脈沖噪聲下一種自適應(yīng)ASR穩(wěn)健濾波方法

金 艷 李亞剛 姬紅兵

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 西安 710071)

1 引言

Alpha穩(wěn)定分布[1–3]是一類極具吸引力的脈沖信號模型，可以對水聲、雷達(dá)、地震等探測領(lǐng)域中，遇到的具有顯著脈沖性和厚重概率密度函數(shù)拖尾的噪聲進(jìn)行很好的描述，其特征指數(shù) α可表征噪聲脈沖 特性的強(qiáng)弱， α值越小，則分布的拖尾越厚，出現(xiàn)脈沖異常值的概率越大且其幅值越高，即噪聲的脈沖特性越強(qiáng)。但 α穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)缺乏統(tǒng)一的解析表達(dá)式，在實際應(yīng)用中受到很大的限制。此外，傳統(tǒng)的基于高斯模型的信號處理方法在脈沖噪聲下不再適用，已有學(xué)者提出分?jǐn)?shù)低階理論，中值濾波和基于 α穩(wěn)定分布特例的Myriad[4,5]濾波、Meridian[6]濾波等多種降噪方法，但在強(qiáng)脈沖噪聲下性能明顯下降。

對此，本文提出ASR(A SαS Robust)濾波方法，該方法基于M估計理論[7]，選取 ASαS(Approximate Symmetric alpha Stable)分布這一具有統(tǒng)一概率密度表達(dá)式的脈沖噪聲模型，構(gòu)造適用于脈沖噪聲背景的穩(wěn)健濾波代價函數(shù)簇。相比Myriad濾波和Meridian濾波均基于 α穩(wěn)定分布特例構(gòu)造的代價函數(shù)，本文構(gòu)造的代價函數(shù)簇適用的脈沖噪聲范圍更廣，且可利用代價函數(shù)求導(dǎo)所得的影響函數(shù)對ASR濾波方法進(jìn)行性能評估。ASR濾波器選取不同的線性度參數(shù)可實現(xiàn)不同的濾波效果，本文在缺乏噪聲先驗信息的情況下，采用閾值選擇法實現(xiàn)線性度參數(shù)的自適應(yīng)選擇。此外，從代價函數(shù)和影響函數(shù)兩個方面分析了Myriad濾波和Meridian濾波均服從本文提出的ASR濾波方法。

線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation, LFM)信號[8]，是一種典型的非平穩(wěn)信號，在聲吶、雷達(dá)等技術(shù)中有廣泛應(yīng)用。利用短時傅里葉變換[9](Short Time Fourier Transform, STFT)進(jìn)行時頻分析結(jié)合Hough變換[10]在時頻2維平面搜索，可以完成LFM信號的參數(shù)檢測與估計。但在強(qiáng)脈沖噪聲背景下，上述方法性能嚴(yán)重退化。因此，本文將ASR濾波方法推廣到時頻2維平面上，提出了可有效抑制脈沖噪聲的AS-FT(ASR STFT)方法，利用LFM信號參數(shù)估計的結(jié)果表明該方法的抑噪性能，研究ASR濾波方法的穩(wěn)健性。此外，需要說明的是，ASR濾波方法不僅適用于線性調(diào)頻信號，在脈沖噪聲環(huán)境下均可適用。

2 M估計原理

基于位置參數(shù)的最大似然估計是在M估計[11]基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一類重要的穩(wěn)健估計理論，其主要原理如下：

(1) 由背景噪聲概率密度函數(shù)構(gòu)造適當(dāng)?shù)拇鷥r函數(shù)

其中，pn(·)是 噪聲概率密度函數(shù)，e 為誤差函數(shù)。

式(2)也可以描述為

其中φ (e)為 影響函數(shù)[12]，可由F (e)關(guān) 于β 求導(dǎo)所得。

實際上，均值濾波、中值濾波、Myriad濾波和Meridian濾波，就是分別由背景噪聲為正態(tài)分布、拉普拉斯分布、柯西分布和廣乂柯西分布所構(gòu)造的代價函數(shù)得到的。表1為不同濾波器對應(yīng)的噪聲概率密度函數(shù)、代價函數(shù)和影響函數(shù)。

影響函數(shù)φ (e)可以描述濾波器輸出受異常值的影響程度，因而可用于穩(wěn)健估計器性能評價。

穩(wěn)健估計器影響函數(shù)的特征有：

(1) B 穩(wěn)?。喝粲绊懞瘮?shù)的絕對值是有界的，即異常值對濾波結(jié)果的影響有限，則稱該估計器為B穩(wěn)健。

(2) 抑制點：影響函數(shù)中心點到其值為極小時之間的距離稱為抑制點[12]，穩(wěn)健估計器此距離應(yīng)有限，抑制點可以反映估計器的異常值剔除能力。

如圖1所示，均值濾波的影響函數(shù)絕對值沒有上界，均值濾波顯然不是B穩(wěn)健的，且其抑制點為無窮大，不能剔除異常值；中值濾波、Myriad濾波和Meridian濾波均滿足 B穩(wěn)健條件，但中值濾波的抑制點為無窮大，濾波結(jié)果始終受異常值的影響；Myriad濾波和Meridian濾波的抑制點均有限，且影響函數(shù)隨著異常值的增大而減小。此外，Meridian濾波的影響函數(shù)衰減速率比Myriad快，因此Meridian濾波影響函數(shù)的抑制點更小，這表明Meridian濾波器比Myriad濾波器異常值剔除能力更強(qiáng)。

3 ASR濾波模型及AS-FT濾波方法

3.1 A SαS 分布

針對對稱 α穩(wěn)定分布不存在統(tǒng)一概率密度函數(shù)表達(dá)式這一問題，已有學(xué)者基于Fourier逆變換法、冪級數(shù)展開法和有限高斯混合法等，提出多種近似解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[13]基于脈沖噪聲概率分布拖尾的衰減特性，利用PDF和特征函數(shù)互為Fourier變換對的關(guān)系，采用非線性最小二乘曲線擬合與點匹配方法，提出一種冪級數(shù)形式的脈沖噪聲分布參數(shù)模型，即A SαS分布。

ASαS分布PDF表達(dá)式為

表1 常用濾波器的代價函數(shù)與影響函數(shù)

圖2為不同特征指數(shù) α所 對應(yīng)的A SαS分布和對稱 α穩(wěn)定分布的概率密度曲線對比圖。如圖所示，ASαS分 布與對稱α 穩(wěn)定分布的概率密度曲線相似性較高，當(dāng) α較小時，A SαS 分 布與對稱α 穩(wěn)定分布的概率密度曲線較為接近，能很好地反映分布的拖尾情況，且當(dāng) α =1.0 時，A SαS 分布與對稱α 穩(wěn)定分布的概率密度曲線拖尾完全重合。上述分析表明，具有統(tǒng)一形式概率密度表達(dá)式的 A SαS分布噪聲模型是對稱 α穩(wěn)定分布的有效近似，能很好地和實際脈沖噪聲數(shù)據(jù)相吻合。

3.2 ASR濾波模型及其代價函數(shù)選取

本文將脈沖噪聲建模為A SαS分布，根據(jù)式(1)和式(4)得到ASR濾波方法的代價函數(shù)簇為

其中，1 /a 為 線性度參數(shù)[14]，α 與 A SαS分布特征指數(shù)一致，均在區(qū)間( 0,2]取 值，α 不同代價函數(shù)不同，據(jù)此可構(gòu)造一簇濾波器。

圖1 均值濾波，中值濾波，Myriad, Meridian濾波影響函數(shù)

圖2 A SαS分 布與對稱α 穩(wěn)定分布PDF對比圖

穩(wěn)健估計器的性能可用影響函數(shù)來評估，ASR濾波方法的影響函數(shù)簇為

圖3為ASR濾波方法影響函數(shù)簇中不同α 對應(yīng)的影響函數(shù)，對比穩(wěn)健估計器影響函數(shù)的特征，可得出以下結(jié)論。

結(jié)論1：ASR濾波方法的影響函數(shù)簇中不同α 對應(yīng)的影響函數(shù)都為 B穩(wěn)健，且滿足抑制點條件。這表明ASR濾波方法的代價函數(shù)簇是穩(wěn)健的，據(jù)此可建立一簇穩(wěn)健濾波器。

結(jié)論2：α 越小時，其對應(yīng)的影響函數(shù)曲線的衰減率越高，抑制點越小，濾波器對異常值更穩(wěn)健。

沒過多久，因為換工作，我有幾個月沒事干，真可以到鄉(xiāng)間小住一陣。朋友把鑰匙拿來，讓我一個人在那兒修養(yǎng)身心，說是“換換腦子”。雖沒有湖，住的也不是木屋，但確實幽靜，也有大片的草地。不怎么有蛐蛐，但能聽到遠(yuǎn)處村子里的狗叫。每天，我都散步到幾百米外的小賣部買點吃的喝的，然后端著易拉罐啤酒坐在院子里聽狗叫。按理說，這是內(nèi)省的好時機(jī)，離開紅塵的喧囂，擦拭心靈上的灰塵，傾聽自己內(nèi)心的聲音。我安靜地坐在那里，聽到自己內(nèi)心的聲音卻是：“要是能上網(wǎng)該多好呀！”

ASR濾波方法參數(shù) α =1時，其代價函數(shù)簇和影響函數(shù)簇取值分別為

對比表1可知，ASR濾波器參數(shù) α=1時即為Myriad濾波器。

ASR濾波方法參數(shù) α =0時，其代價函數(shù)簇和影響函數(shù)簇取值分別為

對比表1可知，ASR濾波器參數(shù) α=0時即為Meridian濾波器。

由代價函數(shù)和影響函數(shù)可知，Myriad濾波和Meridian濾波服從本文提出的ASR濾波方法。本文選取的A SαS 分 布噪聲模型，解決了采用α 穩(wěn)定分布模型缺乏統(tǒng)一概率密度表達(dá)式的問題，可對不同強(qiáng)度的脈沖噪聲進(jìn)行模擬，因此ASR濾波方法可以將上述濾波器統(tǒng)一起來，構(gòu)建穩(wěn)健濾波的統(tǒng)一框架。

由結(jié)論2可知，當(dāng)α 越小時，其對應(yīng)的影響函數(shù)曲線衰減率越高，抑制點越小，濾波器更穩(wěn)健。因此，為解決中值濾波，Myriad濾波等在強(qiáng)脈沖噪聲環(huán)境下性能下降的問題，可從代價函數(shù)簇中選取α較小的代價函數(shù)，如α =0.5時的代價函數(shù)。

圖3 影響函數(shù)簇

3.3 線性度參數(shù)閾值選擇

1/a是 線性度參數(shù)，文獻(xiàn)[15]指出濾波器異常值剔除能力與線性度參數(shù)的選取有關(guān)，式(11)給出了1/a的表達(dá)式。

由式(11)可知，ASR方法中線性度參數(shù) 1 /a的選取與A SαS 分 布的特征指數(shù)α 相關(guān)，對于不同強(qiáng)度的噪聲，可根據(jù)式(11)確定線性度參數(shù)的取值以使濾波器具有最優(yōu)的異常值剔除能力。因此，將式(11)中取值與α 對 應(yīng)的 1/a稱為最優(yōu)線性度參數(shù)。

圖4和圖5分別為A SαS 分 布下線性度參數(shù)1 /a隨特征指數(shù) α變化的曲線圖和PCK均值圖。顯然，最優(yōu)線性度參數(shù)的獲取，需要知道噪聲先驗信息，即特征指數(shù)α 的值。

因此，本文在缺乏噪聲先驗信息的情況下，為實現(xiàn)線性度參數(shù)的自適應(yīng)選取，提出如下閾值選擇方案

其中， ψ0為門限值，PCK(Percentile Coefficient of Kurtosis)為峰度系數(shù)百分?jǐn)?shù)，由文獻(xiàn)[16]引入用于測量脈沖噪聲PDF的拖尾厚度，脈沖噪聲PDF拖尾厚度越大，脈沖特性越強(qiáng)。文獻(xiàn)[17]借助PCK提出一種閾值選擇(switching scheme)濾波機(jī)制。

圖4 A SαS分布最優(yōu)線性參數(shù)曲線圖

圖5 A SαS分布下PCK均值圖

由2.1節(jié)知，A SαS分布可看作具有統(tǒng)一形式概率密度表達(dá)式的對稱 α穩(wěn)定分布，因此本文用實測對稱α 穩(wěn)定分布下的PCK均值圖作為A SαS分布下的PCK均值圖。 A SαS 分布的PCK隨其特征指數(shù)α 的減小呈減小趨勢。借助此性質(zhì)，本文選取PCK作為自適應(yīng)參數(shù)，以實現(xiàn)在缺乏噪聲先驗信息的情況下對線性度參數(shù)的合理選取。圖5中 α=1對應(yīng)的PCK ≈0.2 ， 選取ψ0=0.2作為門限值，將特征指數(shù)劃分為α ≥1和 α <1兩部分，實現(xiàn)不同強(qiáng)度脈沖噪聲的劃分。

根據(jù)圖5中A SαS分布下PCK隨特征指數(shù)的變化曲線，與圖4中最優(yōu)線性度參數(shù)隨特征指數(shù)的變化關(guān)系知，當(dāng)特征指數(shù)α ≥1即 P CK ≥ψ0，可取線性度參數(shù)1 /a2=1.9901， 即α =1.5時的最優(yōu)線性度參數(shù)；當(dāng)特征指數(shù) α <1即P CK<ψ0，可取線性度參數(shù)1/a1=0.1851， 即α =0.5時的最優(yōu)線性度參數(shù)。

綜上，閾值選擇步驟可總結(jié)如下：

步驟 1 計算觀測信號的PCK

{ri|1} 為 觀測 樣本{ xi|1} 的 排 序 值ri≤ri+1，式中[ ·]表示取最近的整數(shù)值。

步驟 2 利用步驟1所得PCK選取線性度參數(shù)

3.4 AS-FT方法

將M估計推廣到STFT，則時頻平面上某點(n,k)所對應(yīng)STFT的M估計可由式(2)得

其中，γ (n,k,l)=x(n+l)exp(?j2πl(wèi)k/N)。

將A S R 濾波方法的損失函數(shù)簇FASR(e)=lg(1/a+|e|α+1)代入式(15)求導(dǎo)，再由式(3)，可得隱式方程

可用不動點迭代算法求解此方程，其步驟為

步驟 1 初始化：令 i=0，將含噪信號的STFT作為迭代初始值，記作S TFT(n,k)，即

步驟 2 計算第i次 迭代值

步驟 3 停止迭代

η為迭代停止門限值。

4 仿真實驗及分析

LFM信號的數(shù)學(xué)模型定義如下

其中，A ,f,k依次為信號的幅值、初始頻率和調(diào)頻斜率， T為信號時寬。本文仿真采用的LFM信號參數(shù)為：采樣頻率fs=1024 Hz， 初始頻率f0=50 Hz，調(diào)頻斜率 k =100 Hz/s， 采樣點數(shù)N =1024。 ASαS可看作具有統(tǒng)一形式概率密度表達(dá)式的對稱 α穩(wěn)定分布，因此本文利用對稱 α穩(wěn)定產(chǎn)生仿真的噪聲數(shù)據(jù)。但α 穩(wěn)定分布不存在有限的2階矩，常規(guī)信噪比SNR=10 lg(/)中 噪聲方差失去意義，因此定義廣義信噪比為

依照前文分析，選取ASR濾波方法代價函數(shù)簇中α =0.5時的代價函數(shù)，利用閾值選擇法選取線性度參數(shù)，采用AS-FT方法進(jìn)行濾波，并將AS-FT方法分別與基于Myriad濾波的STFT(MY-FT)，基于中值濾波的STFT(ME-FT)，分?jǐn)?shù)低階STFT(FL-FT)方法進(jìn)行對比。

圖6(a)為LFM信號的STFT時頻分布圖，由圖可見LFM信號在時頻域呈清晰的直線。圖6(b)—圖6(e)為特征指數(shù)α =0.8, G SNR=3 dB 的對稱α 穩(wěn)定分布噪聲下，對含噪信號采用不同方法時域濾波后進(jìn)行STFT得到的時頻分布圖。圖6(b)為含噪信號直接進(jìn)行STFT的時頻分布圖，LFM信號的時頻特性完全被脈沖噪聲淹沒，STFT方法在強(qiáng)脈沖噪聲的影響下，已經(jīng)完全失效；圖6(c)和圖6(d)分別為含噪信號在ME-FT和MY-FT方法下的時頻分布圖，可以看出ME-FT和MY-FT方法在強(qiáng)脈沖噪聲下濾波效果并不理想；從圖6(e)可知FL-FT方法相對ME-FT和MY-FT抑制噪聲的能力強(qiáng)，但時頻平面仍有噪聲殘留；圖6(f)為含噪信號在AS-FT方法下的時頻分布圖，與LFM信號在STFT方法下的時頻分布圖對比可知，AS-FT方法具有良好的脈沖噪聲抑制效果。

圖6 各種方法下時頻分布圖

本文采用歸一化均方根誤差(Normalized Root Mean Square Error, NRMSE)來進(jìn)一步分析脈沖噪聲下不同去噪方法的性能，經(jīng)過100次蒙特卡羅實驗，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 α= 0.8 LFM信號參數(shù)歸一化均方誤差圖

由圖7可知，當(dāng)α =0.8時，在強(qiáng)脈沖噪聲背景下，STFT方法完全失效，不能實現(xiàn)有效的參數(shù)估計；ME-FT方法和MY-FT方法，在GSNR=5 dB時仍不能實現(xiàn)脈沖噪聲的抑制；FL-FT在GSNR ≥4 dB時可實現(xiàn)LFM信號的初始頻率和調(diào)頻斜率的準(zhǔn)確估計；AS-FT在 G SNR ≥?3 dB時便可準(zhǔn)確估計LFM信號的初始頻率和調(diào)頻斜率。在上述脈沖噪聲背景下，STFT方法、ME-FT方法和MY-FT方法均不能實現(xiàn)LFM信號參數(shù)的有效估計；FL-FT方法和AS-FT方法的LFM信號參數(shù)估計性能隨著廣義信噪比的減小而降低，但與AS-FT方法相比FL-FT方法可以實現(xiàn)更低廣義信噪比下LFM信號參數(shù)的有效估計。

5 結(jié)論

Alpha穩(wěn)定分布缺乏統(tǒng)一的概率密度表達(dá)式，致使傳統(tǒng)的基于alpha穩(wěn)定分布特例的濾波方法脈沖抑制能力有限，為此本文詳細(xì)比較了 A SαS分布和對稱alpha分布的概率密度函數(shù)曲線和拖尾特性，采用A SαS分布作為噪聲模型，解決了alpha穩(wěn)定分布缺乏統(tǒng)一概率密度表達(dá)式的問題，且實現(xiàn)了不同強(qiáng)度脈沖噪聲的模擬。在此基礎(chǔ)上，提出ASR濾波方法，構(gòu)建了穩(wěn)健濾波的統(tǒng)一框架。理論分析和仿真結(jié)果表明，ASR自適應(yīng)穩(wěn)健濾波方法與Myriad濾波、中值濾波、分?jǐn)?shù)低階等穩(wěn)健濾波方法相比，能實現(xiàn)不同脈沖強(qiáng)度下的噪聲抑制。