循環(huán)相關(guān)熵譜密度估計(jì)高效算法研究

李 輝

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 天津 300222)

1 引言

循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理理論產(chǎn)生于20世紀(jì)70年代，并在20世紀(jì)90年代得到迅速發(fā)展，已經(jīng)成為一種有效的信號(hào)處理方法[1–4]，其研究對(duì)象主要是針對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)中的一類特殊信號(hào)——其統(tǒng)計(jì)量具有周期性變化特征的非平穩(wěn)信號(hào)，即循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)。循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理方法引入循環(huán)頻率，從而在循環(huán)頻率和譜頻率構(gòu)成的雙頻圖中，很好地描述循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)的頻譜特征，已在通信領(lǐng)域[5–7]、機(jī)電設(shè)備故障診斷[8,9]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)的循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理理論基于信號(hào)的2階統(tǒng)計(jì)量，能夠較好地抑制高斯噪聲，但在處理非高斯噪聲(如Alpha穩(wěn)定分布噪聲)時(shí)，會(huì)造成性能衰退，甚至失效[10]。近年來，有效處理Alpha穩(wěn)定分布噪聲的信號(hào)處理方法，主要有基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量[11–14](Fractional Lower-Order Statistics, FLOS)方法和基于相關(guān)熵[15–17](correntropy) 的方法，而FLOS方法盡管能夠有效抑制脈沖噪聲的影響，但卻過度依賴于對(duì)信號(hào)噪聲Alpha值的先驗(yàn)知識(shí)或精確估計(jì)，因而限制了FLOS方法的應(yīng)用[10]。基于相關(guān)熵理論的循環(huán)相關(guān)熵方法是處理脈沖噪聲的另一種有效方法，已在雷達(dá)和通信信號(hào)檢測(cè)、信號(hào)濾波、波達(dá)方向估計(jì)和時(shí)延估計(jì)等方面得到應(yīng)用和驗(yàn)證，取得了良好效果[10]。但在已發(fā)表的相關(guān)文獻(xiàn)[18–21]中，循環(huán)相關(guān)熵譜密度估計(jì)還缺乏高效的估計(jì)算法，且循環(huán)相關(guān)熵譜密度的估計(jì)性能還有待進(jìn)一步提高和改進(jìn)。

循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理方法的有效應(yīng)用得益于高效的譜相關(guān)密度估計(jì)技術(shù)。譜相關(guān)密度估計(jì)常用的方法有循環(huán)相關(guān)圖和循環(huán)周期圖[22]。為了提高譜相關(guān)密度的估計(jì)效率和性能，學(xué)者們提出了多種估計(jì)算法[22–24]。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，譜相關(guān)密度計(jì)算方法已日臻成熟[24]。而基于循環(huán)相關(guān)熵的信號(hào)處理方法是最近幾年才提出的，循環(huán)相關(guān)熵譜密度的估計(jì)還沒有成熟的高效算法，大多采用巴西學(xué)者Fontes等人[20]提出的算法，該算法采用循環(huán)周期圖檢測(cè)(Cyclic Periodogram Detection, CPD)方法計(jì)算循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度，CPD算法采用多重嵌套循環(huán)語句計(jì)算循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度，存在計(jì)算效率低且計(jì)算方法復(fù)雜、占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存多的缺點(diǎn)，嚴(yán)重制約了循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度在信號(hào)處理領(lǐng)域的推廣應(yīng)用，因此，亟需探尋開發(fā)高效率、高頻譜分辨率的循環(huán)相關(guān)熵譜密度估計(jì)方法。

本文借鑒WVD時(shí)頻分析算法，提出了一種Correntrogram循環(huán)相關(guān)熵譜密度估計(jì)方法，該方法不僅提高了循環(huán)相關(guān)熵譜密度計(jì)算速度，而且大大提高了頻譜分辨率。本文簡(jiǎn)要介紹了Correntrogram算法的基本原理，推導(dǎo)了計(jì)算公式，給出了計(jì)算步驟，用仿真調(diào)幅信號(hào)對(duì)Correntrogram算法進(jìn)行了分析，并與CPD算法和直接算法進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了Correntrogram算法的高效性和可靠性，證明了該算法具有計(jì)算速度快、頻譜分辨率高、能量聚集性高的優(yōu)點(diǎn)。

2 循環(huán)相關(guān)熵簡(jiǎn)介

2.1 相關(guān)熵

2006年美國(guó)佛羅里達(dá)大學(xué)Principe教授研究團(tuán)隊(duì)[25–28]在綜合利用再生核和信息理論學(xué)習(xí)(Information Theoretic Learning, ITL)方法的基礎(chǔ)上，首次提出了廣義相關(guān)函數(shù)(Generalized Correlation Function, GCF)的概念，并將該廣義相關(guān)函數(shù)命名為相關(guān)熵(correntropy)。

對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X 和 Y ，它們的互相關(guān)熵(廣義相關(guān)函數(shù))可定義為

式中， κσ(·)表示滿足Mercer條件的核函數(shù)，如高斯核函數(shù)等，σ 為核函數(shù)的核長(zhǎng)。

在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為隨機(jī)過程具有時(shí)間遍歷性，因此可利用隨機(jī)變量的時(shí)間平均來對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于一組長(zhǎng)度為 N 的觀測(cè)樣本{ (xi,yi)}1，互相關(guān)熵的無偏估計(jì)為

對(duì)于隨機(jī)過程 x(t)，時(shí)變自相關(guān)熵(a u t o correntopy)可定義為

式中， τ為時(shí)間滯后量，κσ(·)可采用高斯核函數(shù)，其表達(dá)式為

式中，σ 為高斯核函數(shù)的核長(zhǎng)。

2.2 循環(huán)相關(guān)熵

2016年，大連理工大學(xué)邱天爽教授研究團(tuán)隊(duì)[19]將循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理方法和相關(guān)熵理論相結(jié)合，提出了循環(huán)相關(guān)熵的概念，給出了循環(huán)相關(guān)熵函數(shù)(Cyclostationary Correntropy Function, CCF)和循環(huán)相關(guān)熵譜密度(Cyclostationary Correntropy Spectral Density, CCSD)計(jì)算公式，并將其成功應(yīng)用于無線通信信號(hào)處理，該方法能從被非高斯噪聲污染的信號(hào)中提取有用信號(hào)的高階循環(huán)平穩(wěn)特征。

假設(shè)時(shí)變相關(guān)熵 Vxσ(t,τ)具有周期性，且周期為 T0， 對(duì)隨機(jī)過程x (t) 以T0為周期進(jìn)行采樣，則這樣的采樣值顯然滿足遍歷性，可以用時(shí)間平均將相關(guān)熵寫成

從式(5)可知相關(guān)熵 Vxσ(t,τ)是 關(guān)于時(shí)間t(固定τ)的周期為T0的函數(shù)，則有式(6)成立

可將式(8)表示為時(shí)間平均運(yùn)算符E [·]形式，即

在式(10)中，當(dāng) α =0 時(shí)，循環(huán)相關(guān)熵譜密度退化為傳統(tǒng)的功率譜密度。由于循環(huán)相關(guān)熵函數(shù)(α,τ)為廣義循環(huán)相關(guān)函數(shù)，因此，循環(huán)相關(guān)熵譜密度函數(shù)(α,f)也稱為廣義譜相關(guān)密度函數(shù)。

循環(huán)相關(guān)熵譜密度函數(shù)具有一種特殊的譜相關(guān)特性，在頻率 f處的循環(huán)相關(guān)熵譜密度值等于以頻率 f 為中心，上下各間隔處的譜分量互相關(guān)。利用這種獨(dú)特的譜相關(guān)特性，可以從非平穩(wěn)的干擾中將特定的循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)提取出來。

3 循環(huán)相關(guān)熵估計(jì)算法

3.1 CPD算法

2017年，巴西學(xué)者Fontes等人[20]提出了CPD方法，并基于CPD算法計(jì)算循環(huán)相關(guān)熵譜密度。CPD算法主要由以下5個(gè)步驟組成：

(1) 將信號(hào)平均分為 L段，每段采樣點(diǎn)數(shù)為 N;

(2) 計(jì)算每段數(shù)據(jù)的時(shí)變相關(guān)熵和信息勢(shì)；

(3) 計(jì)算每段數(shù)據(jù)的循環(huán)自相關(guān)熵函數(shù)；

(4) 計(jì)算循環(huán)自相關(guān)熵函數(shù)的均值；

(5) 計(jì)算循環(huán)自相關(guān)熵譜密度。

CPD算法的實(shí)質(zhì)是采用未重疊分段平均周期圖法，主要存在以下4個(gè)缺點(diǎn)：(1) 在計(jì)算時(shí)變相關(guān)熵、循環(huán)自相關(guān)熵函數(shù)和循環(huán)自相關(guān)熵譜密度時(shí)，均采用多重循環(huán)語句(Fontes等人[20]采用4重嵌套循環(huán)語句)計(jì)算，計(jì)算速度慢，占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存量大。(2) 在第1步將信號(hào) x分段時(shí)，采用非重疊的平均分段方法，即將信號(hào) x 分成互不重疊的 L段，不僅降低了頻率分辨率，而且估計(jì)的方差也比較大；(3) 在計(jì)算時(shí)變相關(guān)熵和循環(huán)自相關(guān)熵函數(shù)時(shí)，未使用任何窗函數(shù)，因此，在循環(huán)相關(guān)熵譜密度圖中存在比較嚴(yán)重的“頻譜泄漏”，易造成頻譜模糊和失真；(4) CPD算法只能計(jì)算一種非對(duì)稱形式的循環(huán)相關(guān)熵譜密度，不如對(duì)稱形式的循環(huán)相關(guān)熵譜密度更直觀、頻譜結(jié)構(gòu)特征更清晰。上述這些缺點(diǎn)嚴(yán)重制約了循環(huán)相關(guān)熵譜密度在信號(hào)處理領(lǐng)域的推廣應(yīng)用，因此，亟需探尋并開發(fā)高效率、高分辨率、更直觀的循環(huán)相關(guān)熵譜密度估計(jì)方法。

因相關(guān)熵和循環(huán)相關(guān)熵是最近幾年提出的一種信號(hào)處理方法，到目前為止，還沒有學(xué)者發(fā)表有關(guān)循環(huán)相關(guān)熵譜密度估計(jì)的有效方法方面的文章，因此，本文給出兩種計(jì)算循環(huán)相關(guān)熵譜密度的方法，一種是直接利用相關(guān)熵和循環(huán)相關(guān)熵的定義式(4)、式(9)和式(10)進(jìn)行計(jì)算，稱為直接算法，另一種是本文提出的Correntrogram算法，以便進(jìn)行計(jì)算效率性能對(duì)比。

3.2 直接算法

直接算法是首先根據(jù)式(4)和式(9)計(jì)算信號(hào)的相關(guān)熵譜密度函數(shù)(α,f)。

3.3 Correntrogram算法

信號(hào)x 的瞬時(shí)自相關(guān)函數(shù)Rx(t,τ)定義為

式中， ?表示共軛運(yùn)算符。

Wigner-Ville 分布(簡(jiǎn)稱WVD)是典型的二次型變換，它定義為信號(hào) x瞬時(shí)自相關(guān)函數(shù)Rx(t,τ)關(guān)于延時(shí)τ 的傅里葉變換[29]，即

若對(duì)x 的瞬時(shí)自相關(guān)函數(shù)Rx(t,τ)關(guān) 于時(shí)間t 作傅里葉變換，則得到模糊函數(shù)，即

式中，T0為 時(shí)變相關(guān)熵函數(shù)Vxσ(t,τ)的周期。

對(duì)于實(shí)信號(hào)x , Vxσ(t,τ)有以下3種形式：

(1) 對(duì)稱形式

(2) 非對(duì)稱形式1

(3) 非對(duì)稱形式2

式(15)—式(17)中，κσ(·)為核函數(shù)，本文采用高斯核函數(shù)。

借鑒功率譜估計(jì)中，通過計(jì)算信號(hào)相關(guān)函數(shù)的FFT，進(jìn)行功率譜估計(jì)的方法稱為相關(guān)圖(Correlogram)法，因此，將本文通過計(jì)算時(shí)變相關(guān)熵的FFT，進(jìn)行循環(huán)相關(guān)熵譜密度估計(jì)的算法，稱為相關(guān)熵圖(Correntrogram)算法。

3.4 Correntrogram算法實(shí)現(xiàn)步驟

根據(jù)2.3節(jié)的介紹，可以總結(jié)出Correntrogram算法估計(jì)循環(huán)自相關(guān)熵譜密度的步驟：

根據(jù)2.3節(jié)介紹的基本原理和上述步驟，借鑒時(shí)頻分析工具WVD實(shí)現(xiàn)程序，采用Matlab語言編寫了Correntrogram估計(jì)循環(huán)相關(guān)熵譜密度的程序。

4 仿真分析

用一個(gè)調(diào)幅信號(hào)來驗(yàn)證提出算法的有效性和正確性，仿真信號(hào)由以下信號(hào)成分組成

式中， f0為調(diào)制頻率，fc為 載波頻率，θ 為初始相位。取f0=10 Hz, fc=1024 Hz, θ =0。信號(hào)采樣頻率 fs=6000 Hz，信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)n =2048，通過該仿真信號(hào)，驗(yàn)證Correntrogram算法的性能，并與CPD算法和直接算法進(jìn)行性能對(duì)比。

4.1 Correntrogram算法仿真

圖1是仿真信號(hào)的時(shí)域圖及其FFT，在圖1(a)中能清晰看出調(diào)幅信號(hào)x (t)的幅值調(diào)制特征，在圖1(b)中能清晰識(shí)別調(diào)幅信號(hào)x (t)的載波頻率和調(diào)制頻率邊頻帶。運(yùn)用3.4節(jié)提出的信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜密度估計(jì)Correntrogram算法，按式(15)估計(jì)調(diào)幅信號(hào)x(t) 的循環(huán)相關(guān)熵譜密度(σ =0.1)，如圖2、圖3和圖4所示。圖2為循環(huán)相關(guān)熵譜密度函數(shù)的等高線圖，圖4為其3維圖，其雙頻譜圖為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。從圖2可以看出，調(diào)幅信號(hào)x (t)的頻譜主要分布在頻譜線f =±0.5α 與f =±fc的交點(diǎn)，以及頻譜中心(0,0) 和( ±2fc,0), ( 0,±fc)等 位置。調(diào)幅信號(hào)x (t)的循環(huán)相關(guān)熵譜在α =±2fc的位置存在明顯的譜峰，表明能準(zhǔn)確識(shí)別載波頻率 fc。為了能準(zhǔn)確識(shí)別調(diào)制頻率，洞悉循環(huán)相關(guān)熵譜密度函數(shù)的細(xì)微頻譜結(jié)構(gòu)，圖3給出了圖2中坐標(biāo)點(diǎn)( α,f)=(0,0)附近的局部放大圖，從圖3的中心部分可以看出，該部分為一個(gè)菱形頻譜區(qū)域，在由每相鄰4個(gè)點(diǎn)組成的小菱形中，小菱形對(duì)角線在平行于循環(huán)頻率軸 α方向的間隔為 2f0，而在平行于譜頻率軸f 方向的間隔為f0，這種譜圖結(jié)構(gòu)很好地刻畫了調(diào)幅信號(hào)x (t)的調(diào)制頻率f0， 表明能準(zhǔn)確識(shí)別調(diào)幅信號(hào)x (t)的調(diào)制頻率。

圖1 仿真調(diào)幅信號(hào)

圖2 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜(Contour圖)

圖5給出了調(diào)幅信號(hào)x (t)的廣義循環(huán)平穩(wěn)度圖，在圖5中，在 α=±2fc的位置也存在明顯的譜峰，表明能正確識(shí)別載頻頻率fc。圖6為圖5廣義循環(huán)平穩(wěn)度的局部放大圖，在循環(huán)頻率α =0 以 及α=±2fc譜峰兩側(cè)，能清晰顯示出調(diào)制頻率邊頻帶。因此，在廣義循環(huán)平穩(wěn)度圖中，能正確識(shí)別調(diào)制頻率f0。

采用本文算法計(jì)算調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜的運(yùn)行時(shí)間為0.937 s，程序運(yùn)行參數(shù)為：計(jì)算機(jī)型號(hào)intel i7-2600，雙核CPU 3.4 GHz，內(nèi)存3 GB, Windows XP操作系統(tǒng)，使用的軟件為Matlab R 2018b。

Correntrogram算法的循環(huán)頻率 α的分辨率?α=fs/n ，譜頻率f 的分辨率? f =fs/n，從圖2、圖3和圖4可以清晰看到，調(diào)幅信號(hào)x (t)的頻譜為相互獨(dú)立的頻譜點(diǎn)，具有很好的頻譜分辨率和頻譜能量聚集性，能清晰刻畫調(diào)幅信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)特征。另外，Correntrogram算法充分利用了Matlab語言高效的向量和矩陣運(yùn)算能力，其計(jì)算的復(fù)雜度為O(n×lg n)(n 為信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù))，因而Correntrogram算法計(jì)算速度很快。

圖7和圖8為采用CPD方法計(jì)算的調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜，其雙頻譜圖為一種非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，頻譜主要分布在 f =0.5α 及( 0,0), ( ±2fc,0) , ( 2fc,2fc)和(?2fc,?2fc)等位置，如圖7中點(diǎn)劃線繪出的六邊形區(qū)域。在圖7和圖8中，調(diào)幅信號(hào) x (t)的循環(huán)相關(guān)熵譜在α =±2fc的位置存在明顯的譜峰，表明CPD算法的計(jì)算結(jié)果能準(zhǔn)確識(shí)別載波頻率。圖9給出了圖7中坐標(biāo)點(diǎn) (α,f)=(0,0)附近的局部放大圖，從圖9的中心部分可以看出，其頻譜線為相互連通的區(qū)域，存在比較嚴(yán)重的“頻譜泄漏”現(xiàn)象，因而不能有效識(shí)別調(diào)幅信號(hào) x (t) 的 調(diào)制頻率f0。在圖8中，α=0處的頻譜線也連在了一起，說明CPD算法的頻譜能量聚集性較差。圖10給出了調(diào)幅信號(hào)x (t)采用CPD算法計(jì)算的廣義循環(huán)平穩(wěn)度圖，在循環(huán)頻率 α =0 以及α =±2fc譜峰兩側(cè)，不能正確顯示出調(diào)制頻率邊頻帶，因此，不能有效識(shí)別調(diào)制頻率f0。

圖3 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜局部放大圖

圖4 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜3維圖

圖5 廣義循環(huán)平穩(wěn)度

圖6 廣義循環(huán)平穩(wěn)度(局部放大)

圖7 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜Contour圖(CPD算法)

圖8 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜3維圖(CPD算法)

4.2 CPD算法仿真

為驗(yàn)證本文提出Correntrogram算法的高效性和高頻譜分辨率，與Fontes等人[20]提出的CPD算法進(jìn)行了對(duì)比。采用CPD算法計(jì)算調(diào)幅信號(hào)x (t)的循環(huán)相關(guān)熵譜的運(yùn)行時(shí)間為337.829 s，與Correntrogram算法相比，Correntrogram算法的計(jì)算速度比CPD算法快360.5倍。由于CPD算法采用4重循環(huán)語句計(jì)算譜相關(guān)熵密度，因此，其計(jì)算的復(fù)雜度為O(N4)( N為每小段數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)數(shù))，計(jì)算效率較低。

對(duì)比圖2、圖4與圖7、圖8可以看出：Correntrogram算法計(jì)算的循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度，在頻譜圖中是相互分離的譜峰，循環(huán)頻率 α的分辨率?α=fs/n為 2.93 Hz，譜頻率f 的分辨率?f =fs/n為2.93 Hz，頻譜分辨率高，無頻譜泄漏現(xiàn)象。而CPD方法計(jì)算的循環(huán)相關(guān)熵譜密度，取每小段數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)N =256，在頻譜圖中是互連的譜峰，存在比較嚴(yán)重的頻譜泄漏現(xiàn)象。循環(huán)頻率 α的分辨率?α=fs/n為 2.93 Hz，譜頻率f 的分辨率?f =fs/N為23.44 Hz，譜頻率分辨率較低；同時(shí)，由于在信號(hào)分段時(shí)未使用任何窗函數(shù)，因此，在循環(huán)相關(guān)熵譜密度圖中存在比較嚴(yán)重的“頻譜泄漏”現(xiàn)象，導(dǎo)致載波頻率 fc的 旁瓣掩蓋了調(diào)制頻率f0的譜峰，造成了頻譜模糊和頻率失真，因而不能正確識(shí)別f0=10 Hz的調(diào)制頻率。

圖9 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜(局部放大圖)

圖10 廣義循環(huán)平穩(wěn)度

4.3 直接算法仿真

直接利用相關(guān)熵和循環(huán)相關(guān)熵的定義式(4)、式(9)、式(10)和式(16)對(duì)式(18)的仿真信號(hào)x (t)進(jìn)行計(jì)算，為便于進(jìn)行性能對(duì)比，直接算法采用與CPD算法相同的頻譜分辨率。采用循環(huán)頻率 α的分辨率 ?α=fs/n 為2.93 Hz，最大延時(shí)τmax=128個(gè)數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)，譜頻率 f的分辨率? f =fs/(2τmax)為23.44 Hz。采用直接算法計(jì)算調(diào)幅信號(hào)x (t)的循環(huán)相關(guān)熵譜的運(yùn)行時(shí)間為174.594 s，與Correntrogram算法相比，Correntrogram算法的計(jì)算速度比直接算法快186.3倍，由于直接算法采用雙重循環(huán)語句計(jì)算循環(huán)相關(guān)熵譜密度，其計(jì)算的復(fù)雜度為O(n2)( n為信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù))，計(jì)算時(shí)間與頻譜分辨率?α 和? f 有關(guān)，? α 和? f越小，計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng)。

圖11和圖12為采用直接算法計(jì)算的調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜。從圖11和圖12可以看出，直接算法計(jì)算的頻譜結(jié)構(gòu)與CPD算法計(jì)算的頻譜結(jié)構(gòu)相同，因譜頻率f 的分辨率? f較低，因此，直接算法計(jì)算的調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜也不能有效識(shí)別信號(hào)x(t) 的調(diào)制頻率f0。

圖11 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜(Contour圖)

圖12 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜3維圖(直接算法)

Correntrogram算法不僅能計(jì)算式(15)所示的對(duì)稱形式高斯核的循環(huán)相關(guān)熵譜，而且也能方便計(jì)算式(16)、式(17)所示的非對(duì)稱形式的循環(huán)相關(guān)熵譜。圖13和圖14為根據(jù)式(16)計(jì)算的非對(duì)稱形式1高斯核的循環(huán)相關(guān)熵譜，圖15和圖16為根據(jù)式(17)計(jì)算的非對(duì)稱形式2高斯核的循環(huán)相關(guān)熵譜。從圖13、圖14和圖15、圖16可以看出，非對(duì)稱形式的循環(huán)相關(guān)熵譜為非對(duì)稱結(jié)構(gòu)。為便于與式(15)計(jì)算的對(duì)稱形式高斯核的循環(huán)相關(guān)熵譜進(jìn)行對(duì)比，圖17給出了圖13中坐標(biāo)點(diǎn) ( α,f)=(0,0)附近的局部放大圖，從圖17的中心部分可以看出，該部分為一個(gè)平行四邊形頻譜區(qū)域，平行于循環(huán)頻率軸 α方向兩個(gè)相鄰譜峰的間隔為 f0， 而平行于譜頻率軸f 方向相鄰譜峰的間隔也為f0，這種譜圖結(jié)構(gòu)也很好地刻畫了調(diào)幅信號(hào) x (t) 的調(diào)制頻率f0。對(duì)比圖2與圖13、圖15可知，對(duì)稱形式的循環(huán)相關(guān)熵譜圖(圖2)比非對(duì)稱形式的循環(huán)相關(guān)熵譜圖(圖13和圖15)更直觀，頻譜結(jié)構(gòu)特征更清晰。

圖13 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜(非對(duì)稱1)

圖14 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜3維圖(非對(duì)稱1)

圖15 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜(非對(duì)稱2)

圖16 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜3維圖(非對(duì)稱2)

圖17 調(diào)幅信號(hào)循環(huán)相關(guān)熵譜(非對(duì)稱1局部放大圖)

5 結(jié)束語

借鑒Wigner-Ville 分布方法，本文提出了一種循環(huán)相關(guān)熵譜估計(jì)的高效算法—Correntrogram，并與循環(huán)周期圖檢測(cè)(CPD)算法和直接算法進(jìn)行了對(duì)比，Correntrogram 算法克服了CPD方法計(jì)算效率低、頻譜分辨率低和易產(chǎn)生“頻譜泄漏”的缺陷。簡(jiǎn)單介紹了該算法的基本原理和實(shí)現(xiàn)步驟，并用Matlab語言編制了算法程序。通過仿真調(diào)幅信號(hào)驗(yàn)證了Correntrogram算法的性能，Correntrogram算法不僅能提高循環(huán)相關(guān)熵譜估計(jì)的計(jì)算速度，而且能有效提高頻譜分辨率，消除“頻譜泄漏”現(xiàn)象，因此，Correntrogram算法是一種循環(huán)相關(guān)熵譜估計(jì)的高效、可靠算法。