徑流過程分維數(shù)與其主要影響因素的定量研究

張 登，崔晨風，陳 剛，李云格

(西北農(nóng)林科技大學 水利與建筑工程學院， 陜西 楊凌 712100)

分形理論主要研究自然界的不規(guī)則現(xiàn)象及其內(nèi)在規(guī)律，其核心是自相似性，這種自相似性具有廣泛深刻的含義。而分維數(shù)正是衡量自相似性的定量參數(shù)，使定量描述復(fù)雜幾何形體成為可能。

在河川徑流的分形特征研究方面，2013年，Bunde Armin等討論了降水和河流流量的線性與非線性長期相關(guān)性及其對風險估計的影響。2014年，李建林等[1]提出R/S灰色預(yù)測模型，在徑流量預(yù)測領(lǐng)域更進一步。2015年，魏煒等[2]運用分形方法對廣西澄碧河水庫汛期進行分期，拓寬了分形應(yīng)用領(lǐng)域。2017年，Gires等[3]在城市水文學的特定背景下使用分形工具，分析了來自五個歐洲國家的10個城市或郊區(qū)集水區(qū)的地表和下水道數(shù)據(jù)。同年，姜英慧[4]在遼寧西部一區(qū)域采用分形理論定量化分析了其水文要素時空變異特征，做出一定研究成果。2018年，鄒寶裕等[5]通過計算徑流節(jié)點分形維數(shù),對徑流節(jié)點分形特征與侵蝕產(chǎn)沙的相關(guān)性進行了探究。2018年，García-serrana等[6]通過闡明分形方法的相關(guān)性，來了解表面粗糙度與陸上流型的關(guān)系。2018年，Gires等[7]在巴黎地區(qū)使用標度定律，更具體地使用通用多重分形來分析模擬地表徑流。2019年，王小杰等[8]以渭河流域為研究區(qū)域，采用Mann Kendall非參數(shù)檢驗、分形理論和R/S等方法分析渭河干流6個典型水文站多年徑流時空變化特征、持續(xù)性及兩者之間的關(guān)系。2019年，Gaidukova[9]探討了將一系列河流分形維數(shù)的相關(guān)類型與地表氣溫的氣候規(guī)范聯(lián)系起來的規(guī)律性。運用分形理論的研究頗多，但是，在運用分形方法來耦合環(huán)境因子并得出定量關(guān)系式，同時應(yīng)用到以表征植被覆蓋為主要指標的生態(tài)環(huán)境狀況方面的研究還顯不足，本文從此出發(fā)，希望做出一點貢獻。

徑流過程線的復(fù)雜程度可以用分維數(shù)來表示。而降水能顯著影響徑流過程，是影響徑流過程的首要自然因素[10-11]。同時，植被覆蓋率對河川徑流也有很大的調(diào)節(jié)作用, 森林植被能夠保持水土, 使分維數(shù)減小[12]。另一方面，植被覆蓋率是一個地區(qū)生態(tài)環(huán)境狀況的重要標志，具有一定的代表性[13]。可見，徑流過程分維數(shù)在很大程度上可以表征區(qū)域的生態(tài)環(huán)境狀況。海拔高度，地面坡度，地表巖性,土壤等因素也會對徑流過程產(chǎn)生影響[14]，但是在涇河流域內(nèi)，相對來說并不是主要因素，所以暫不予討論。綜上, 研究涇河流域徑流過程的分形特征并在此基礎(chǔ)上研究其與主要影響因素的定量關(guān)系，從而可以建立用分維數(shù)表征一個地區(qū)或同一地區(qū)不同年份的生態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系式，這存在理論上的可行性。

1 流域概況及資料來源

涇河是渭河的第一大支流，發(fā)源于寧夏六盤山腹地，地處陜甘寧邊界，全長455.1 km，流域面積45 421 km2，年平均徑流量2.140×109m3。涇河流域位于黃土高原中部(106°14′～108°42′E，34°46′～37°19′N)，深處大陸，為典型的溫帶大陸性氣候，處于溫帶半濕潤氣候向溫帶半干旱氣候的過渡地帶，冬季干旱少雨，夏季多暴雨。據(jù)流域各氣象站點多年觀測資料，流域多年平均氣溫8℃，年降水量在350 mm～600 mm之間，主要集中于夏、秋汛期季節(jié)的5月—9月，這段時間內(nèi)降水量可占年降水總量的72%～86%；冬春季降水稀少。

涇河流域水文站點眾多，如西峽、沙塘川、張家山等。通過觀察各測站的分布，發(fā)現(xiàn)張家山測站很好地反映了整個流域的徑流狀況。故在本文研究過程中，選用張家山站測得的水文資料作為研究對象。

本文選用的徑流數(shù)據(jù)為涇河流域張家山水文測站1982年—2016年共35 a的月均徑流數(shù)據(jù)，皆來自于已公布的水文年鑒；流域內(nèi)選用的環(huán)縣、崆峒、長武氣象站日降雨資料來自中科院水土保持研究所建立的黃土高原生態(tài)環(huán)境數(shù)據(jù)中心，同樣取1982年—2016年；選用的NDVI遙感圖像(1982年—2016年)來自于法國SPOT衛(wèi)星，空間分辨率為1 km，時間分辨率為10 d。

2 涇河分形特征

2.1 分維數(shù)的計算

關(guān)于分維數(shù)的計算研究頗多，比如，Gangepain提出的盒子法，Mandelbrot的隨機游走法以及Pentland的頻域法等。通過對比，本文決定采用伯恩公式。Bowen于1979年提出該法并應(yīng)用于計算類圓形的豪斯多夫維數(shù)[15]，具體介紹如下：

設(shè)Ψ是一個無孤立點的緊度量空間，f：Ψ→Ψ是一個連續(xù)滿射，同時f滿足開映射且均勻展開，在每一點的共形導(dǎo)數(shù)Df存在，那么

(1)Ψ的豪斯多夫維數(shù)等于它的高階或低階盒維數(shù);

(2) 對于w∈R我們可以定義f的w次冪動壓：

且Ψ的豪斯多夫維數(shù)等于P(w)的唯一零點。

計算結(jié)果見表1。

表1 張家山站年段徑流過程分維數(shù)

2.2 降水不均勻指標的計算及耦合分析

對降水年內(nèi)分配不均勻程度進行定量描述的研究有很多。近年來，有學者將不均勻系數(shù)、信息熵、集中度和集中期等指標單獨或組合使用來開展不同地區(qū)降水年內(nèi)分配特征的研究[16-17]，以下是對集中度和集中期的簡要介紹。

將各月的降水量數(shù)值看作向量的長度，而對應(yīng)的月份則當作向量的方向[18]，1月—12月的向量角度分別取 0°～330°，每月間隔30°，計算公式如下：

Rpc=arctan(Rxt/Ryt)

(2)

式中:Rti為第i月的降雨量；βi為第i個月的向量角度；Dpc為降水集中度；Rpc為降水集中期。當降水量平均分配在每個時段時，Dpc=0；當降水量集中于某一個時段時，降水集中度達到最大值，等于1。

經(jīng)過綜合分析，本文選用劉鑫[19]在遼寧省凌河流域降雨變化規(guī)律研究中使用的年內(nèi)分配不均勻系數(shù)，計算公式如下：

(3)

由于降雨數(shù)據(jù)皆是來自于中科院水土保持研究所黃土高原生態(tài)環(huán)境數(shù)據(jù)中心，公布之前經(jīng)過了嚴格的三性審查，故直接運用。為了表達流域內(nèi)整體的降水年內(nèi)分配情況，同時由于選用的三個氣象站點環(huán)縣、崆峒、長武在流域內(nèi)分布均勻，故決定用三個站點降水不均勻系數(shù)的平均值作為整個流域的降水不均勻系數(shù)以代表實際情況。運用公式(3)計算得到流域1982年—2016年的年降水分配不均勻系數(shù)見表2。

表2 年降水分配不均勻系數(shù)

可見流域內(nèi)降水的年際間不均勻程度有明顯的區(qū)別，這在一定程度上解釋了徑流過程年際間復(fù)雜程度的改變。進一步分析單一影響因子降水與徑流過程分維數(shù)的關(guān)系，以降水不均勻系數(shù)為橫坐標，相應(yīng)的徑流過程分維數(shù)為縱坐標，作相關(guān)分析見圖1。

圖1 分維數(shù)與降水不均勻系數(shù)關(guān)系圖

分析圖1，由擬合公式的系數(shù)為0.232 8可知，降水的年內(nèi)分配情況確實對年徑流過程的復(fù)雜程度產(chǎn)生了影響，且由相關(guān)系數(shù)為0.557 1知影響程度并不小。這與定性描述中提到的降水分配越不均勻，徑流過程越復(fù)雜一致。

2.3 NDVI的計算及耦合分析

將獲得的SPOT衛(wèi)星的NDVI遙感圖像導(dǎo)入Arc Map10.5，進行數(shù)據(jù)處理，得到了1982年—2016年涇河流域的年NDVI數(shù)據(jù)，見表3。

分析表3可知，流域內(nèi)的歸一化植被指數(shù)在年際間變化也較明顯，進一步分析歸一化植被指數(shù)表示的流域內(nèi)植被的覆蓋情況與徑流過程分維數(shù)之間的定量關(guān)系見圖2。

表3 涇河流域年NDVI系列

圖2 分維數(shù)與年NDVI關(guān)系圖

不難看出，圖2與定性分析的情況是一致的。年NDVI代表的是流域的植被覆蓋情況，年NDVI值越大，流域植被覆蓋越好，年徑流過程相對簡單，徑流分維數(shù)相對較小，所以是一種下降的趨勢。同時，可以看到?jīng)芎恿饔蚰陱搅鬟^程分維數(shù)與年NDVI的相關(guān)系數(shù)只有0.227 8，相關(guān)度不高，說明降雨對徑流過程的影響較流域植被覆蓋更大。

3 分維數(shù)與降水不均勻系數(shù)以及NDVI之間的定量關(guān)系及檢驗分析

3.1 定量關(guān)系的計算

對各結(jié)果采用平均值歸一化的方法進行處理，可消除由于不同類型數(shù)值統(tǒng)一處理而產(chǎn)生的誤差，結(jié)果見表4。

鑒于本論文之前所述，先假設(shè)涇河流域徑流過程分維數(shù)與降水不均勻性指標、年NDVI之間存在線性關(guān)系，然后進行檢驗。其線性模型為：

(4)

式中：y為年徑流過程分維數(shù)；x1為涇河流域降水不均勻系數(shù)；x2為該區(qū)域年NDVI；β0，β1，β2為回歸系數(shù)；ε為相應(yīng)于y的隨機誤差。

現(xiàn)根據(jù)1982年—2016年的35組數(shù)據(jù)(yi，x1i，x2i)，i=1,…,n；n=35，得：

(5)

記：

ε=[ε1…εn]T，β=[β0β1β2]T

所以，公式(5)可表示為：

表4 各指標歸一化結(jié)果

(6)

式中:En為n階單位矩陣。

接下來對因變量y與自變量x1和x2之間的線性關(guān)系進行檢驗，作如下假設(shè)：

H0∶βj=0(j=0,1,2)

(7)

當H0成立時，有：

m=2

(8)

式中：U為回歸平方和；Q為殘差平方和。

在MATLAB中，使用“regress”命令對年徑流過程分維數(shù)和降水不均勻系數(shù)、年NDVI進行線性擬合，用法為：

[b， bint，r， rint， stats]=regress(Y,X,α)

式中:Y為因變量矩陣;X為自變量矩陣;α為顯著性水平(缺省時設(shè)定為0.05)；b，bint為回歸系數(shù)估計值和置信區(qū)間；r，rint為殘差(向量)及其置信區(qū)間，stats是用于檢驗估計模型的統(tǒng)計量，有四個數(shù)值，第一個是R2，第二個是F值，第三個是與F對應(yīng)的概率p(α>p拒絕H0，模型成立)，第四個是殘差的方差s2。計算結(jié)果見表5。

表5 MATLAB擬合結(jié)果表(顯著性水平α為0.01)

當顯著性水平α為0.01時，檢驗參數(shù)stats：第二項F為8.003 1，查F的上側(cè)分位數(shù)F0.01(2,32)=5.336，F(xiàn)>F0.01(2,32)；第三項為0.001 5，有p<α=0.01，得到相關(guān)系數(shù)R為0.58的有效回歸模型為：

y=0.8887+0.2129x1-0.1016x2

(9)

式中:y為歸一化年徑流過程分維數(shù)；x1為歸一化年降水不均勻系數(shù)；x2為歸一化年NDVI。

3.2 檢驗分析回歸模型

分析所獲得的殘差，與原模型基本吻合。總體來說，多元線性回歸模型不錯，相關(guān)系數(shù)達到了0.58。比較用模型計算的涇河流域年徑流過程分維數(shù)和原計算的年徑流過程分維數(shù)見圖3。

圖3 回歸模型效果圖

觀察上圖，可知回歸模型效果還不錯，較好地與原計算序列符合。

分析多元線性回歸模型(公式(9))可知，降水年內(nèi)分配越不均勻，植被覆蓋越小，分維數(shù)就越大，徑流過程越復(fù)雜，這與研究過程中的定性描述是一致的。

4 結(jié) 論

本文利用涇河流域張家山水文站的月徑流資料，環(huán)縣、長武、崆峒氣象站的日降雨數(shù)據(jù)以及SPOT衛(wèi)星的NDVI遙感圖像，以年為單位，分析了1982年—2016年涇河徑流過程分維數(shù)與該流域降水不均勻系數(shù)、NDVI之間的關(guān)系。結(jié)果表明涇河流域徑流過程分維數(shù)與該流域降水不均勻系數(shù)呈正相關(guān)，而與NDVI呈負相關(guān)。降水年內(nèi)分配越不均勻，植被覆蓋越小，徑流過程越復(fù)雜，分維數(shù)也就越大，符合平常認知。另一方面，通過比較分維數(shù)與降水不均勻系數(shù)和分維數(shù)與NDVI的相關(guān)系數(shù)，分別為0.557 1和0.227 8，可知在涇河流域中降水對徑流過程的影響較流域植被覆蓋更大。