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    歐幾里得和他的《幾何原本》

    2021-03-15 08:25:46文王姍姍
    初中生世界 2021年9期
    關(guān)鍵詞:歐幾里得公理平行

    文王姍姍

    (作者單位:江蘇省無錫市西漳中學(xué))

    歐幾里得,古希臘數(shù)學(xué)家,幾何之父,一生著作很多,遺憾的是,除了《幾何原本》外,他只給世界留下了兩句話。

    一句是在托勒密國王問歐幾里得有沒有學(xué)習(xí)幾何學(xué)的捷徑時,歐幾里得答道:“幾何無王者之道?!绷硪痪涫窃谝粋€學(xué)生才開始學(xué)習(xí)第一個命題時,就問學(xué)幾何有何用處,歐幾里得對身邊的侍從說:“給他三個錢幣,因為他想在學(xué)習(xí)中獲取實利。”這兩句話和他的《幾何原本》一樣,影響深遠(yuǎn)。

    《幾何原本》選取少量原始的概念作為定義、不需要證明的命題作為公設(shè)或公理,利用邏輯推理的方法推演出整個幾何體系。在第一卷中,首先給出了點、線、面、角、垂直、平行等定義,接著給出了5 條公設(shè)和5 條公理,公理后是一個接一個的命題及其證明。

    七年級下冊數(shù)學(xué)教材中,把“同位角相等,兩直線平行”作為基本事實,推理得出“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”及“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”。而《幾何原本》在第1 卷第27 個命題中,用反證法證得了“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”,隨后由命題27 證得“同位角相等,兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”,并作為第28個命題。

    《幾何原本》中第27 個命題證明如下:

    已知:直線EF與直線AB、CD相交,其中∠AEF=∠EFD。

    求證:AB∥CD。

    證明:假設(shè)AB、CD不平行,那么它們一定相交,假設(shè)它們在B、D方向交于點G,那 么 在△GEF中,外 角∠AEF=∠EFG。這與第一卷中已證明的命題16(三角形的一個外角大于任意一個與其不相鄰的內(nèi)角)矛盾。

    所以假設(shè)不成立,即AB、CD在B、D方向不能相交。

    同理AB、CD在A、C方向也不能相交。

    所以AB∥CD。(平行線的定義)

    上述證明過程中用到了第一卷中已證明的命題16:三角形的一個外角大于任意一個與其不相鄰的內(nèi)角。這個命題在《幾何原本》中如何得到呢?

    已知:△ABC為任意三角形,延長BC至D。

    求證:∠ACD大于∠CBA或∠BAC。

    證明:在AC上取一點E,使得AE=EC,連接BE,并延長至點F,使得EF=BE,延長AC至G。

    因為∠AEB=∠FEC(已證的命題15:對頂角相等),AE=EC,BF=EF。

    所以△ABE≌△CFE(已證明的命題4:如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊及其夾角相等,那么它們的第三邊也相等,這兩個三角形全等,其對應(yīng)角也相等)。

    所以∠BAE=∠ECF。

    又因為∠ECD>∠ECF(公理5:整體大于部分),

    所以∠ACD>∠BAE。

    同理可以證明∠BCG>∠ABC。

    因為∠ACD=∠BCG(已證的命題15:對頂角相等),

    所以∠ACD>∠ABC。

    在這個命題中又應(yīng)用了第一卷中已經(jīng)證明的命題4 和命題15。而命題4和命題15 的證明又分別用到了公理和公設(shè)以及其他已證命題。

    由此可見,歐幾里得在《幾何原本》中創(chuàng)造了一個完整的邏輯演繹體系,建立了歷史上第一個數(shù)學(xué)公理體系,即用公理、公設(shè)和定義的推證方法;創(chuàng)造了幾何證明的方法,即分析法、綜合法和反證法?!稁缀卧尽肥侨祟悮v史上的一部偉大的科學(xué)巨作,其公理化思想后來被廣泛運用到社會的各個領(lǐng)域。

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