+K′sinθ。

(8b)

(9)

(4)常數(shù)求解

簡化歸納后，得到確定4個常數(shù)的4個方程。

由式(3)、式(5)、式(9)、式(4)可得，

(10)

(11)

(12)

(13)

將方程(10)—(13)采用矩陣表示為以A、C、A′、C′為未知量的代數(shù)方程組。

(14)

(15)

求解方程(15)可得系數(shù)A、C、A′、C′的表達(dá)式。為簡化系數(shù)A、C、A′、C′的表達(dá)式，令

2.2 應(yīng)力計(jì)算公式

將求解得到的系數(shù)A、C、A′、C′代入式(1)和式(2)即可得到內(nèi)外筒體為異種材料、接觸面按接觸處理的線彈性應(yīng)力計(jì)算解析式。

內(nèi)層圓筒的徑向應(yīng)力：

(16a)

內(nèi)層圓筒的環(huán)向應(yīng)力：

(16b)

外層圓筒的徑向應(yīng)力：

(17a)

外層圓筒的環(huán)向應(yīng)力：

(17b)

3 雙層異材圓筒應(yīng)力計(jì)算公式的驗(yàn)證分析

為驗(yàn)證推導(dǎo)的應(yīng)力計(jì)算公式(16)和(17)的正確性，分別對同種材料和異種材料組成的雙層圓筒，采用彈性力學(xué)公式解析解和有限元模擬數(shù)值解與之對比分析驗(yàn)證。

3.1 同材雙層圓筒應(yīng)力結(jié)果對比

對于圖1所示的雙層圓筒受均勻外壓問題，假定雙層圓筒的材料為同種材料，即為單層圓筒，故可按彈性力學(xué)已有計(jì)算公式[20]得到該問題的應(yīng)力解析解。此外，也可仍然視為雙層異材圓筒(兩層為同一種材料)，按雙層異材圓筒應(yīng)力公式(16)和(17)進(jìn)行計(jì)算得到該問題的應(yīng)力解析解。

由以上應(yīng)力表達(dá)式可知，同種材料時雙層異材圓筒應(yīng)力公式(16)和(17)與拉梅解答形式相同，驗(yàn)證了推導(dǎo)的應(yīng)力計(jì)算公式的正確性。

3.2 異材雙層圓筒應(yīng)力結(jié)果對比

以圖1所示的受均勻外壓雙層圓筒問題為例，假定雙層圓筒的材料為異種材料，則彈性力學(xué)中受外壓單層圓筒應(yīng)力計(jì)算公式不適用。為了對比分析應(yīng)力，采用ANSYS建模，結(jié)果如圖2所示，有限元法模擬得到受外壓雙層異材圓筒應(yīng)力的數(shù)值解；將其與公式(16)和(17)計(jì)算得到的解析解對比分析，以進(jìn)一步驗(yàn)證推導(dǎo)雙層異材圓筒應(yīng)力計(jì)算公式的正確性。

工程算例：R1=10.0 m,R2=10.3 m,R3=10.4 m,q=-100 N/m2；E=3.0×1010N/m2，E′=2.0×1011N/m2，μ=μ′=0.3。

按照工程算例的基本參數(shù)，先求得雙層異材圓筒應(yīng)力公式(16)和(17)的系數(shù)值，即有A=169 700，C=-848.5，A′=14 310，C′=-116.2；得到工程算例雙層異材圓筒沿壁厚截面上的徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力解析解，解析解和數(shù)值解見表1。

表1 徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力的解析解與數(shù)值解

圖2 異種材料雙層圓筒平面軸對稱有限元模型

從表1可知，徑向應(yīng)力最大相對差為4.48%，環(huán)向應(yīng)力最大相對差為0.11%，相對差都在5%以內(nèi)，特別是環(huán)向應(yīng)力相對差較小，總體上吻合良好，驗(yàn)證了推導(dǎo)的受外壓雙層異材圓筒應(yīng)力計(jì)算公式適用于鋼板-混凝土組合倉壁的應(yīng)力計(jì)算。

4 結(jié)論

綜上所述，推導(dǎo)的受均勻外壓雙層異材圓筒彈性應(yīng)力計(jì)算公式解決了地下圓形糧倉鋼板-混凝土組合倉壁的應(yīng)力求解問題，為類似組合結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度計(jì)算提供了參考。對于建立的受外壓雙層異材圓筒應(yīng)力計(jì)算公式，分別采用彈性力學(xué)中受外壓單層圓筒(同種材料)應(yīng)力計(jì)算理論公式和有限元數(shù)值分析方法進(jìn)行了驗(yàn)證分析，結(jié)果表明推導(dǎo)的受均勻外壓雙層異材圓筒應(yīng)力計(jì)算公式是正確的?；趶椥粤W(xué)理論推導(dǎo)建立的受均勻外壓雙層異材圓筒應(yīng)力計(jì)算公式，適用于地下圓形糧倉鋼板-混凝土組合倉壁的強(qiáng)度計(jì)算。