基于Thevenin模型和自適應(yīng)卡爾曼的SOC估算研究

李 歡，王順利，鄒傳云，李建超，謝 偉

(1.西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621010；2.綿陽(yáng)市產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)所(國(guó)家電器安全質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心)，四川 綿陽(yáng) 621010；3.四川華泰電氣股份有限公司，四川 遂寧 629000)

0 引言

荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)[1]主要用來(lái)表示電池的剩余容量，是指電池以一定放電倍率放電后，電池剩余容量與相同條件下額定容量的比值[2]。通過(guò)已知的剩余容量可以規(guī)劃出電池的使用策略，從而通過(guò)調(diào)整電壓、電流的方式，實(shí)現(xiàn)鋰電池以最佳工況運(yùn)行和達(dá)到最長(zhǎng)使用壽命的目標(biāo)。因此，荷電狀態(tài)的實(shí)時(shí)準(zhǔn)確估算將對(duì)電池管理提供顯著的幫助。然而，鋰電池本身內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，荷電狀態(tài)自身受放電電流、自放電效應(yīng)[3]、內(nèi)部溫度、外部環(huán)境溫度和電池自身老化等各種復(fù)雜因素的影響，使得精確估算SOC值變得十分困難。目前，SOC估算方法有安時(shí)積分法[4]、開(kāi)路電壓法[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[6]、卡爾曼濾波[7]等。

本文以三元鋰電池為試驗(yàn)研究對(duì)象。為了更加精確地描述電池工作特性，建立基于Thevenin的鋰電池電路模型，采用自適應(yīng)卡爾曼算法對(duì)鋰電池進(jìn)行SOC估算，并將其估算結(jié)果與擴(kuò)展卡爾曼進(jìn)行比較，分析其優(yōu)勢(shì)。

1 理論分析

1.1 等效電路模型

為了更好地描述電池的遲滯效應(yīng)[8]，并且考慮到電池極化效應(yīng)[9]和自放電效應(yīng)，本文將應(yīng)用Thevenin模型[10]為等效電路模型。該模型結(jié)構(gòu)精簡(jiǎn)，其中阻容并聯(lián)電路剛好能表征電池的動(dòng)態(tài)特性，參數(shù)辨識(shí)的難度適中，完全能滿足對(duì)電池等效模型的精度要求。模型中只有一階電阻-電容(resistor-capacitance,RC)電路，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小。這在后期算法移植過(guò)程中能降低處理器的負(fù)荷，提高算法的運(yùn)算速度，也是保證系統(tǒng)監(jiān)測(cè)的快速性、實(shí)時(shí)性和穩(wěn)定性的重要因素。Thevenin模型電路結(jié)構(gòu)如圖1所示。

根據(jù)所選的Thevenin模型，以放電方向作為正方向，極化電容兩端電壓令為up，Thevenin中的基爾霍天電壓定律(Kirchhoff voltage law,KVL)關(guān)系如式(1)所示。根據(jù)KCL,可得式(2)。

UL=UOC-UP-Roi

(1)

(2)

解式(2)的微分方程，可得到up隨時(shí)間的變化關(guān)系式:

(3)

假設(shè)某一時(shí)段電流為0，對(duì)應(yīng)于電池的擱置狀態(tài)，即電路為零輸入響應(yīng)。此時(shí)，需要給up一個(gè)初始狀態(tài)up0，則式(3)可變形為:

(4)

假設(shè)up的初始狀態(tài)是0，電路為零狀態(tài)響應(yīng)，式(3)可變形為:

(5)

將式(4)和式(5)離散化，可得到UP的遞推形式:

(6)

(7)

而從式(6)和式(7)的個(gè)離散遞推的形式可知，式(6)只是式(7)在電流為零時(shí)的一種特殊情況，所以最終Up的離散化形式就是式(7)。離散形式的狀態(tài)方程和輸出方程很適合進(jìn)行算法迭代與程序?qū)崿F(xiàn)，為之后的算法研究提供了可靠的依據(jù)。

1.2 參數(shù)辨識(shí)

對(duì)于Thevenin模型來(lái)說(shuō)，需要辨識(shí)的參數(shù)有歐姆內(nèi)阻Ro、極化內(nèi)阻[11]Rp和極化電容[12]Cp。這幾個(gè)參數(shù)都需要通過(guò)試驗(yàn)辨識(shí)得到。這里選擇三元鋰電池進(jìn)行試驗(yàn),電池的標(biāo)稱容量為72 A，實(shí)際容量為68 A。在27 ℃時(shí)，對(duì)電池進(jìn)行混合動(dòng)力脈沖能力特性(hybrid pulse power characterization,HPPC)試驗(yàn)。通過(guò)分析電池在工作過(guò)程中工作特性，獲得電池模型參數(shù)。脈沖測(cè)試曲線(SOC=0.9)如圖2所示。

圖2 脈沖測(cè)試曲線(SOC=0.9)

圖2同時(shí)反映了鋰離子電池的暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。脈沖放電開(kāi)始時(shí)，電池電壓會(huì)瞬間下降，然后在放電期間電壓隨時(shí)間緩慢下滑。在放電結(jié)束瞬間，電池電壓又立刻回彈，擱置期間電壓有逐漸回升并趨于平穩(wěn)的趨勢(shì)。充電的過(guò)程與放電過(guò)程電壓的響應(yīng)情況正好相反。從圖2中取A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)。取點(diǎn)的依據(jù)是:從Thevenin等效模型來(lái)看，放電開(kāi)始電壓的突然下降是由于歐姆內(nèi)阻Ro的作用，同樣放電結(jié)束電壓的迅速回升也是Ro的作用；放電過(guò)程中電壓逐漸下降的現(xiàn)象可以用Thevenin模型中的RC電路解釋。所以從AB段和CD段可以得到電池歐姆內(nèi)阻參數(shù)值，從BC段和DE段可以得到RC電路的極化內(nèi)阻和極化電容。由此可以得到參數(shù)的計(jì)算公式。Ro計(jì)算公式如式(8)所示。

(8)

式中:ΔUAB為AB段的電壓差;ΔUCD為CD段的電壓差;I為放電電流。

分析DE段電壓響應(yīng)，對(duì)應(yīng)Thevenin模型的零輸入響應(yīng)。由式(4)和模型KVL關(guān)系得到以下方程組。

(9)

式中:UA為點(diǎn)A處的電壓，即當(dāng)前階段的開(kāi)路電壓；以D點(diǎn)為零時(shí)刻，則從點(diǎn)D到點(diǎn)E的時(shí)間為tE-tD；UD和UE分別為點(diǎn)D和E處的電壓。解方程組得到如式(10)所示的時(shí)間常數(shù)τ的計(jì)算式。

(10)

得到時(shí)間常數(shù)τ之后，只需計(jì)算出Rp或者Cp中的一個(gè)參數(shù)，另一個(gè)就可以由式(11)推算出。

τ=RPCP

(11)

BC段的電壓響應(yīng)對(duì)應(yīng)于Thevenin模型的零狀態(tài)響應(yīng)。由式(5)和模型KVL關(guān)系得到的方程組如式(12)所示。

(12)

式中：UC為點(diǎn)C處的電壓；以B點(diǎn)為零時(shí)刻，則從點(diǎn)B到點(diǎn)C的時(shí)間為tB-tC。

解方程組得到極化內(nèi)阻RP的計(jì)算式如式(13)所示。

(13)

取得每個(gè)階段脈沖試驗(yàn)中的關(guān)鍵點(diǎn)，使用式(8)、式(11)、式(13)就可以直接計(jì)算出Thevenin模型中的Ro、RP和CP參數(shù)值，最后得到每個(gè)SOC點(diǎn)處的模型參數(shù)。

1.3 自適應(yīng)卡爾曼算法

普通的卡爾曼濾波對(duì)于噪聲值通常是固定的，這與實(shí)際工況下噪聲的統(tǒng)計(jì)特性不符合，易受噪聲的影響而導(dǎo)致濾波結(jié)果不準(zhǔn)確。為了解決該問(wèn)題，本研究在普通卡爾曼的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)對(duì)噪聲統(tǒng)計(jì)特性的估計(jì)。通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)yk對(duì)噪聲的均值qk、rk和方差Qk、Rk進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)。k為離散時(shí)間；離散化采樣周期Ts=1 s。再根據(jù)實(shí)時(shí)更新的均值和方差，修正當(dāng)前的狀態(tài)估計(jì)值，以提高算法精度、規(guī)避發(fā)散現(xiàn)象。過(guò)程噪聲wk和測(cè)量噪聲vk的均值為E[wk]=qk、E[vk]=rk，方差分別為D[wk]=Qkδkj、D[vk]=Rkδkj。過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲互不相關(guān)，且qk、rk、Qk和Rk未知。通過(guò)本濾波算法對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而更加精確地估計(jì)鋰電池SOC，步驟如下所述。

首先，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行初始化，令k=0，則有初始狀態(tài)的估計(jì)值x0和初始狀態(tài)誤差的協(xié)方差Po如式(14)所示。

(14)

接著，由(k-1)時(shí)刻的狀態(tài)和誤差協(xié)方差矩陣，對(duì)k時(shí)刻不確定性的狀態(tài)和誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行時(shí)間更新。計(jì)算過(guò)程如式(15)所示。

(15)

然后，計(jì)算卡爾曼增益矩陣Kk如式(16)所示。

(16)

若當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)不確定性很高，Pk會(huì)增大，Kk也會(huì)相應(yīng)變大，導(dǎo)致系統(tǒng)大幅度的更新?tīng)顟B(tài)。此外，如果環(huán)境噪聲很大，則Pk-1變大，使Kk變小。進(jìn)而采用測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)下一時(shí)刻狀態(tài)的估計(jì)量以及誤差協(xié)方差進(jìn)行更新，其表達(dá)式如式(17)所示。

(17)

下一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)等于該時(shí)刻狀態(tài)的先驗(yàn)估計(jì)與一加權(quán)修正項(xiàng)之和。其中，E為單位矩陣。由于測(cè)量值所提供的新信息，狀態(tài)的不確定性通常會(huì)不斷地減小，即Pk為不斷變小的過(guò)程量。最后，采用測(cè)量數(shù)據(jù)不斷地在線估計(jì)噪聲的均值以及方差，使用更新后的狀態(tài)不斷地替換當(dāng)前的狀態(tài)估計(jì)值，實(shí)現(xiàn)對(duì)估計(jì)狀態(tài)量和噪聲的統(tǒng)計(jì)量的交替更新。

(18)

由以上分析可知，在線對(duì)qk、rk、Qk和Rk進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，達(dá)到對(duì)狀態(tài)變量SOC估計(jì)值的不斷修正，從而實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)修正作用，以此提高SOC估計(jì)精度。

2 試驗(yàn)及結(jié)果分析

根據(jù)試驗(yàn)步驟，對(duì)鋰離子電池進(jìn)行HPPC測(cè)試。從原始數(shù)據(jù)中抽出所有的電壓數(shù)據(jù)，繪制HPPC測(cè)試試驗(yàn)過(guò)程中鋰離子電池端電壓的變化情況。HPPC測(cè)試試驗(yàn)電壓響應(yīng)曲線如圖3所示。從圖3可以看出，電池電壓在放點(diǎn)結(jié)束后經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間擱置會(huì)逐漸趨于平穩(wěn)。這表示其內(nèi)部的化學(xué)反應(yīng)和熱效應(yīng)已基本達(dá)到平衡。

圖3 HPPC測(cè)試試驗(yàn)電壓響應(yīng)曲線

從整體過(guò)程數(shù)據(jù)中提取出有用的數(shù)據(jù)段，根據(jù)參數(shù)辨識(shí)的步驟對(duì)不同SOC階段的歐姆內(nèi)阻R、極化內(nèi)阻RP、極化電容Cp、開(kāi)路電壓Uoc進(jìn)行計(jì)算。各SOC狀態(tài)下的模型參數(shù)如表1所示。

表1 各SOC狀態(tài)下的模型參數(shù)

每次放電結(jié)束擱置后的電池基本處于穩(wěn)定狀態(tài)。此時(shí)的電壓就是與當(dāng)前SOC所對(duì)應(yīng)的開(kāi)路電壓(open circuit voltage,OCV)值。從表 1可以看出，Thevenin模型內(nèi)部參數(shù)隨著SOC的變化在一定范圍內(nèi)波動(dòng)。若需要得到較精確的模擬結(jié)果，就需要得到各參數(shù)和SOC之間的關(guān)系。

將辨識(shí)的參數(shù)通過(guò)Simulink模型進(jìn)行仿真，對(duì)其輸出的端電壓和在同樣輸入電流情況下鋰離子電池的實(shí)際端電壓數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，由此評(píng)估模型中參數(shù)辨識(shí)的有效性和準(zhǔn)確性。如果偏差較大，說(shuō)明參數(shù)辨識(shí)不夠準(zhǔn)確，或者考慮模型本身的準(zhǔn)確性是否存在缺陷。辨識(shí)參數(shù)輸出電壓與真實(shí)輸出電壓對(duì)比曲線如圖4所示。

圖4 辨識(shí)參數(shù)輸出電壓與真實(shí)電壓輸出對(duì)比曲線

由圖4(a)可以看出，模型輸出端電壓與實(shí)際值有較好的吻合性，說(shuō)明了Thevenin等效電路模型的合理性，也證明了參數(shù)辨識(shí)方法的可行性和可靠性。

從圖4(b)可以看出，在整體過(guò)程中模型沒(méi)有發(fā)散現(xiàn)象，誤差出現(xiàn)較大的地方是在動(dòng)力脈沖測(cè)試階段。其原因是電池輸入電流突變引起電池內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)集聚增強(qiáng)，導(dǎo)致端電壓迅速變化。這時(shí)Thevenin模型并不能十分完美地表現(xiàn)出鋰離子電池的響應(yīng)效果，但是其誤差在可接受的合理范圍內(nèi)撥動(dòng)，即使在SOC很低的最后階段，模型不能很好地反映電池此刻狀態(tài)的情況下，最大誤差也沒(méi)有超過(guò)0.02 V。由此可以驗(yàn)證Thevenin模型的精確性。

3 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證自適應(yīng)卡爾曼濾波(adaptive Kalman filter,AKF)算法對(duì)鋰電池SOC估算的可行性，構(gòu)建鋰電池SOC估算模型。在多種工況試驗(yàn)條件下，對(duì)模型的估算精度、估算過(guò)程中的收斂性以及對(duì)于真實(shí)數(shù)據(jù)的跟蹤性進(jìn)行研究。

3.1 恒流放電工況

為驗(yàn)證AKF算法的估算精度和有效性，通過(guò)Matlab/Simulink建模，在恒流放電工況進(jìn)行仿真。為增加工況的復(fù)雜度，在仿真程序特意設(shè)定了擱置階段，以測(cè)試算法在工況突變情況下的穩(wěn)定性。恒流放電工況仿真結(jié)果如圖5所示。對(duì)比在相同的工況下擴(kuò)展卡爾曼濾波(extemded Kalman filter,EKF)和AKF跟隨的效果和誤差。

圖5 恒流放電工況仿真結(jié)果

由圖5(a)可以看出，AKF和EKF有著非常好的濾波效果,在工況突變的情況下，也沒(méi)有太大的偏移，能夠不斷跟隨真實(shí)值的變化。從圖5(b)可以看出，兩種算法都具有相當(dāng)高的精度。其中:AKF算法誤差一直控制在0.2%以內(nèi)，EKF誤差的最大值在0.4%左右。值得注意的是，AKF算法在工況突變的情況下誤差依然處于穩(wěn)定狀態(tài)，而EKF算法在兩個(gè)突變位置誤差都有較大的波動(dòng)。通過(guò)對(duì)比可知，在此工況下，AKF相對(duì)于EKF擁有更高的精度，且在面臨工況突變情況下具有更高的穩(wěn)定性。

3.2 BBDST工況

考慮到電池在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中處于動(dòng)態(tài)工況下運(yùn)行，為驗(yàn)證AKF算法在復(fù)雜工況下跟隨的效果和精度，使用北京公交動(dòng)態(tài)測(cè)試(beijing bus dymamic streat test,BBDST)工況對(duì)算法進(jìn)行仿真。該工況是對(duì)北京公交車(chē)進(jìn)行真實(shí)數(shù)據(jù)采集得到的，具有更高的復(fù)雜性，滿足電池動(dòng)態(tài)工況測(cè)試。BBDST工況仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 BBDST工況仿真結(jié)果

從圖6中可以看出，EKF和AKF對(duì)真實(shí)值都有良好的跟隨效果。為了更加清晰地對(duì)比跟隨效果，截取了局部放大圖，如圖6(b)和圖 6(c)所示。其中，圖6(b)為仿真初期，能夠清晰看出兩者對(duì)于真實(shí)值的跟隨趨勢(shì)都是非常準(zhǔn)確的。但AKF算法估算值比EKF更加靠近真實(shí)值。這是因?yàn)镋KF的噪聲始終固定的，而在實(shí)際的動(dòng)態(tài)工況中噪聲的統(tǒng)計(jì)特性是多變的。AKF算法能夠根據(jù)環(huán)境的變化自適應(yīng)地調(diào)整噪聲，以減小誤差。圖6(c)為仿真末期，相對(duì)于仿真初期，誤差略為增大。這一方面是由于誤差的累積效應(yīng)，另一方面是因?yàn)樵诜烹娔┢陔姵氐姆蔷€性增強(qiáng)。然而，總體誤差都是不大的，如圖6(d)所示，AKF算法誤差一直維持在0.1%以內(nèi)，相比EKF的0.2%以內(nèi)，提高了一倍的精度。這說(shuō)明了AKF算法在鋰電池SOC方面的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

精確的SOC估算是鋰電池狀態(tài)檢測(cè)的關(guān)鍵技術(shù)。本研究基于鋰電池特性分析確立Thevenin等效電路模型，通過(guò)HPPC試驗(yàn)對(duì)模型關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，將辨識(shí)值與真實(shí)值導(dǎo)入Simulink模型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了Thevenin模型的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用自適應(yīng)卡爾曼濾波算法，進(jìn)行SOC狀態(tài)估算，在恒流工況和BBDST工況下對(duì)算法進(jìn)行試驗(yàn)仿真。試驗(yàn)表明，無(wú)論是在恒定工況，還是在動(dòng)態(tài)工況，AKF算法都具有相當(dāng)迅速的響應(yīng)能力和精度。在電動(dòng)汽車(chē)頻繁啟停的復(fù)雜工況下，將EKF估算誤差從0.2%降至0.1%，使誤差控制在相當(dāng)小的范圍，提高了EKF算法濾波的收斂性和穩(wěn)定性，驗(yàn)證了AKF算法的實(shí)用性。