挖掘基本模型 探求問題本質(zhì)*

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍 宇

在高考題中,關(guān)于立體幾何的考察一般都是“兩小”(選擇或填空)“一大”(解答題).在歷年的高考題中,出現(xiàn)了一大批經(jīng)典的好題.筆者為了給高三復(fù)習(xí)準(zhǔn)備資料,特意梳理了一下,發(fā)現(xiàn)2009年全國卷理科第8 題是一道難得的好題,筆者從模型化的角度對該問題進(jìn)行了深度的分析,現(xiàn)將研究的過程整理如下,以饗讀者.

一、引例

題目(2009年高考全國卷理科第8 題) 如圖1, 正方體ABCD ?A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F,且EF=則下列結(jié)論中錯誤的是( )

A.AC⊥BE

B.EF//平面ABCD

C.三棱錐A ?BEF的體積為定值

D.異面直線AE,BF所成的角為定值

分析本題是在正方體的基礎(chǔ)上,考察線面的位置關(guān)系,三棱錐的體積問題以及異面直線的夾角問題.該圖形是學(xué)生所熟知的圖形,考察的知識點也是平時教學(xué)的重點內(nèi)容,但是又穩(wěn)中有變,四個選項均是在E,F運(yùn)動的狀態(tài)下進(jìn)行判斷的結(jié)論.該題可求解的方法很多,即可使用傳統(tǒng)幾何法,也可使用向量法進(jìn)行求解.

解析點E在運(yùn)動的過程中,直線BE形成的“軌跡”?平面BDD1B1, 顯然AC⊥平面BDD1B1, 故選項A 是真命題.

點E,F在運(yùn)動的過程中,EF始終?B1D1,在立方體中,B1D1//平面ABCD顯然成立,故選項B 是真命題.

根據(jù)三棱錐的體積公式VA?BEF=· S?BEF ·dA?BEF, 其中面BEF= 平面BDD1B1, 故點A到平面BEF的距離等于點A到平面BDD1B1的距離, 即有dA?BEF=考慮?BEF, 其面積為:S?BEF=·dB?EF,顯然可知BB1⊥EF,故dB?EF=BB1=1,則有S?BEF=帶入體積公式即有V=為定值,故選項C 是真命題.______

圖2

關(guān)于選項D, 本文僅介紹傳統(tǒng)幾何法, 關(guān)于異面直線的夾角, 一般通過平行關(guān)系, 平移一條直線與另一條直線相交, 將原問題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角問題.具體操作如下: 如圖2, 連接BD與AC交于點O, 連接OE,顯然可得EFBO為平行四邊形,故有BF//OE.異面直線AE,BF所成角的大小為: ∠AEO,考慮?AEO,AO⊥OE,tan ∠AEO=其中OE為變量, 故異面直線AE,BF所成的角不是定值,選項D 錯誤.

二、總結(jié)模型,探究本質(zhì)

本題以正方體為背景,而其中的很多邊在解題過程中并沒有涉及,為了探求其本質(zhì)特征,現(xiàn)去掉其多余的邊,僅保留題目涉及到的圖形,具體如圖3.原題干改編如下:

已知空間中的兩條異面直線AB與B1D1的夾角為兩者之間的距離為1,AB= 1,B1D1=√E,F為B1D1上的動點, 且EF=(上述信息丟失了BB1⊥B1D1).在該背景下,上述四個選項(除選項A 外)的判斷方式不變.再觀察可知,B1D1主要提供位置信息,其長度信息在判斷的過程中意義不大.

圖3

為此, 我們提出更一般的模型: 如圖4, 已知空間中的兩條異面直線l1與l2的夾角為θ, 兩者之間的距離為t,A,B是l1上的動點,E,F是l2上的動點, 且AB=m,EF=n.接下來,我們僅考慮三棱錐A ?BEF的體積問題,其他三個選項均與位置信息相關(guān),本文不在探討.

圖4

分析本題涉及到的動點較多,先固定點A,B,由點B為一個定點, 由點B及直線l2可確定唯一一個平面, 記為平面α, 由點A也為定點, 則可得點A到平面α的距離為定值, 即可得三棱錐A ?BEF的高為定值, 在平面α內(nèi),點B到直線l2的距離也為定值, 且EF也為定值, 即可得?BEF的面積為定值,根據(jù)體積公式:V=可知三棱錐A ?BEF的體積為定值.接下來固定點E,F,讓點A,B作為動點,同理可知三棱錐A ?BEF的體積為定值.那這個定值具體是多少呢?

為了便于計算, 移動點B,F使得BF為直線l1,l2的公垂線,如圖5,過點B做l2的平行線l3,記由點B及直線l2所構(gòu)成的平面為α,過點A作l3的垂線,垂足為D,根據(jù)三垂線定理易得AD⊥平面α.

圖5

在三棱錐A ?BEF中,dA?BEF=AD=nsinθ,S?BEF=帶入體積公式即可得:V=

根據(jù)上面總結(jié)的模型,我們可以編制出如下的變式供讀者練習(xí).

變式1如圖6-1, 在長方體ABCD ?A1B1C1D1中,AD=2,AB=BB1=1,線段B1D1上有兩個動點E,F,且EF= 1,求三棱錐A ?BEF的體積.

圖6 -1

變式2如圖6-2, 在長方體ABCD ?A1B1C1D1中,AD=2,AB=BB1= 1, 線段B1D1上有兩個動點E,F, 且EF= 1,線段AB上有兩個動點P,Q, 且PQ=求三棱錐P ?QEF的體積.

圖6 -2

變式3如圖6-3,平行六面體ABCD ?A1B1C1D1的體積為2,底面ABCD為矩形,AD= 2,AB=BB1= 1, 線段B1D1上有兩個動點E,F, 且EF= 1,線段AB上有兩個動點P,Q, 且PQ=求三棱錐A ?BEF的體積.

圖6 -3

三、探究該模型下的面積問題

在原問題背景下, 三棱錐A ?BEF的體積為定值, 那么它的表面積是否為定值呢? 根據(jù)上面的分析, 可以得到?AEF, ?BEF的面積分別為定值.現(xiàn)考慮?EAB以及?FAB,其中A,B為定值,只需考慮點E,F到直線AB的距離.

如圖7, 過點E,F分作BD的垂線, 垂足為E1,F1, 過點E1,F1分別做AB的垂線,垂足為E2,F2,連接EE2,FF2.根據(jù)三垂線定理,EE2,FF2分別為點E,F到直線AB的距離.

圖7

設(shè)F1F2=x,考慮梯形E1E2F2F1,可得E1E2=x+根據(jù)勾股定理:EE2=原問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f(x) =的最值問題.

顯然可得f(x)為增函數(shù),當(dāng)x=0 時,f(x)取到最小值為+1, 結(jié)合題目的背景, 當(dāng)x=時,f(x)取到最大值為則有三棱錐A ?BEF的表面積的范圍是

在一般模型下, 易知對應(yīng)的三棱錐的表面積無最大值,我們僅考慮一般模型下, 表面積的最小值問題.即如圖4,已知空間中的兩條異面直線l1與l2的夾角為θ, 兩者之間的距離為t,A,B是l1上的動點,E,F是l2上的動點, 且AB=m,EF=n.求三棱錐A ?BEF的表面積的最小值.

圖8

仿照上面的分析過程, 我們可以先固定點A,B, 僅考慮點E,F為動點的情況.求得最小值后, 再固定E,F, 讓點A,B為動點.具體操作如下: 如圖8,過點B做l2的平行線l3,記由直線l1與直線l3所構(gòu)成的平面為β,過點E,F分作平面β的垂線,垂足為E1,F1,過點E1,F1分別做AB的垂線,垂足為E2,F2,連接EE2,FF2.根據(jù)三垂線定理,EE2,FF2分別為點E,F到直線AB的距離.

設(shè)F1F2=x, 考慮梯形E1E2F2F1, 可得E1E2__=x+msinθ, 根據(jù)勾股定理:EE2=FF2=原問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f(x) =的最小值問題.

顯然可得f(x) 為增函數(shù), 當(dāng)x= 0 時,f(x) 取到最小值為接下來, 固定點E,F, 移動點A,B, 同理可得在相同的狀態(tài)下取得表面積的最小值.三棱錐A ?BEF表面積的最小值為:

根據(jù)上面總結(jié)的模型,我們可以編制出如下的變式供讀者練習(xí):

變式4如圖9-1, 在長方體ABCD ?A1B1C1D1中,AD=2,AB=BB1=1,線段B1D1上有兩個動點E,F,且EF= 1,求三棱錐A ?BEF表面積的最小值.

圖9 -1

變式5如圖9-2, 在長方體ABCD ?A1B1C1D1中,AD=2,AB=BB1= 1, 線段B1D1上有兩個動點E,F, 且EF= 1,線段AB上有兩個動點P,Q, 且求三棱錐P ?QEF的體積.

圖9 -2

變式6如圖9-3,平行六面體ABCD ?A1B1C1D1的體積為2,底面ABCD為矩形,AD= 2,AB=BB1= 1, 線段B1D1上有兩個動點E,F, 且EF= 1,線段AB上有兩個動點P,Q, 且求三棱錐A ?BEF的體積.

圖9 -3

四、應(yīng)用該模型

例1(2020 屆佛山二模第11 題)已知A,B,C是球O的球面上的三點,∠AOB=∠AOC=60?,若三棱錐O?ABC體積的最大值為1,則球O的表面積為( )

A.4πB.9πC.16πD.20π

分析本題的常規(guī)解法是選擇恰當(dāng)?shù)幕玖?選擇合適的底面與高.本題若選擇以C為頂點, 對應(yīng)的計算量較小.若選擇以點O為頂點,則對應(yīng)的計算量較大.本文通過上面總結(jié)的模型進(jìn)行求解,直擊問題的本質(zhì).

解析如圖10, 考慮異面直線OA與BC, 設(shè)球O的半徑為r,則有OA=r,BC為2x.設(shè)直線OA與BC間的距離為h, 結(jié)合圖形的對稱性可知,設(shè)AC,OB的中點為E,F, 則有h=_EF,根據(jù)上文總結(jié)的模型可知VO?ABC=根據(jù)基本不等式:當(dāng)且僅當(dāng)x=時, 等號成立.對應(yīng)的體積的最大值為VO?ABC== 1,由此可得r= 2,對應(yīng)的外接球的表面積為16π.

圖10

例2(2020年安徽省“江南十校”綜合素質(zhì)檢測第12題) 如圖11, 在平面四邊形ABCD中, 滿足AB=BC,CD=AD,且AB+AD=10,BD=8,沿著BD把ABD折起, 使點A到達(dá)點P的位置, 且使PC= 2, 則三棱錐P ?BCD體積的最大值為( )

圖11

解析根據(jù)上面的模型, 選擇異面直線BD,PC進(jìn)行求解.設(shè)異面直線BD,PC之間的距離為h, 夾角為θ=則有VP ?BCD=·PC·h·sinθ=原問題轉(zhuǎn)換為求異面直線BD,PC之間距離的最大值問題.如圖12,設(shè)PC,BD的中點分別為E,F,連接EF.

圖12

根據(jù)異面直線間距離的定義可知:h≤EF.連接CF, 根據(jù)圖像的對稱性易知?CEF為直角三角形, 可得考慮?BCD,根據(jù)極化恒等式以及基本不等式可得當(dāng)BC=CD=5 時,CF取到最大值3.由此可知EF的最大值為容易證得此時EF恰好為PC,BD的公垂線.由此可知h的最大值為則三棱錐P ?BCD體積的最大值