脈沖噪聲下基于壓縮變換函數(shù)的LFM信號參數(shù)估計

金 艷 陳鵬輝 姬紅兵

(西安電子科技大學電子工程學院 西安 710071)

1 引言

線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation,LFM)信號是一種典型的非平穩(wěn)信號[1],由于其被截獲概率低、作用距離遠和分辨率高等特點在聲吶、雷達、通信等領(lǐng)域獲得廣泛應用[2]。LFM信號高精度的瞬時頻率和初始頻率估計在水下目標探測、雷達偵測以及地質(zhì)探測等方面扮演著重要角色。

最大似然(Maximum Likelihood, ML)估計法在實現(xiàn)LFM信號的檢測和參數(shù)估計中占有重要地位，這類方法估計精度高，但計算復雜，不利于信號實時處理。小波變換(Wavelet Transform, WT)是信號分析與處理的重要工具，文獻[3]研究了小波變換在LFM信號參數(shù)檢測和估計中的應用，提出了基于連續(xù)小波變換的LFM信號參數(shù)檢測方法。但小波基的選取較為復雜且小波變換的實時性能差[4]。文獻[5]提出了一種基于分數(shù)階傅里葉變換(FrFT)的信號檢測和參數(shù)估計方法。對LFM信號做不同階數(shù)的FrFT, LFM信號的能量聚集性會隨著階數(shù)的不同而改變，通過搜索FrFT域上的峰值即可實現(xiàn)信號的檢測和參數(shù)估計。

上述方法都是在高斯噪聲環(huán)境下進行信號的參數(shù)估計，在強脈沖噪聲環(huán)境下則性能下降甚至失效。對于此類非高斯脈沖噪聲， α穩(wěn)定分布噪聲模型能夠更好地描述。α 穩(wěn)定分布[6,7]具有更厚的拖尾和顯著的脈沖特性[8]，更符合具有尖峰脈沖特性的噪聲。但α 穩(wěn)定分布噪聲不存在有限的2階及高階統(tǒng)計量，因而傳統(tǒng)的信號參數(shù)估計方法在脈沖噪聲環(huán)境下性能嚴重退化。文獻[9]提出一種基于M估計[10]的穩(wěn)健濾波方法，構(gòu)建了Myriad[11]濾波器濾除脈沖噪聲。該方法可有效抑制噪聲，但濾波器權(quán)值的確定需采用迭代算法，在實際應用中其計算復雜度較高。文獻[12]提出的基于分數(shù)低階統(tǒng)計量(Fractional Lower Order Statistics, FLOS)的方法得到了廣泛應用，研究者在此基礎(chǔ)上提出了基于分數(shù)低階協(xié)方差算法[13]。但這種方法需要脈沖噪聲的先驗信息，且其階數(shù)的選取缺乏理論支撐。

針對上述問題，本文提出一種基于壓縮變換函數(shù)的信號參數(shù)估計方法。本文構(gòu)造了一種非線性壓縮變換函數(shù)，證明了函數(shù)變換前后LFM信號的初始頻率和調(diào)頻斜率信息不變。將經(jīng)過函數(shù)變換后的信號進行FrFT，根據(jù)推導出的FrFT域中峰值坐標和信號參數(shù)的關(guān)系，尋找變換域中的峰值點，實現(xiàn)信號參數(shù)的估計。該方法實現(xiàn)簡單，在強脈沖噪聲環(huán)境下也具有較好的性能，且不需要噪聲的先驗信息。

2 α脈沖噪聲模型

α穩(wěn)定分布沒有統(tǒng)一的概率密度表達式，通常采用特征函數(shù)對其進行描述

其中

sgn(t) 是符號函數(shù)。α 是特征指數(shù)，取值范圍是0<α<2 ，該參數(shù)決定了α 穩(wěn)定分布的脈沖強度，α值越小，脈沖性就越強。β 是對稱參數(shù)，決定了α穩(wěn)定分布的斜度，β =0 時為對稱α 穩(wěn)定分布(Symmetric α- Stable, S αS) 。γ 是分散系數(shù)，體現(xiàn)了樣本的分散程度。a 是 位置參數(shù)，當對稱α 穩(wěn)定分布滿足a =0 , γ =1 時 稱為標準α 穩(wěn)定分布。本文采用 S αS 為 噪聲模型。由于α 穩(wěn)定分布沒有2階及2階以上的統(tǒng)計量，不存在方差，因此采用廣義信噪比[14](Generalized Signal-to-Noise Ratio, GSNR)代替信噪比，G SNR的定義為

3 壓縮變換函數(shù)

在 α穩(wěn)定分布噪聲背景下，傳統(tǒng)的信號參數(shù)估計方法不再適用。為此，本文構(gòu)造了壓縮變換函數(shù)，使 α穩(wěn)定分布噪聲中的信號經(jīng)過該函數(shù)變換后具有有限的2階及高階統(tǒng)計量，同時信號的相位參數(shù)信息不發(fā)生改變。所構(gòu)造的函數(shù)為

其中σ >0是尺度變換參數(shù)。

圖1所示為式(5)中 f (x)函數(shù)對應的曲線圖。由圖1可以看出，所構(gòu)造函數(shù)是奇對稱的且具有非線性特性。該函數(shù)在零點附近近似線性，其中參數(shù)σ決定了近似線性區(qū)間的大小，σ 越大，近似線性區(qū)間也越大。若參數(shù) σ取值過大，則相當于對信號做線性變換，無法抑制大幅值脈沖。當 σ過小時，可抑制噪聲的大幅值脈沖，但也會對信號產(chǎn)生過壓縮，致使丟失信號的參數(shù)信息。此外，隨著參數(shù)σ的減小，函數(shù)的中心點到函數(shù)極小值之間的距離減小，表明該函數(shù)對異常值處理的能力增強，對脈沖噪聲具有更強的穩(wěn)健性。

圖1 不同尺度變換參數(shù)對應的壓縮變換函數(shù)波形

圖2 不同尺度變換參數(shù)下信號估計誤差

FLOS方法已被證明選擇合適的階數(shù)時可有效抑制 α穩(wěn)定分布噪聲[12,15]，使含噪信號具有有限的2階矩，從而后續(xù)可采用常規(guī)2階統(tǒng)計量方法完成信號參數(shù)的估計。相比于分數(shù)低階函數(shù)g (x)=x，壓縮變換函數(shù)f (x)若在近似線性區(qū)間具有更緩慢的上升趨勢，且 f(|x|)的 函數(shù)值小于g (|x|)的函數(shù)值，則f (x)能夠更有效抑制大幅值脈沖噪聲。本文提出以下命題并加以證明。

證明設(shè) x,y 的 聯(lián)合概率密度函數(shù)為fXY(x,y)，由式(5)可得

由于聯(lián)合概率密度函數(shù) fXY(x,y)≥0，所以只需證明在? ∞

所以只要證明 0 ≤x,y <+∞時不等式成立即可，當0 ≤x,y <+∞時原不等式可化為

由均值不等式可知，當 0

命題2LFM信號 s (t)經(jīng)過壓縮變換后，幅值發(fā)生變化，相位信息不變。

證明設(shè)LFM信號 s (t)=Aexp(j2πft+jπkt2)，A為信號幅度，f 為信號初始頻率，k 是調(diào)頻斜率。

由式(14)可知命題2得證。即經(jīng)過變換后信號s (t)僅幅值發(fā)生變化，信號的初始頻率 f和調(diào)頻斜率k 并未發(fā)生改變。

4 基于CT的參數(shù)估計方法

4.1 LFM信號的參數(shù)表示

FrFT是傅里葉變換的一種廣義化形式[16]。FrFT可以看作將信號由時間軸逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度到u 軸上的表示[17]。連續(xù)信號x (t)的FrFT定義為

其中， φ為旋轉(zhuǎn)角度，p 為階數(shù)，且φ =pπ/2 , Fp[?]代表階次為p 的FrFT運算，Kφ(t,u)為核函數(shù)[18]。

將LFM信號s (t)=exp(j2πf0t+jπk0t2)代入式(15)中，可得LFM信號的FrFT為

由式(17)可見，當2 πf0?ucscφ0=0時，LFM信號在FrFT域中有能量聚集。

綜上，當2 πf0=ucscφ0,?2πk0=cotφ0時，LFM信號在FrFT域形成一個峰值，根據(jù)峰值坐標(p0,u0)可以得到LFM信號參數(shù)的估計。LFM信號參數(shù)表示為

由命題2可知，LFM信號經(jīng)過壓縮變換后，初始頻率和調(diào)頻斜率信息不發(fā)生改變。

4.2 參數(shù)估計方法

x(t)

信號 是脈沖噪聲環(huán)境下的LFM信號，即

s(t)為 LFM信號，n (t)是 α 穩(wěn) 定分布脈沖噪聲。xCT(t)是信號x (t)經(jīng)過壓縮變換后得到的信號，即

如圖3(a)所示，在 G SNR=2 dB的脈沖噪聲環(huán)境下，信號x (t)的FrFT域中有多個峰值，無法得到信號參數(shù)的估計。圖3(b)是信號x (t)經(jīng)過壓縮變換函數(shù)后xCT(t)的FrFT，圖中只有1個峰值點，則根據(jù)式(18)由峰值坐標便可得到信號的初始頻率和調(diào)頻斜率。

對于信號x (t)，經(jīng)過壓縮變換函數(shù)后，脈沖噪聲被抑制，通過計算xCT(t)不同階次的FrFT，可以得到以 p,u為坐標軸的3維圖，尋找3維圖中的峰值點坐標( p,u)， 根據(jù)p 與φ 的關(guān)系結(jié)合式(18)就可求得LFM信號的初始頻率和調(diào)頻斜率。

5 仿真實驗與結(jié)果分析

圖3 脈沖噪聲環(huán)境下信號的FrFT

本文仿真采用的LFM信號參數(shù)為：初始頻率f0=150 Hz ，調(diào)頻斜率k0=100 Hz/s，采樣頻率fs=1024 Hz ，采樣點數(shù)N =1024。噪聲環(huán)境為加性標準S αS分布噪聲。

5.1 方法性能比較

如圖4所示，在α =0.8, G SNR=?2 dB的對稱α穩(wěn)定分布噪聲下，分別采用本文方法CT-FrFT和基于分數(shù)低階統(tǒng)計量方法FLOS-FrFT以及基于Myriad濾波器的方法MY-FrFT對含噪信號進行處理并對比。

圖4(a)是沒有噪聲干擾時LFM信號的FrFT3維圖，可以看出，圖中有1個明顯的峰值，根據(jù)峰值坐標便可得到信號的初始頻率和調(diào)頻斜率。圖4(b)是脈沖噪聲下LFM信號的FrFT3維圖，由圖可知，由于脈沖噪聲的存在，圖中有多個峰值點，所以無法得到信號的參數(shù)信息。圖4(c)采用分數(shù)低階方法FLOS-FrFT( m=0.2)得到的FrFT3維圖，由圖可知，此時噪聲已被抑制，雖然仍殘余干擾，但最大峰值點與圖4(a)一致，進而可得到信號參數(shù)信息。圖4(d)是采用基于Myriad濾波器方法MY-FrFT所對應的FrFT3維圖，圖中存在多個峰值，無法確定最大峰值點是否為信號參數(shù)對應的峰值點，所以不能對信號參數(shù)進行估計。圖4(e)是采用本文CT-FrFT方法得到的信號FrFT3維圖，由圖可以看出脈沖噪聲被抑制，且只存在1個清晰的峰值，與圖4(a)相比，其幅值降低，但坐標值并未發(fā)生變化，從上文推導分析可知此時信號的參數(shù)信息并未發(fā)生改變，仍可得到信號的中心頻率和調(diào)頻斜率。綜上，CT-FrFT方法具有良好的脈沖噪聲抑制效果，且性能優(yōu)于分數(shù)低階統(tǒng)計量FLOS-FrFT和MY-FrFT兩種方法。

圖4 不同方法下信號的FrFT

圖5 α =0.8 LFM信號參數(shù)估計誤差圖

5.2 參數(shù)估計及性能分析

本文采用歸一化均方根誤差(Normalized Root Mean Square Error, NRMSE)來評價 α穩(wěn)定分布噪聲下不同抑噪方法的性能。在不同的廣義信噪比下，經(jīng)過200次蒙特卡洛實驗，所得結(jié)果如圖5和圖6所示。

由圖5可知，MY-FrFT方法在 α =0.8的 α 穩(wěn)定分布噪聲情況下，在 GSNR ≥1 dB時可以估計出LFM信號的參數(shù)。FLOS-FrFT方法在α =0.8的脈沖噪聲環(huán)境下，當 GSNR ≥?1 dB時可以實現(xiàn)對LFM信號的參數(shù)的估計，當小于? 1 dB時估計性能下降。CT-FrFT方法在G SNR ≥?2 dB時可以實現(xiàn)對LFM信號中心頻率和調(diào)頻斜率的估計。

由圖6可知，在 α=1.5 的 α 穩(wěn)定分布噪聲情況下，MY-FrFT方法在G SNR ≥?1 dB時可以實現(xiàn)對LFM信號的參數(shù)的準確估計；FLOS-FrFT方法當GSNR ≥?2 dB時可以實現(xiàn)對LFM信號的參數(shù)的準確估計；CT-FrFT方法在G SNR ≥?4 dB時可以實現(xiàn)對LFM信號的中心頻率和調(diào)頻斜率的準確估計。

比較圖5和圖6可知，采用CT-FrFT方法可以在低廣義信噪比下，強脈沖噪聲環(huán)境中實現(xiàn)信號中心頻率和調(diào)頻斜率的估計，隨著脈沖強度的增大，所采用幾種參數(shù)估計方法的性能均下降，但CTFrFT方法的性能始終優(yōu)于其它方法。

6 結(jié)論

針對傳統(tǒng)的LFM信號參數(shù)估計方法在脈沖噪聲環(huán)境下性能退化的問題，本文提出了一種可在α脈沖噪聲環(huán)境下有效估計信號參數(shù)的新方法。該方法從抑制大幅值脈沖噪聲，保留信號相位信息的角度出發(fā)，構(gòu)建了一種新的壓縮變換函數(shù)，并理論推導和證明了含噪信號經(jīng)過壓縮變換后具有有限的2階及高階統(tǒng)計量。通過對含有脈沖噪聲的信號進行壓縮變換處理，然后進行分數(shù)階傅里葉變換，即可完成信號的參數(shù)估計。仿真結(jié)果表明，本文方法與基于分數(shù)低階統(tǒng)計量、Myriad濾波器等方法相比，能夠更好地抑制不同脈沖強度下的噪聲，進而實現(xiàn)信號參數(shù)估計，且性能更優(yōu)。

圖6 α =1.5 LFM信號參數(shù)估計誤差圖