基于遞推最小二乘法的鋰離子電池等值參數(shù)在線識別

李澤宇，王曉磊，張世彪，石淼巖

（1.山東大學(xué)電氣工程學(xué)院，山東 濟南 250061；2.華能山東發(fā)電有限公司，山東 濟南 250014；3.國網(wǎng)山東省電力公司淄博供電公司，山東 淄博 255000）

0 引言

隨著世界各國對能源安全和環(huán)境污染問題的關(guān)注，新能源汽車成為汽車行業(yè)的重要發(fā)展方向［1］。動力電池作為電動汽車的主要動力來源，決定了汽車的續(xù)航里程、加速性能及制動能量回收率都等關(guān)鍵指標(biāo)，在電動汽車中占據(jù)核心地位。與此同時，電池儲能系統(tǒng)在電網(wǎng)中的示范應(yīng)用也逐漸增加，成為支撐可再生能源消納和電網(wǎng)調(diào)節(jié)靈活性提升的重要手段。在多種電池技術(shù)中，鋰離子電池因其能量和功率密度高、循環(huán)壽命長、自放電率低等優(yōu)點，成為動力電池和電網(wǎng)儲能電池的主流選擇［2-3］。

與傳統(tǒng)鉛酸電池相比，鋰離子電池價格更高，且使用壽命易受過充過放影響，需要采用電池管理系統(tǒng)（Battery Management System，BMS）實時監(jiān)控和保護，確保電池的安全穩(wěn)定運行［4］。然而，電池充放電是一個復(fù)雜的電化學(xué)過程，如荷電狀態(tài)（State of Charge，SOC）、健康狀態(tài)（State of Health，SOH）和功率狀態(tài)（State of Power，SOP）等基本電池狀態(tài)無法直接測量，需要利用電池模型和運行工況數(shù)據(jù)實時估算。因此，建立反映電池動態(tài)特性的電池等效模型是BMS的基礎(chǔ)，也是實現(xiàn)鋰離子電池安全、穩(wěn)定和優(yōu)化運行的關(guān)鍵［5］。

為描述電池充放電動態(tài)過程特性，現(xiàn)有研究已提出多種建模方法和參數(shù)識別方法。常用的電池模型包括電化學(xué)模型、熱模型、等效電路模型和黑匣子模型等，其中等效電路模型具有較高建模精度，計算量適中而易于實現(xiàn)，且容易進行參數(shù)識別，在BMS中應(yīng)用最為廣泛［6］。目前，人們已提出Rint 模型、一階RC模型、PNGV 模型、GNL 模型等多種等效電路形式［7-10］。文獻［11］進一步對比了Rint 模型、PNGV 模型和一階RC模型的建模精度，認(rèn)為增加電池等效電路模型中RC環(huán)節(jié)的個數(shù)，可以反映更多的電池動態(tài)，進而提升建模精度。然而，增加RC環(huán)節(jié)會同時增加計算復(fù)雜度，提升BMS應(yīng)用要求，還會提高模型參數(shù)識別難度。鑒于此，文獻［12］推薦使用二階RC等效電路模型，進而平衡計算復(fù)雜度與模型精度，并被廣泛應(yīng)用于電池建模及SOC估算研究中［13-15］。

模型參數(shù)識別是影響模型精度的另一個關(guān)鍵。目前，常用的電池模型參數(shù)識別方法包括離線識別與在線識別兩大類。離線識別方法基于曲線擬合原理，以端電壓擬合誤差最小為目標(biāo)計算等值電路參數(shù)，通常假定在一次識別過程中電池模型參數(shù)不變，進而基于多次試驗數(shù)據(jù)建立參數(shù)表，而在實際使用電池模型時通過插值獲取當(dāng)前狀態(tài)下模型參數(shù)。離線參數(shù)識對單次試驗數(shù)據(jù)擬合度較高，但電池運行溫度變化或同批電池參數(shù)差別明顯時，其識別參數(shù)的普適性顯著下降，進而影響電池狀態(tài)估計結(jié)果。如文獻［16-17］研究表明：隨著電池溫度降低，其內(nèi)阻會增加而容量會減??；文獻［18］研究也表明電池荷電狀態(tài)和開路電壓曲線會受到溫度影響。在線參數(shù)辨識是應(yīng)對上述問題的重要手段，目前應(yīng)用最廣泛的是基于最小二乘法（Least Squares，LS）的在線參數(shù)識別，該方法既可以用于線性系統(tǒng)也可用于非線性系統(tǒng)，具有更好的適應(yīng)能力；但其所需數(shù)據(jù)多，計算量較大，仍有較大性能提升空間。

鑒于上述問題，提出采用遞推最小二乘法（Recursive Least Squares，RLS）實現(xiàn)電池等效電路模型參數(shù)在線辨識的方法。該方法實時擬合電池電壓、電流數(shù)據(jù)，自動適應(yīng)溫度及運行工況對電池參數(shù)的影響，可提高所識別參數(shù)精度和適應(yīng)性；同時該算法在每次觀測數(shù)據(jù)更新時即可執(zhí)行一次參數(shù)辨識，所需數(shù)據(jù)和計算量均較小，實現(xiàn)更為方便。首先，構(gòu)建了電池一階RC和二階RC等效電路模型，推導(dǎo)了其狀態(tài)空間表達(dá)式；然后，闡述基于RLS 的在線參數(shù)識別原理和用于電池參數(shù)識別的過程；最后，基于混合脈沖功率性能測試（Hybrid Pulse Power Characterization，HPPC）試驗數(shù)據(jù)，分別對兩種電池模型下的參數(shù)進行在線參數(shù)辨識，并分析各自模型誤差，驗證所提方法的有效性。

1 鋰離子電池等效電路模型

等效電路模型由理想電路元件（電阻、電容、可控電壓源等）構(gòu)成，采用線性變參數(shù)方法模擬電池非線性工作特性，精度比電化學(xué)模型稍差，但計算量適中，符合實時系統(tǒng)應(yīng)用要求。考慮到模型精度和復(fù)雜度，本文基于一階RC模型和二階RC模型展開研究。

1.1 一階RC等效電路模型

一階RC模型以內(nèi)阻模型為基礎(chǔ)，加入由電容和電阻組成的極化回路，模擬了電池充放電過程中正負(fù)極板處電荷積累及擴散過程（即極化過程）所表現(xiàn)出的動態(tài)特性。該模型結(jié)構(gòu)簡單，較為準(zhǔn)確地描述了電池端電壓隨充電電流∕放電電流快速和緩慢變化分量。圖1給出了一階RC等效電路結(jié)構(gòu)，圖中uOCV為電池的開路電壓，r為歐姆內(nèi)阻，rp為極化電阻，Cp為極化電容，uc為電池的端電壓，ic為充電電流。

通常，開路電壓uOCV與電池SOC 及電池類型（如三元鋰離子電池、磷酸鐵鋰電池）有關(guān)，反映了電池正負(fù)極材料電勢差；歐姆內(nèi)阻與電極集流體電阻及接觸電阻有關(guān)，反映了端電壓中與電流同步變化的分量；極化電阻和極化電容反映了電池的極化特性，對應(yīng)著端電壓中隨電流變化積分變化的部分。假定電池充電為電流正方向，基于圖1 及電路原理知識，可列寫出一階RC等效電路模型的狀態(tài)空間表達(dá)式為

式中：s為電池SOC；up為極化電壓，表征了RC回路極化程度；Ceff為庫侖效率，反映了電池充電過程中的電荷損耗，通常在0.99 左右；CA為電池的容量；fSOC-OCV(s)為鋰電池開路電壓關(guān)于其SOC 的函數(shù)，反映了電池uOCV與SOC的對應(yīng)關(guān)系。

圖1 一階RC等效電路模型

1.2 二階RC等效電路模型

在一階RC電池模型基礎(chǔ)上，進一步增加RC環(huán)節(jié)，進而采用兩個RC環(huán)節(jié)描述時間常數(shù)較小的電化學(xué)極化和時間常數(shù)較大的濃差極化可以獲得更好的建模精度。二階RC等效電路結(jié)構(gòu)與圖1 相近，相似過程可推得等效電路狀態(tài)空間表達(dá)如式（2）所示。

式中：rp1與rp2為極化電阻；Cp1和Cp2為極化電容；up1和up2為快慢動態(tài)極化回路的極化電壓。

2 基于RLS的參數(shù)在線辨識

2.1 問題描述

一階RC及二階RC模型中的參數(shù)主要包括CA、Ceff、r、rp、rp1、rp2、Cp、Cp1和Cp2，通常電池容量CA和庫倫效率Ceff可通過容量測試試驗測定，并認(rèn)為在單次充放電過程中保持不變；而歐姆內(nèi)阻和極化阻容可能受SOC、溫度及充放電倍率等運行條件影響，需要實時辨識以提高精度，因此主要研究電路元件參數(shù)辨識問題。

電池等效電路模型可看作一個以充電電流ic為輸入、以電池端電壓uc為輸出的單輸入單輸出系統(tǒng)。以一階RC等效電路模型為例，其傳遞函數(shù)為

傳遞函數(shù)表達(dá)式中包含了電路元件參數(shù)，因此電池模型元件參數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)H（s）的識別問題。實際識別時，參數(shù)識別基于等時間間隔測量的電壓電流數(shù)據(jù)點實施，故識別對象為離散域傳遞函數(shù)

離散域傳遞函數(shù)對應(yīng)的時域一般表達(dá)式為

式中：b1，b2，…，bn為輸入值充放電電流ic的系數(shù)；a1，a2，…，an為輸出值端電壓uc的系數(shù)。

實際上，由于存在模型誤差及測量誤差，上式無法嚴(yán)格成立，輸出變量遞推計算值與測量值必然存在擬合誤差，記為

參數(shù)識別問題即為尋找最優(yōu)參數(shù)ai，bi（i=1，…，n）使擬合誤差平方和最小，即

2.2 最小二乘法及其遞推實現(xiàn)

上述優(yōu)化問題可采用最小二乘法對上述優(yōu)化問題進行求解。對于式（5）所示系統(tǒng)，列寫m（m＞n）個測量數(shù)據(jù)的遞推方程，并寫成矩陣形式有

式中：Φ為參數(shù)矩陣；θ為待估參數(shù)列向量；e為觀測值與計算值之間的誤差向量。

其中，

此時，式（7）的目標(biāo)函數(shù)可寫為

使J取到最值的最優(yōu)參數(shù)估計為

使用上式計算參數(shù)估計值需要累計m個數(shù)據(jù)，而實際數(shù)據(jù)是逐個增加的，因此可采用遞推形式實現(xiàn)。計算步驟如下：

2）根據(jù)新增測量數(shù)據(jù)使用式（13）更新參數(shù)估計值；

其中，

2.3 等效電路模型參數(shù)辨識

當(dāng)采用一階RC模型時，式（5）具體化為

式中：T為數(shù)據(jù)采樣間隔；ud為歐姆電壓與極化電壓之和，可通過式（17）求解。

待識別參數(shù)具體化為θ=[k1k2k3]T，其中

基于RLS遞推估計參數(shù)列向量θ，利用式（18）反變換即可求得電路參數(shù)r、rp、Cp。

當(dāng)采用二階RC等效電路模型時，式（5）具體化為

與一階RC模型相同，此時仍然先基于RLS 遞推估計參數(shù)θ，然后利用識別參數(shù)與電路元件參數(shù)對應(yīng)關(guān)系，反變換求得電路參數(shù)rp1、rp2與Cp1、Cp2。

3 算例

為驗證基于RLS 在線參數(shù)識別效果，首先采用電池充放電測試儀開展充放電測試，隨后將試驗數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB 軟件執(zhí)行RLS 參數(shù)識別算法，并基于識別參數(shù)計算電池模型端電壓擬合值，最后通過對比模型電壓與試驗測量電壓差異檢驗參數(shù)識別效果。上述試驗及數(shù)據(jù)處理過程如圖2所示。

算例同時對磷酸鐵鋰鋰離子電池和三元鋰離子電池兩種類型電芯進行HPPC 充放電試驗，并分別采用一階RC模型和二階RC模型進行擬合。兩種電芯的參數(shù)擬合結(jié)果和擬合電壓誤差如圖3—圖6 所示。

綜合圖4 和圖6，可計算使用兩種等效電路模型分別建模兩種類型電芯時，擬合電壓誤差的均方根與最大值，計算結(jié)果如表1和表2所示。

綜合表1、表2 與圖4、圖6 可知：1）對于兩種類型電芯，基于RLS 的參數(shù)識別結(jié)果均能很好地擬合電芯充放電特性，擬合電壓誤差方均根在10 mV 以內(nèi)，誤差均方根分別約為電池端電壓的0.24%和0.11%；2）采用二階RC模型能一定程度上提高模型擬合精度，對于磷酸鐵鋰電芯，擬合誤差約降低了4.6%，而對于三元鋰離子電芯，擬合誤差降低了不到1%。圖3 中參數(shù)辨識結(jié)果表明，磷酸鐵鋰電芯的極化動態(tài)既可以用一個RC環(huán)節(jié)描述，也可以用兩個時間常數(shù)更大及更小的RC環(huán)節(jié)表示，且后者對電流突變時的動態(tài)擬合更加精確；圖5 中參數(shù)擬合結(jié)果則說明，對于三元鋰離子電芯，極化動態(tài)用一個RC環(huán)節(jié)描述已十分精確，使用兩個RC環(huán)節(jié)會可能會導(dǎo)致一定程度的過擬合現(xiàn)象，對模型精度的提升作用有限。

圖2 試驗及數(shù)據(jù)處理過程

圖3 磷酸鐵鋰鋰離子電池模型參數(shù)辨識結(jié)果

圖4 磷酸鐵鋰鋰離子電池不同模型擬合電壓誤差

圖5 三元鋰離子電池模型參數(shù)辨識結(jié)果

圖6 三元鋰離子電池不同模型擬合電壓誤差

表1 磷酸鐵鋰離子鋰電池電壓仿真誤差 單位：mV

表2 三元鋰離子電池電壓仿真誤差 單位：mV

4 結(jié)語

為了在電池管理系統(tǒng)中對儲能系統(tǒng)的鋰離子電池狀態(tài)進行準(zhǔn)確估計，基于遞推最小二乘法（RLS），對鋰離子電池時變系統(tǒng)的模型參數(shù)的在線辨識進行了研究，并通過HPPC試驗數(shù)據(jù)進行驗證。理論分析和試驗數(shù)據(jù)表明基于RLS 的在線參數(shù)識別方法能夠自動適應(yīng)電池SOC、溫度及運行條件變化，擬合計算出高精度電池模型參數(shù)，進而保證所用模型的精度和適應(yīng)性，有力支撐鋰離子電池的精確建模與電池狀態(tài)的準(zhǔn)確估計。