夾具定位誤差計算自動化方法*

朱成龍 吳玉光

(杭州電子科技大學機械工程學院，浙江 杭州 310018)

夾具是機床切削加工的重要工藝裝備，定位誤差是評價夾具性能的關鍵指標，夾具定位誤差分析是夾具設計的重要任務。通常情況下，夾具定位誤差分析首先需要針對具體工件的定位方案建立計算模型，然后利用各種誤差計算方法求得加工表面的定位誤差。由于工件幾何形狀千變萬化，定位方案多種多樣，建立計算模型，進行分析計算均需要較高的專業(yè)知識，對夾具定位誤差進行分析并得出正確的定位精度數據是一件困難的工作。因此，研究定位誤差計算模型的自動建立方法，使之適用于各種定位方案并能自動獲得分析計算結果，實現定位誤差分析的自動化，是夾具設計人員所追求的目標。

國內外學者針對定位誤差分析進行了大量的研究，提出了各種定位誤差計算模型和計算方法。秦國華等[1]根據運動學原理建立工件的定位誤差模型，將定位誤差表達為工件與夾具定位接觸點位置變化的函數。吳玉光等[2]提出的連桿機構模型，將工件相對于夾具的位置關系用加工表面與工序基準，工序基準與定位基準，定位基準與定位元件等三個機構進行表示，試圖通過連桿機構位置函數建立工序基準的位置與相關尺寸之間的關系。郭曉光[3]用概率方法分析夾具的定位誤差，并與常用的極值法進行了比較，從而得出概率分析方法?？敌忝鬧4]建立了三維定位誤差影響加工精度的數學模型，運用矩陣計算法與工件的定位誤差進行了計算，并分析了三種典型定位方式下夾具工件的定位誤差。Asante[5]提出了一種基于約束的零件-夾具裝配公差分析方法，根據約束關系建立剛體的小位移旋量SDT與工件的定位誤差之間的關系。Kang等[6-7]利用雅可比矩陣建立了定位點位置變動與工件位置變動的關系模型，他們的方法考慮了定位元件位置誤差和定位元件形變引起的誤差，從而期望能更加精確地預測加工表面的偏差。

以上研究工作為建立了各種夾具定位誤差的計算模型，這些方法均需要手動建立計算模型，一些算法太過復雜，需要依賴較高的專業(yè)知識才能獲得正確的結果。本文提出一個基于裝配公差分析方法的夾具定位誤差自動分析方法，該方法基于工件和夾具的三維實體裝配模型，該模型中的全部零件的所有關聯要素均標注了相應的尺寸公差和幾何公差，該方法將工件和夾具的定位元件均當作是裝配模型的組成零件，利用蒙特卡洛模擬方法得到定位元件和工件的概率抽樣實例，再根據定位和裝配關系確定加工部位相對于工件的具體位置，最后根據大量的位置抽樣數據利用概率統計方法獲得夾具的定位誤差計算結果。

1 基于裝配公差分析方法的定位誤差自動計算原理

1.1 基于裝配接觸關系的加工部位位置計算方法

基于概率統計的定位誤差分析方法首先需要對目標零件的裝配位置進行自動計算，而裝配位置自動計算必須根據零件之間的幾何接觸關系建立零件的齊次坐標變換矩陣，為此首先必須建立零件各種坐標系的確定規(guī)則以及各種坐標系之間的關聯關系。

本文的工件-夾具系統的坐標體系的建立方法直接從裝配公差分析方法的坐標系建立規(guī)則移植而來[8]。在裝配公差自動分析方法中，裝配模型中的零件坐標體系根據零件層次可分為機架坐標系、中間零件坐標系和目標零件坐標系，而在零件內部的幾何要素也具有一個從基礎基準坐標系、中間要素坐標系和目標要素坐標系的層次。裝配模型中的中間零件既對它的上層零件進行定位，同時它自身又需要由下層零件來定位，因而裝配模型從機架零件到目標零件形成了一個零件層次的位置和誤差傳遞關系圖。在零件內部從基礎基準到目標要素也構成了一個幾何要素層次上的位置和誤差傳遞關系圖，因此裝配體的坐標體系包括零件之間的坐標體系和零件內部幾何要素之間的坐標體系。為了使裝配誤差分析方法適用于定位誤差求解并簡化陳述，將機器裝配模型的坐標體系簡化成圖1所示。圖1a為2個零件的裝配模型，2個零件分別對應裝配模型的機架零件和目標零件，機架零件全局坐標系為機器坐標系Ω1，目標零件坐標系為Ω2。圖1a中的其余坐標系分別為機架零件上的定位基準坐標系Ω3、目標零件上的裝配基準坐標系Ω4以及目標要素坐標系Ω5。圖1a中2個零件之間存在3個接觸表面，由于零件存在幾何誤差，零件的裝配接觸表面由存在位置和方向誤差的替代幾何表示，3個接觸表面根據裝配順序不同具有不同的接觸狀態(tài)。圖1b為一工件-夾具裝配模型，與一般機器裝配模型相對應，工件-夾具的裝配模型中的夾具坐標系φ1就相當于機器模型中的機架坐標系Ω1，在不考慮機床的誤差的前提下，夾具坐標系與機床坐標系兩者相對位置固定不變，因此可以假設兩者統一。而工件坐標系φ2就是目標零件坐標系Ω2，加工部位坐標系φ5就是目標要素坐標系Ω5。

根據坐標變換關系，機器裝配模型中零件目標要素在機器中位置的計算公式為：

pm=pw×M1×M2×M3

(1)

式中：pw=(x,y,z,1)，pw為目標要素上點在目標要素坐標系中的位置，M1為目標要素坐標系相對于工件全局坐標系的齊次坐標變換矩陣，M2為目標零件全局坐標系相對于機架零件第一定位基準坐標系的齊次坐標變換矩陣，M3為機架零件第一定位基準坐標系相對于機架零件全局坐標系(機器坐標系)的齊次變換矩陣，由式(1)可知，pm為目標要素上的同一點在機器坐標系的位置。M1和M3取決于零件內部的誤差傳遞關系，而M2則取決于零件所在的裝配基準和裝配順序。

夾具定位誤差分析與裝配體位置誤差分析不同，夾具定位誤差分析目標是加工部位相對于工件坐標系的位置變動情況。在工件-夾具系統中，工件加工部位的位置取決于機床的刀具運動軌跡，在不考慮機床和刀具軌跡等誤差的前提下，可以認為工件加工部位相對于夾具坐標系的位置是不變的。也就是說，對于一般的機器裝配模型，式(1)中的pw的位置以及變動范圍取決于公差指標，pm可以通過公式計算得到。對不同的零件pm是變化的，而在工件-夾具系統中，pm卻是不變的，而工件坐標系相對于夾具坐標系的位置是變化的，因此pw相對于工件坐標系是變化的，pw的變動范圍就是夾具的定位誤差。

在夾具-工件裝配模型中，pm可以根據裝配關系和理想幾何計算出來，也可以通過CAD的API函數從公稱實體模型中直接讀出。工件坐標系由工件的基礎基準決定，取決于工件基礎基準之間的幾何類型和位置關系。工件坐標系相對于夾具坐標系的位置取決于工件定位基準與夾具定位元件之間的接觸表面類型和位置關系。由于工件定位基準存在尺寸和幾何誤差，使得每個工件坐標系相對于夾具坐標系的位置是變化的，從而使得每一個工件加工部位相對于工件坐標系的位置pw是不同的。pw的計算公式可以根據式(1)得出：

(2)

式(2)是工件加工部位上一個點的位置計算公式。利用式(2)，結合加工部位的幾何形狀就能計算出整個加工部位的位置。利用蒙特卡洛模擬方法模擬生成出一定數量的工件概率抽樣實例，從而獲得加工部位位置的大量概率抽樣數據，然后利用概率分析方法就可以得出整個加工部位定位誤差的概率統計數據。

1.2 坐標系建立規(guī)則

由于采用坐標變換矩陣計算零件定位誤差、實現計算過程自動化，因此坐標系的建立規(guī)則十分重要。一般來說，零件的坐標系統必須根據設計模型或圖紙要求的設置，零件的全局坐標系由零件的基礎基準要素來體現，基礎基準是零件模型或者圖紙上的尺寸標注系統的參照基準。而工件的坐標系統由工藝基準確定，由于制造和測量工藝需要，零件的設計基準有可能和定位基準、測量基準不一致，因而造成工件的坐標系統和零件的坐標系統不一致，但本文不討論這一問題，即假設零件的設計基準和工藝基準相同，可以根據工件-夾具系統的定位關系來確定工件的坐標系統。根據工件加工部位的功能要求，工件在夾具上的定位既可能完全定位也可能存在欠定位，正定位情況下工件坐標系統可以由定位基準幾何類型和定位順序完全確定，而欠定位情況下的需要制定規(guī)則進行確定。理論上講，任何幾何要素均可以作為基準要素，但生產實際中通常只考慮平面、內外圓柱面作為工件的定位基準面的情況。 根據以上說明，本文只考慮平面、內外圓柱面作為工件的定位基準面，對常見定位方式下的正定位和欠定位情況，建立工件坐標系的確定規(guī)則，表1歸納了這些情況下的坐標系確定規(guī)則。其中，規(guī)定OF-XFYFZF為夾具坐標系，Ow-XwYwZw為工件坐標系。

表1 工件坐標系的確定規(guī)則

2 夾具定位元件的處理

2.1 復合定位元件

在一般的機器裝配模型中，對一個零件進行定位的零件數量最多不超過3個，而在工件-夾具裝配系統中，工件的一個定位基準面往往就有可能與多個定位元件接觸，每一個定位元件在機器裝配實體模型中都屬于一個單獨的零件，因此會造成一個工件的定位零件數量超過3個這種情況，這就使得利用一般機器裝配模型自動計算工件裝配位置的公式變得十分復雜。為了便于利用齊次坐標變換矩陣計算工件在夾具上的位置，本文將與工件的同一個定位基準表面接觸的多個定位元件進行組合，組合之后的定位元件作為一個特殊的定位元件處理，從而形成一類復合定位元件。復合定位元件的接觸表面由組成成員的接觸表面共同決定，接觸表面的幾何參數也由組成成員的接觸表面參數確定，復合元件直接裝配在夾具體的定位基準面上，復合元件的位置及其變動也相對于夾具坐標系確定。根據與工件的一個定位基準面接觸的全部定位元件合成一個復合定位元件這一條件，歸納出如表2所示的復合定位元件種類。CAD裝配模型包含了零件的裝配接觸信息，根據與工件同一定位面接觸的定位元件的幾何類型、相對位置就可以確定復合定位元件的類型和位置參數，從而使得定位元件的處理能通過程序自動進行。

復合定位元件的優(yōu)點是可以減少定位元件的幾何參數數量，并且對不同性質的參數分別進行處理。例如，定位元件的位置和定位元件的高度對工件定位精度的影響是不同的，在簡化計算時就可以忽略定位元件在夾具體上的位置變化，而只需考慮定位元件的高度變化。復合定位元件作為單一的零件裝配在夾具體上，對工件進行定位。經過處理之后，工件與夾具的裝配問題就分解成工件和定位元件裝配，然后定位元件再和夾具體進行裝配，而定位原件則包括復合定位原件和常規(guī)定位元件兩大類。這樣工件-夾具的裝配系統與機器模型的裝配系統完全一致，即可以利用一般機器的裝配模型求解定位原件在夾具體中的位置。

表2 復合定位元件的幾何參數

2.2 實際定位元件和工件的變動仿真

定位元件與工件都是機械零件，因此都需要通過概率抽樣得到零件實例。本文利用控制點變動模型[9]來抽樣生成零件幾何要素的實際位置和尺寸?？刂泣c變動模型將零件上需要仿真的幾何要素用具有規(guī)則邊界的替代幾何來表示，通過控制替代幾何的頂點位置來生成幾何要素的實例，而頂點位置則需要根據該幾何要素的公差指標以及它的誤差變動規(guī)律利用蒙特卡洛模擬方法生成。如平面要素用矩形邊界的平面作為替代幾何來表示其公稱表面，根據平面要素的變動規(guī)律來抽樣得到4個頂點的位置，從而模擬平面要素的位置變動情況。

本文假設工件定位基準，夾具體以及夾具定位元件的尺寸和位置變動均遵循正態(tài)分布規(guī)律，具體概率抽樣過程說明如下。假設零件某一平面要素的位置公差值為t，即假設表示該平面要素的替代矩形的3個頂點在-t/2～t/2的區(qū)間內呈正態(tài)分布規(guī)律，即頂點位置的正態(tài)分布函數如式(3)所示。

(3)

式中：x為頂點位置參數，σ為位置參數變動的均方差，其值為t/6，μ為頂點參數的平均值，可以設置其為0。概率抽樣的具體過程[10]為：首先利用隨機數函數生成均勻分布的、范圍在[-t/2，t/2]下的自變量x的值和范圍在[f(x-μ)，f(t/2)]下函數值p，然后根據f(x)與p的關系，確定x的取舍，這里取f(x) ≥p時x的值。在得到替代矩形上任意三個頂點的位置之后，第4個頂點則可以根據平面條件利用前3個頂點的位置計算出來。

3 定位誤差自動化分析軟件及其實例驗證

3.1 原型軟件介紹

原型軟件基于SolidWorks的二次開發(fā)API函數和VC++開發(fā)，該軟件由誤差傳遞關系圖建立模塊、公差處理模塊、定位元件處理模塊，控制點仿真模塊、裝配位置計算模塊和結果處理模塊組成。誤差傳遞關系圖模塊首先根據零件裝配關系建立零件之間的誤差傳遞關系圖，然后根據零件的裝配基準到定位基準或者目標要素之間的幾何要素公差關系建立零件內幾何要素之間的誤差傳遞關系圖。公差處理模塊根據幾何要素的尺寸公差和幾何公差生成幾何要素公差域以及公差變量之間的關系。定位元件處理模塊生成與同一個定位基準接觸的復合定位元件?？刂泣c仿真模塊根據幾何要素的幾何類型和公差域信息建立控制點變動模型，再根據公差變動規(guī)律生成替代幾何的實例。裝配位置計算模塊根據零件裝配順序和裝配接觸關系計算零件其次坐標變換矩陣的元素數值。結果處理模塊根據工件加工部位的幾何形狀建立輸出結果的數據格式，當前的版本只輸出幾何要素的控制點的變動結果，下一步要用常規(guī)的誤差表達形式進行表示。軟件的輸入為工件-夾具裝配模型，裝配模型中所有零件實體模型均標注尺寸公差和幾何公差，并且要求公差標注的格式正確。圖2為原型軟件的使用界面。

3.2 實例驗證

實例工件來自文獻[4]，其幾何形狀如圖3所示，實例的公差數值根據需要是本文添加的。這是一個軸承座，加工表面為軸承孔，加工精度要求為軸承孔相對于底面和側面的位置度公差。該軸承座的夾具定位方案采用3-2-1定位，如圖3所示，夾具體由1個平板和3個側定位銷組成，平板上安裝3個圓柱銷，另外3個側定位圓柱銷分別安裝在3個側定位支撐件上，3個底面定位銷的高度公差為0.2 mm，定位銷的位置度公差均為0.1 mm，這些公差數值均標在零件的實體模型上。

為了進行夾具定位誤差分析，首先需要將工件-夾具的三維裝配模型裝入，再調用自動計算程序，然后根據程序要求選擇要加工的表面，輸入仿真次數。程序根據加工部位的結構自動決定輸出結果的格式，對于當前實例，加工部位為一個圓柱，程序只輸出圓柱軸線2個端點的坐標值變動情況，分析結果如圖4所示。其中Vertex1為圓柱軸線的起點v1點的x、y、z坐標平均值，Vertex2為圓柱軸線終點v2的平均坐標值，兩個sigma值分別為兩端點v1和v2在偏離理想軸線位置的變動的標準差。

圖4的結果為仿真次數10 000次情況下取得的，通過改變仿真次數可以說明仿真次數的改變對計算結果的影響并不明顯，表3為不同仿真次數下的端點坐標值變動情況。

表3 仿真次數對計算結果的影響

根據文獻[4]給出的計算方法，筆者用手工對該定位方案的定位誤差進行了計算，軸承孔軸線兩端的坐標值變動結果為x1=50±0.58 mm，y1=50±1.14 mm，z1=50±0.95 mm，x2=50±0.58 mm，y2=50±0.94 mm，z2=50±0.85 mm。文獻[4]采用三維定位誤差的矩陣計算法分別考慮了工件在3個坐標軸方向的位移及轉動誤差，而本文采用控制點變動模型生成零件實例，并沒有考慮加工孔兩端點在其軸線方向上的變動，所以本文方法計算的兩端點v1、v2的z軸方向上的變動誤差為零。

4 結語

本文提出一種夾具定位誤差自動計算方法，該方法以工件-夾具系統的三維裝配模型為輸入，自動提取工件和夾具的公差信息，利用蒙特卡洛模擬方法生成工件和夾具概率抽樣實例，根據工件夾具裝配關系計算加工部位在工件上的位置，再利用概率統計方法，計算夾具定位誤差的概率統計結果。利用該方法在CAD軟件SolidWorks上開發(fā)了原型程序，該程序適用于常見的定位基準幾何類型、定位基準的各種組合形式和常見的加工部位幾何形狀。經過幾個簡單實例的驗證，定位誤差結果符合實際情況，說明本文的方法能夠自動進行夾具定位誤差計算。本文的方法不要求用戶進行大量的人機交互，也不需要使用者具有專門的夾具定位誤差計算知識，因此具有較好的應用價值。下一步將考慮更加一般化的定位基準和定位方案，并且增加對機床和刀具的誤差的考慮，研制更加通用化的計算程序。