區(qū)間二型離散不確定模糊系統(tǒng)的滑?？刂?/h1>
2021-03-17 00:45:08錢(qián)厚宇周紹生
錢(qián)厚宇，周紹生
(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)
0 引 言
區(qū)間二型模糊系統(tǒng)不僅對(duì)不確定性具有更好的處理能力，同時(shí)也極大簡(jiǎn)化了計(jì)算復(fù)雜度[1]。另一方面，在諸多非線性控制方法中，滑模控制具有很好的魯棒性，尤其在處理外部擾動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)變化等方面，具有較好的研究應(yīng)用價(jià)值[2]。在一類不確定離散線性系統(tǒng)中，文獻(xiàn)[3]選擇合適的結(jié)構(gòu)參數(shù)用于滑模面，提出一種基于閉環(huán)輸出反饋的滑?？刂破鳎玫搅溯^好的魯棒性能。多年來(lái)，關(guān)于T-S模型不確定模糊系統(tǒng)的滑?？刂蒲芯恳恢眰涫荜P(guān)注。文獻(xiàn)[4]給出滑模指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，并應(yīng)用凸優(yōu)化理論得到可行的滑模控制器；文獻(xiàn)[5]采取量化反饋方法，確保了閉環(huán)系統(tǒng)的二次穩(wěn)定，使得閉環(huán)狀態(tài)到達(dá)滑模面。上述文獻(xiàn)采用的都是常規(guī)二次Lyapunov函數(shù)方法，但對(duì)于更為一般的模糊系統(tǒng)，該方法往往難以適用，而分段二次Lyapunov函數(shù)恰好彌補(bǔ)了這一不足[6]。對(duì)于一類帶有不確定性的一型T-S離散模糊系統(tǒng)，文獻(xiàn)[7]采用分段二次Lyapunov函數(shù)分析滑模運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，提出了兩種滑?？刂破髟O(shè)計(jì)方法。本文針對(duì)一類帶有不確定性的區(qū)間二型離散模糊系統(tǒng)展開(kāi)進(jìn)一步研究，將分段二次Lyapunov函數(shù)和凸優(yōu)化理論應(yīng)用于滑模運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析，給出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，設(shè)計(jì)了一種輸出反饋下的閉環(huán)系統(tǒng)滑?？刂破鳌?/p>
1 系統(tǒng)描述
用IF-THEN模糊規(guī)則描述的區(qū)間二型離散不確定模糊系統(tǒng)如下：
(1)
系統(tǒng)(1)經(jīng)單點(diǎn)模糊、乘積推理及加權(quán)去模糊化后，得到：
(2)
對(duì)于系統(tǒng)(2)，利用可測(cè)得的系統(tǒng)輸出y(t)，本文將滑模面設(shè)計(jì)為：
s(t)=Ky(t)=KCx(t)=0
(3)
式中，K為滑模面增益。為了確定滑模面增益K并分析滑模運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，構(gòu)造一個(gè)完整描述滑模運(yùn)動(dòng)的廣義系統(tǒng)。
(4)
Px(t+1)=P(Ai+ΔAi)x(t)
(5)
結(jié)合滑模面(3)和式(5)，得到完整的滑模運(yùn)動(dòng)方程：
(6)
(7)
為了便于后續(xù)研究分析，引入下列假設(shè)和引理。
假設(shè)1系統(tǒng)存在一個(gè)滑動(dòng)塊Ω，
(8)
式中，ε為一個(gè)已知的正常數(shù)。
(9)
成立時(shí)，以下不等式成立。
(10)
2 主要結(jié)果
(11)
證明構(gòu)造如下分段二次Lyapunov函數(shù)
(12)
為了保證滑模動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定，只需保證
(13)
(14)
結(jié)合引理1，下列不等式可以推得不等式(14)
(15)
在系統(tǒng)(7)中，任意矩陣Gi為：
(16)
(17)
(18)
(19)
定理2對(duì)于滿足假設(shè)1的系統(tǒng)(1)及其等效系統(tǒng)(2)，保證輸出反饋下的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面(3)的控制器為
(20)
證明構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)
(21)
另Δs(t)=s(t+1)-s(t)，那么增量ΔV(t)為：
(σ+1)‖s(t)‖2-ζ(t)‖s(t)‖≤
(σ+1)‖s(t)‖2-ζ(t)‖s(t)‖=
3 數(shù)例仿真
對(duì)于一種直升機(jī)俯仰角非線性數(shù)學(xué)模型[9]，系統(tǒng)描述如下：
(22)
式中，x1,x2表示俯仰角(單位為rad)及其角速率(單位為rad/s)，Iyy=0.028 3 kg·m2，mheli=0.994 1 kg，lcgx=0.013 4 m,lcgz=0.028 9 m，F(xiàn)vM=0.004 1 N·m/(rad/s)，g=9.8100 m/s2[9]。采樣周期T=1 s，對(duì)系統(tǒng)(22)進(jìn)行線性離散模糊化，得到區(qū)間二型離散模糊系統(tǒng)：
(23)
系統(tǒng)中，模糊規(guī)則個(gè)數(shù)r=2，各參數(shù)矩陣和區(qū)間二型隸屬函數(shù)如下：
圖1 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)x響應(yīng)軌線
圖2 滑?？刂破鱱(t)的軌線
從圖1和圖2可以看出，較短時(shí)間內(nèi)，在滑?？刂破鱱(t)的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)最終到達(dá)滑模面(3)，從而驗(yàn)證了定理2中所構(gòu)建的滑?？刂破鞯挠行?。
4 結(jié)束語(yǔ)
本文研究區(qū)間二型離散模糊系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和滑?？刂破髟O(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)線性變換建立廣義系統(tǒng)模型，構(gòu)造分段Lyapunov函數(shù)，設(shè)計(jì)的輸出反饋滑?？刂破飨瞬淮_定性和輸入擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，使得該類系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。但是，本文基于假設(shè)1所提出的滑?？刂破?，僅能保證滑模面在有限時(shí)間內(nèi)局部的可達(dá)性，下一步將針對(duì)無(wú)假設(shè)情況下的自適應(yīng)滑?？刂破髡归_(kāi)研究。
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(2)
對(duì)于系統(tǒng)(2)，利用可測(cè)得的系統(tǒng)輸出y(t)，本文將滑模面設(shè)計(jì)為：
s(t)=Ky(t)=KCx(t)=0
(3)
式中，K為滑模面增益。為了確定滑模面增益K并分析滑模運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，構(gòu)造一個(gè)完整描述滑模運(yùn)動(dòng)的廣義系統(tǒng)。
(4)
Px(t+1)=P(Ai+ΔAi)x(t)
(5)
結(jié)合滑模面(3)和式(5)，得到完整的滑模運(yùn)動(dòng)方程：
(6)
(7)
為了便于后續(xù)研究分析，引入下列假設(shè)和引理。
假設(shè)1系統(tǒng)存在一個(gè)滑動(dòng)塊Ω，
(8)
式中，ε為一個(gè)已知的正常數(shù)。
(9)
成立時(shí)，以下不等式成立。
(10)
2 主要結(jié)果
(11)
證明構(gòu)造如下分段二次Lyapunov函數(shù)
(12)
為了保證滑模動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定，只需保證
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(15)
在系統(tǒng)(7)中，任意矩陣Gi為：
(16)
(17)
(18)
(19)
定理2對(duì)于滿足假設(shè)1的系統(tǒng)(1)及其等效系統(tǒng)(2)，保證輸出反饋下的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面(3)的控制器為
(20)
證明構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)
(21)
另Δs(t)=s(t+1)-s(t)，那么增量ΔV(t)為：
(σ+1)‖s(t)‖2-ζ(t)‖s(t)‖≤
(σ+1)‖s(t)‖2-ζ(t)‖s(t)‖=
3 數(shù)例仿真
對(duì)于一種直升機(jī)俯仰角非線性數(shù)學(xué)模型[9]，系統(tǒng)描述如下：
(22)
式中，x1,x2表示俯仰角(單位為rad)及其角速率(單位為rad/s)，Iyy=0.028 3 kg·m2，mheli=0.994 1 kg，lcgx=0.013 4 m,lcgz=0.028 9 m，F(xiàn)vM=0.004 1 N·m/(rad/s)，g=9.8100 m/s2[9]。采樣周期T=1 s，對(duì)系統(tǒng)(22)進(jìn)行線性離散模糊化，得到區(qū)間二型離散模糊系統(tǒng)：
(23)
系統(tǒng)中，模糊規(guī)則個(gè)數(shù)r=2，各參數(shù)矩陣和區(qū)間二型隸屬函數(shù)如下：
圖1 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)x響應(yīng)軌線
圖2 滑?？刂破鱱(t)的軌線
從圖1和圖2可以看出，較短時(shí)間內(nèi)，在滑?？刂破鱱(t)的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)最終到達(dá)滑模面(3)，從而驗(yàn)證了定理2中所構(gòu)建的滑?？刂破鞯挠行?。
4 結(jié)束語(yǔ)
本文研究區(qū)間二型離散模糊系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和滑?？刂破髟O(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)線性變換建立廣義系統(tǒng)模型，構(gòu)造分段Lyapunov函數(shù)，設(shè)計(jì)的輸出反饋滑?？刂破飨瞬淮_定性和輸入擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，使得該類系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。但是，本文基于假設(shè)1所提出的滑?？刂破?，僅能保證滑模面在有限時(shí)間內(nèi)局部的可達(dá)性，下一步將針對(duì)無(wú)假設(shè)情況下的自適應(yīng)滑?？刂破髡归_(kāi)研究。
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