基于廣義Reed-Solomon碼構(gòu)造的兩類量子MDS碼

李建濤，王偉偉

(遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110036)

0 引言

近年來，量子計(jì)算成為一個(gè)熱門的話題.量子糾錯(cuò)碼在量子通信和量子計(jì)算中扮演重要角色.構(gòu)造一個(gè)具有好的參數(shù)的量子糾錯(cuò)碼是非常重要的.近年來，許多研究者通過經(jīng)典糾錯(cuò)碼構(gòu)造了大量的量子糾錯(cuò)碼.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Hermite自正交

1.2 廣義Reed-Solomon碼

GRSk(a，v)={(v1f(a1)，v2f(a2)，…，vnf(an))|f(x)∈Fq2[x]，degf(x)

稱GRSk(a，v)為Fq2上的一個(gè)廣義Reed-Solomon碼GRSk(a，v).是一個(gè)參數(shù)為[n，k，n-k+1]q2的MDS碼.事實(shí)上，GRSk(a，v)的生成矩陣為

下面的引理常被用來判斷一個(gè)廣義Reed-Solomon碼是否是Hermite自正交的.

下面的結(jié)果現(xiàn)在經(jīng)常用于構(gòu)造新的量子MDS碼.

定理 1[22]如果C是參數(shù)為[n，k，d]q2的線性碼且C⊥H=C，則存在參數(shù)為[n，2k-n，≥d]q的量子碼.

推論1[22]如果C是參數(shù)為[n，k，n-k+1]q2的經(jīng)典Hermite自正交MDS碼，則存在參數(shù)為[[n，n-2k，k+1]]q的量子MDS碼.

2 主要結(jié)果

2.1 第一類量子MDS碼的構(gòu)造

為了得到本小節(jié)的結(jié)果，需要下面幾個(gè)引理.

(1)

綜上，總有〈aqi+j，vq+1〉E=0.

2.2 第二類量子MDS碼的構(gòu)造

為了得到本小節(jié)的結(jié)果，需要下面幾個(gè)引理.

(2)

(3)

AuT=(0，…，0)T，

(4)

考慮方程組：

BuT=(1，0，…，0)T.

(5)

綜上，總有〈aqi+j，vq+1〉E=0.