回到定義 魅力無(wú)窮

劉麗芳

第七章 銳角三角函數(shù)領(lǐng)銜人：錢(qián)德春組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省泰州市初中數(shù)學(xué)教師發(fā)展共同體

銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)的重要內(nèi)容，利用銳角三角函數(shù)可以解決各種圖形計(jì)算和證明問(wèn)題，然而這一切都基于銳角三角函數(shù)定義，可以說(shuō)數(shù)學(xué)定義是數(shù)學(xué)之根、方法之魂。

初中階段的銳角三角函數(shù)定義如下：

如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則sinA=cosB=a/c，cosA=sinB=b/c，tanA=a/b，tanB=b/a。

在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，如果回到定義，或許會(huì)讓你眼前一亮。如在特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算中，有時(shí)會(huì)忘記具體的數(shù)值，或?qū)讉€(gè)角的函數(shù)值混淆。我們不妨拿出手中的三角板，利用三角函數(shù)的定義便能迅速得出所有特殊角的三角函數(shù)值。這里，通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)說(shuō)明“回到定義”的解題策略。

例1 △ABC中，∠C=90°。

（1）若tan∠A =3tan∠B，求∠A的度數(shù);

（2）若tan ∠A=3cos ∠B，求sin∠A的值：

（3）若sin ∠A、sin ∠B是方程25x2-（ 3m+5） x+m+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值。

【解析】這些問(wèn)題看似無(wú)從下手，但由于∠A、∠B都是直角三角形的銳角，不妨回到定義。

（1）由tanA=a/b、tanB=b/a和tan∠A=3tan∠B，則有a/b=3.b/a，從而a=3b，所以tanA=a/b=3，故∠A=60°。

（2）答案：sin∠A=22/3。該問(wèn)題與第（1）題方法類(lèi)似，請(qǐng)同學(xué)們自主完成。

（3）首先要考慮sin ∠A與sin ∠B之間有什么關(guān)系。依然回到定義：由于sinA=a/c，sinB=b/c，所以sin2A+sin2B=（a/c）2+（b/c）2=a2+b2/c2，而a2+b2=C2，所以sin2A+sin2B=1，即方程25x2-（ 3m+5） x+m+2=0兩根的平方和為1。由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得sinA+sinB=3m+5/25，sinA.sinB=m+2/25。由sin2A+sin2B=l，有（sinA+siriB）2—2sinA sinB=l，即（3m+5/25）2—2.m+2/25=1，解得m1=lO， m2=-70/9，因?yàn)閟inA+sinB=3m+5/25>0，m>-5/3，故m=10。當(dāng)然還要驗(yàn)證根的判別式是否不小于0。

【點(diǎn)評(píng)】遇有直角三角形銳角的三角函數(shù)問(wèn)題，不妨回到定義，將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段的比，再通過(guò)幾何方法解決，這是解決相關(guān)問(wèn)題的策略之一。

例2 已知a、β為銳角，tana=1/2，tanβ=1/3，求a+β的度數(shù)。

【解析】由條件“a、β為銳角，tana=1/2，tanβ=1/3”，繼續(xù)回到定義，應(yīng)該聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形。如何構(gòu)造？

方法一：如圖2，作△ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=2a，延長(zhǎng)CA到D，使AD=a，則∠BAC=a，∠D=β。取AC中點(diǎn)E，連接BE，則∠BEC=45°，易證△A EB-△BED，故∠D=∠EBA=β，而∠EAB+∠EBA=∠BEC=45°，所以a+β=45°。

方法二：構(gòu)造如圖3所示的圖形，設(shè)CD=6a，AD=3a，BD=2a，則∠ACD=a，∠BCD=β。求a+β的度數(shù)就是求∠ACB的度數(shù)，即求∠ACB的三角函數(shù)值。故作AE⊥BC，E為垂足，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解Rt△AEC的問(wèn)題。而圖中所有線(xiàn)段均可求，故∠ACB的三角函數(shù)值可求。具體過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自主完成。

例2給出的條件是兩個(gè)角的三角函數(shù)值，看似相互獨(dú)立、互不相關(guān)，讓人有無(wú)從下手、山窮水盡的感覺(jué)，但回到定義構(gòu)造直角三角形后，立即給人以柳暗花明、茅塞頓開(kāi)的快意，這正是回到定義的魅力。

兩道例題的思路告訴我們：數(shù)學(xué)定義是數(shù)學(xué)的源頭，是數(shù)學(xué)發(fā)展的基石，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不能忽視定義的作用。我們要理解數(shù)學(xué)定義的內(nèi)涵與本質(zhì)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)定義在解決問(wèn)題中的作用。一句話(huà)：回到定義，魅力無(wú)窮！

（作者單位：江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）