淺論均勻帶電球冠和相切平面的電場等價(jià)性

朱中凱 劉親博 王睿博 朱欽圣 吳明和 滕保華

(電子科技大學(xué)1英才實(shí)驗(yàn)學(xué)院;2信息與通信工程學(xué)院;3物理學(xué)院;四川 成都 611731)

引言

電磁學(xué)教材及相關(guān)文獻(xiàn)[1]～文獻(xiàn)[7]中常常會討論不同帶電體電場的等價(jià)性問題,因?yàn)槔靡恍┑葍r(jià)關(guān)系可以使實(shí)際問題得以方便處理,如鏡像法[1-3]用等效的鏡像電荷替代原本問題的某些元素,從而可以將問題大為簡化。文獻(xiàn)[4]討論了兩種均勻帶電線以及兩種均勻帶電面的場強(qiáng)等價(jià)關(guān)系,但是只是考慮在圓心及球心的特定位置,文獻(xiàn)[5]～文獻(xiàn)[7]計(jì)算了均勻帶電球面上的電場強(qiáng)度,但沒有討論帶電球面和帶電平面間的場強(qiáng)等價(jià)關(guān)系。本文將討論均勻帶電球冠面和與之相切的均勻帶電平面在球面北極點(diǎn)的電場等價(jià)性,以及均勻帶電圓弧和與之相切的均勻帶電直線在圓環(huán)頂點(diǎn)處的不等價(jià)性,從而豐富不同帶電體電場的等價(jià)性問題的內(nèi)涵。

1 帶電面在球面北極點(diǎn)的電場關(guān)系

首先定義北極點(diǎn)P,它是球面O與QO延長線的交點(diǎn)(Q是平面與球面O的切點(diǎn)),然后利用測地投影法,可以建立球面上球帶與平面上圓環(huán)之間的對應(yīng)關(guān)系,如圖1所示。

圖1 帶電球冠面與帶電平面示意圖

若均勻帶電球冠面與均勻帶電平面相切于Q點(diǎn),電荷密度皆為σ,球面的半徑為R,則均勻帶電平面上內(nèi)半徑為r、外半徑為r+dr的圓環(huán)在北極點(diǎn)P處產(chǎn)生的場強(qiáng)為

而均勻帶電球冠面上與上述均勻帶電平面圓環(huán)相對應(yīng)的球帶在北極點(diǎn)P處的場強(qiáng)為

也就是說,電荷面密度相等的均勻帶電球帶和與之對應(yīng)的均勻帶電圓環(huán),在北極點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度完全等價(jià)。這就意味著均勻帶電球冠和與之對應(yīng)的均勻帶電圓盤在北極點(diǎn)的場強(qiáng)是等價(jià)的,即

利用上述結(jié)論,可以得到均勻帶電幾何球面上一點(diǎn)的場強(qiáng)。對于均勻帶電的幾何球面,其電場分布在該球面的鄰域內(nèi)不連續(xù),所以直接求解該點(diǎn)場強(qiáng)有一定困難,但是許多文獻(xiàn)計(jì)算了該點(diǎn)場強(qiáng)值收斂于。

其實(shí),由上述等價(jià)關(guān)系知道,一無限大均勻帶電平面和與之相切的均勻帶電球面在北極點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度完全等價(jià),在式(3)中取可得均勻帶電球面對該點(diǎn)的電場強(qiáng)度為,與無限大均勻帶電平面對該點(diǎn)的電場強(qiáng)度等價(jià)。

當(dāng)然,上述均勻帶電幾何球面也可以看成是均勻帶電薄球殼的極限情形。對于帶電量為Q,內(nèi)半徑為R1,外半徑為R2的同心帶電球殼,由高斯定理可以得到r處(R1≤r≤R2)的場強(qiáng)為

當(dāng)δ趨于無窮小時(shí)該球殼即趨于一個(gè)幾何球面,此時(shí)可得:

為了更加直觀起見,這里給出了均勻帶電球殼的場強(qiáng)與r的圖像,如圖2所示?？梢园l(fā)現(xiàn),當(dāng)R1與R2非常接近時(shí),場強(qiáng)大小E與r在R1＜r＜R2中近似呈線性關(guān)系,且E(R1)=0,E(R2)=,于是在r=(R1+R2)/2 處其場強(qiáng)大小為E(r)=,這就是均勻帶電幾何球面上的場強(qiáng)。

圖2 均勻帶電球殼的場強(qiáng)

2 帶電線在頂點(diǎn)處的場強(qiáng)關(guān)系

下面討論帶電直線和與之相切的帶電圓弧在圓環(huán)頂點(diǎn)的場強(qiáng)關(guān)系。如圖3所示,電荷線密度為λ1的帶電直線與電荷線密度為λ2半徑為R的帶電圓弧相切。

圖3 帶電直線和帶電圓弧示意圖

當(dāng)θ變化到θ+dθ時(shí),帶電直線上對應(yīng)線元dx,而帶電圓弧上對應(yīng)圓弧元ds,則線元在圓弧頂點(diǎn)P處產(chǎn)生的場強(qiáng)為

由幾何關(guān)系可以簡化為:

而圓弧元在圓弧頂點(diǎn)P處產(chǎn)生的場強(qiáng)為:

同樣利用幾何關(guān)系有

可以看出,若電荷線密度相等的均勻帶電線元和均勻帶電圓弧元,二者在相應(yīng)圓弧的北極點(diǎn)P處產(chǎn)生的場強(qiáng)是不等價(jià)的。只有當(dāng)電荷線密度滿足λ2=λ1cos2θ時(shí),帶電圓弧微元與帶電直線微元在相應(yīng)的圓弧頂點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)才是等價(jià)的。

結(jié)合文獻(xiàn)[4]可以得到,均勻帶電球冠面和與之相切的均勻帶電平面在球面北極點(diǎn)的電場是等價(jià)的,但是在球面圓心處的電場是不等價(jià)的;均勻帶電圓弧和與之相切的均勻帶電直線在圓環(huán)頂點(diǎn)處是不等價(jià)的,而在圓心處的電場是等價(jià)的,從而把不同帶電體電場的等價(jià)性問題進(jìn)行了拓寬和推廣。

3 結(jié)語

本文首先討論了均勻帶電球面微元與均勻帶電平面微元在球面北極點(diǎn)的電場等價(jià)關(guān)系,并應(yīng)用兩種面微元的電場等價(jià)性得出均勻帶電球面上的場強(qiáng),然后分析了均勻帶電圓弧微元與均勻帶電直線微元的不等價(jià)關(guān)系。結(jié)果表明,帶電面的場強(qiáng)等價(jià)性與帶電線的場強(qiáng)等價(jià)性的區(qū)別在于:對于北極點(diǎn),前者電荷密度相同則完全等價(jià),而后者需要引入隨夾角變化的電荷密度關(guān)系才等價(jià);對于圓心,后者電荷密度相同則完全等價(jià),而前者需要引入隨夾角變化的電荷密度關(guān)系才等價(jià)。