例題與習題的關(guān)系
——以人教版“有理數(shù)”為例

林鳳嬌 (天津師范大學教育學部 300387)

1 引言

教材是學生從小接觸的事物，可以簡單地把數(shù)學教材分為三部分：正文、例題和習題．在初中數(shù)學的教學中，大多數(shù)教師都傾向于例題教學，這也足以說明例題的重要性．然而，例題和習題都是數(shù)學題，為什么有的題可供數(shù)學教師在課堂上一步一步地講解示范給學生，有的題得讓學生課后單獨完成？本文從例題和習題的功能出發(fā)，來探尋例題和習題之間的關(guān)系．

2 例題與習題

2.1 例題的功能

例題的功能有基礎性、精簡性、典型性、示范性與代表性等．在數(shù)學教學過程中，例題起著舉足輕重的作用.例題所放的位置可以在知識點前，這時它發(fā)揮著帶領(lǐng)學生學習新知識的作用．例題所放的位置也可以在知識點后，此時它對鞏固所學的新知識發(fā)揮了很大的作用．例題必須精挑細選又有著代表性，還能很好地起到示范作用．波利亞在《怎樣解題》中曾提到：未來的數(shù)學家通過模仿和練習來學習．[1]所以例題的示范性尤為重要，典型的例題可以讓學生更好地掌握剛學習的知識點．因此需要充分利用教科書例題的示范引領(lǐng)功能，盡最大可能發(fā)揮其潛在價值，力爭做到以例啟思、以例促思、以例帶類，舉一反三，觸類旁通，達到對知識的深化理解．[2]

2.2 習題的功能

習題具有鞏固性、多樣性、層次性、靈活性和評價性．教材中的習題應具有鞏固功能．初中數(shù)學教材的習題中的一部分會作為學生課后的作業(yè)，而課后作業(yè)的練習可以促進學生對新知識的掌握和理解，以達到復習的目的．因此，初中數(shù)學教材中的習題應幫助學生復習回憶所學的新知識，起到鞏固新知的作用．習題的題型也是更加多樣、靈活以及有層次．習題由淺到深、由簡到繁，有基礎題目，也有擴展提高題．習題還有著評價功能，數(shù)學教材中的習題作為課后作業(yè)布置時，學生可以通過習題的練習及時發(fā)現(xiàn)自己還存在的問題，教師也可以通過習題完成的反饋情況了解學生的學習情況．學生通過數(shù)學教材中的習題的自我評價自行調(diào)整學習狀態(tài)，教師也可以通過習題的反饋進行教學評價，及時調(diào)整教學策略．

2.3 例題與習題的關(guān)系

2.3.1 包含關(guān)系

《現(xiàn)代漢語大辭典》中對“例題”的表述為：說明某一定理、定律或幫助學習的人掌握某一公式而設的作為范例的習題．由這句話可知，例題也是習題的一種，是在眾多習題中精選出來的，所以說習題是包含例題的(圖1)．

圖1 例題與習題的包含關(guān)系

例題和習題都是為了學生更好地掌握一個知識點或概念而出現(xiàn)的．比如小學所學的偶數(shù)的概念，這個概念的內(nèi)涵就是在整數(shù)中，能被2整除的數(shù)，也就是2的倍數(shù)2n．而偶數(shù)概念的外延就是2,4,6,8,26,…．再如，一元二次方程這個概念的內(nèi)涵是ax2+bx+c(a≠0)，那么一元二次方程的外延是一切形如ax2+bx+c(a≠0)的式子．概念的內(nèi)涵與外延之間存在一個反變關(guān)系．這種反變關(guān)系通俗易懂地講就是概念的內(nèi)涵小，那么概念的外延就大；概念的內(nèi)涵大的，那么此概念的外延就比較小.就如平行四邊形和四邊形，平行四邊形的概念內(nèi)涵比四邊形的概念內(nèi)涵大，那么平行四邊形的概念外延就比四邊形的概念外延?。倩氐嚼}與習題的包含關(guān)系上，可以這么理解，習題涉及的這個知識點或是概念的外延很大，但是上課無法永遠窮盡，所以在有無限外延的習題當中挑選了具有代表性的這個概念的外延，也就是所說的例題．

人民教育出版社(以下簡稱人教版)2012年出版的初一教材第1章第1節(jié)給出了負數(shù)的概念：在正數(shù)前加上符號“-”(負)的數(shù)叫做負數(shù)．這也是負數(shù)概念的內(nèi)涵，后面舉的例題是：(1)一個月內(nèi)，小明體重增加2 kg，小華體重減少1 kg，小強體重無變化，寫出他們這個月的體重增長值；(2)某年，下列國家的商品進出口總額比上年的變化情況……這道例題是在綜合考量學生對負數(shù)、正數(shù)和0的掌握．后面的習題有全國平均降水量、物體的正負移動、走路的東西方向、水位的升降和氣溫的變化等，由此無不看出，習題的范圍比例題的范圍更廣．

2.3.2 補充關(guān)系

習題是例題的補充.一節(jié)課就45分鐘，不可能滿本教材全是例題，都讓教師在課堂上講解．正如《學記》里第七段所提及的：大學之教也，時教必有正業(yè)，退息必有居學．意思大致是大學的教學組織形式是：按時進行正課教學，課后從事課外作業(yè)．也如陸佃所說：“居學，言退息之所學也．”[3]不得不說，古人的想法極富智慧，而且也適合于現(xiàn)如今的一些教育現(xiàn)象．習題是例題的補充，讓學生有更多時間來鞏固自己在課堂上的所學的新知識．

例如，在有理數(shù)的加法第1章第3節(jié)中，通過物體先后運動的一個數(shù)學問題，總結(jié)出有理數(shù)加法法則有3條：法則一是同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；法則二是絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；法則三是一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．教師和學生一起總結(jié)完這些法則，下面緊跟著一道例題，包含兩個小題：第一道是(-3)+(-9)；第二道是(-4.7)+3.9．可以看到這兩道例題緊扣法則一和法則二，很有代表性．細看似乎漏掉了什么，比如同號的兩數(shù)還有一種情況是都是正數(shù)；異號的兩數(shù)也有正數(shù)大于負數(shù)的情況；互為相反數(shù)的兩個數(shù)的加法和一個數(shù)與0的加法在例題中也未體現(xiàn)．但是在下面緊跟的練習題第二道中出現(xiàn)：(1)(-4)+(-6)；(2)4+(-6)；(3)(-4)+6；(4)(-4)+4；(5)(-4)+14；(6)(-14)+4；(7)6+(-6)；(8)0+(-6)．顯而易見，習題對例題進行了很好的補充，除了正數(shù)和正數(shù)相加都涉及到了，這也體現(xiàn)了例題和習題的精簡性.例題當中的兩道小題都是選取了負數(shù)，能很好地鞏固負數(shù)知識，而不是選取兩個正數(shù)相加和一個大的正數(shù)減去一個小的負數(shù)，不然與小學低年級學習的數(shù)的加減法沒有差別，這也引起了學生的沖突認知.教師上課利用這兩道題能讓學生更好地掌握本課的難點，再加上我們的知識點，學生可以完滿地掌握本節(jié)的知識．同時，這也說明中學課本中的例題都經(jīng)過認真篩選，都是數(shù)學中的“精品”，具有很強的典型性和代表性．

2.3.3 緊密關(guān)系

例題與習題必然是緊密相連、相輔相成的．就好比修建一棟大樓，這里的大樓可以看成學生和教師所使用的教材，那么一堂課所包含的知識點和例題不是常說的打地基，而要想把地基建得很牢固，是和習題緊密相關(guān)的，要用習題來對例題進行更好的鞏固，進而更好地掌握知識點，以便把基礎打扎實．后面再將知識與例題習題內(nèi)化于心，在經(jīng)歷周測、月考、期中考試和期末考試后，將知識點、例題和習題學以致用，逐漸地搭建成樓層．后面的大樓能否修建得好，取決于每一步是否足夠穩(wěn)妥，是否將知識點、例題和習題完全掌握，它們貫穿于整個過程(圖2)．

(3)由于浮選金精礦產(chǎn)率較小，金、鉛浮選分離及鉛細磨浸出工藝生產(chǎn)成本增加有限，遠低于所獲鉛精礦以及金、銀增加回收率所增效益。針對日處理24 t的金浸出系統(tǒng)，半年可收回基建投資。

圖2 例題與習題的緊密關(guān)系

2.3.4 拔高關(guān)系

就如康德在《論教育學》中所談及的，學習規(guī)則的同時學會對它的應用[4]．一方面，習題幫助學生復習回憶所學的新知識，起到鞏固新知的作用．另一方面，習題也是例題的一個拔高，讓學生在學會一些基礎知識后，將其進行更高層次的運用，這也是根據(jù)學生的心理特征來的，先夯實基礎，再多層次地運用．從例題和習題在教材中所占的篇幅和數(shù)量關(guān)系來看，習題更是一個載體，提高學生的思維水平、培養(yǎng)學生的研究創(chuàng)新意識和慢慢地積淀數(shù)學素養(yǎng)．而且有些習題自身也是知識點，是對教材知識點的補充和延續(xù)．

例如，在人教版初一教材的有理數(shù)加法過渡到有理數(shù)的減法時，有一道實驗探究題“填幻方”．題目如下：

有人建議向火星發(fā)射如圖3的圖案，它叫作幻方，其中9個格子中的點數(shù)分別是1,2,3,4,5,6,7,8,9．每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的點數(shù)的和都是15．如果火星上有智能生物，那么他們可以從這種“數(shù)學語言”了解到地球上也有智能生物(人)．你能將-4,-3,-1,0,1,2,3,4這9個數(shù)分別填入幻方的9個空格中，使得處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數(shù)相加都得0嗎？和同學交流一下，你們填這個幻方的方法相同嗎？

圖3 幻方

這道題很能吸引學生眼球，也能啟發(fā)他們的思維，讓其饒有趣味地運用有理數(shù)的加法法則二中互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，也能培養(yǎng)學生自主探究的意識和交流表達的能力．

2.3.5 服務關(guān)系

例題和習題是相互服務的，它們最終都是為知識點服務、為學生的發(fā)展服務、為教師的傳授服務．總而言之，最后的消費者是學生和教師．對于如何更好地做好服務，我們腦海里面肯定會冒出來一個念頭：首先質(zhì)量要好，保質(zhì)保量．選取的題必須要精，要能直擊教材所要求掌握的知識點或概念，需要很好地讓學生明白概念的內(nèi)涵與外延．量要適度，每個知識點或概念的考查要適量，切忌出現(xiàn)一個知識點題太多而另一個知識點吃不飽的現(xiàn)象，這也是很考驗教材的編寫者．

(-5)×(-3)，……同號兩數(shù)相乘；

(-5)×(-3)=+( )，……得正；

5×3=15，……把絕對值相乘；

所以(-5)×(-3)=15．

又如，(-7)×4，……；

(-7)×4=-( )，……；

7×4=28，……；

所以(-7)×4=( )．

例題可以很好地為后面的習題服務，學生只有在掌握好例題之后，才能又快又準地解決習題．這也體現(xiàn)了例題的示范作用．例題和習題都能很好地為知識點服務，為使消費者(教師)更好地教、消費者(學生)更好地學(圖4)．

圖4 例題和習題與學生和教師的服務消費關(guān)系

3 建議

3.1 例題和習題應多讓學生提出問題

不論是例題還是習題，都可以把它們稱作數(shù)學問題．數(shù)學問題在學生學習和課堂教學中具有重要作用．學生所經(jīng)歷的數(shù)學問題不僅決定著他們學什么，而且決定著他們?nèi)绾嗡伎?、理解、發(fā)展和使用數(shù)學．[5]但是筆者現(xiàn)在所接觸的都是在讓學生解答已經(jīng)給出的問題，而不是給出一些已知條件，讓學生來提出問題自己解答，或是小組一起解決．提出問題的高度也是學生整個思維或想法的呈現(xiàn)，能讓學生大膽地去想，因為后面要解答，所以也是有依據(jù)地想．這樣可以更好地發(fā)散學生思維，而不會將其束縛在給定的數(shù)學題中．這或許也會碰撞出想象不到的智慧．

3.2 例題和習題之間應注重變式

例題和習題都是為了讓學生更好地掌握知識點，但是知識點的考查有方方面面，如果例題永遠是正向的，習題也是正向的，那么長此下來勢必會加大學生的定勢思維．所以習題應該適當?shù)刈餍┳兪?，而不是簡單地換個數(shù)字或換個情境，要讓類型更多樣；也可以稍微地與考試接軌一下，讓學生覺得自己做習題有不一樣的收獲，而不是將學生推向一本又一本的練習冊、一張又一張的教案．總之，讓學生“吃透教材”，便會有滿滿的收獲．

3.3 例題和習題應更有針對性

眾所周知，學生的水平大多參差不齊，在實際教學中絕大部分習題往往是不區(qū)分學習能力以及學習成績的，大家都學習同樣的例題，都做著同樣的習題，缺乏例題和習題的針對性.例題和習題應體現(xiàn)教學的層次性．在數(shù)量上要有彈性，不搞一刀切，給學生一個自主選擇、協(xié)調(diào)發(fā)展的空間，讓不同層次的學生都獲得成功的體驗．在內(nèi)容上要具有針對性：一要針對本節(jié)內(nèi)容.二要針對不同層次的學生.可以在例題后面適當附帶能力要求高的思考題以滿足一些“吃不飽”學生的要求.三要針對學生的知識儲備，不能將例題習題演變成智力題．[6]

3.4 例題和習題應適當增加實踐活動題

現(xiàn)在的例題和習題大多數(shù)都還是在紙面上的，很少有讓初中生自己動手操作的題目、實踐活動的題目．曾經(jīng)在文獻[7]中看到過這樣一個案例，這個例子來自凱莉·埃瑟里奇老師．她描述了一個關(guān)于10年級英國學生寫有關(guān)環(huán)境論文項目的情況．學生可以選擇他們研究的環(huán)境問題，但是必須展現(xiàn)出與他們所選問題相關(guān)的知識以及寫作技巧和交流技巧．在文章完成之后，學生們要運用他們所寫的文章中的知識去處理現(xiàn)實中的問題．一組對文學并沒有特殊的喜愛的男生，寫了有關(guān)水污染的問題．這些男生在小組內(nèi)協(xié)商完選擇了一條在他們學校附近并被污染了的道格河作為目標．他們想出了一個解決方案并制定了計劃．隨后，他們獲得了當?shù)貓蠹埦栀浀囊粋€價值3 400美元的廣告，以擴大人們對這個問題的關(guān)注．他們找到了一家咖啡廳，通過提供某種咖啡飲品來籌集資金．在學校放假兩周后——需要注意的是這已經(jīng)是在完成學分課程之后——這些孩子和當?shù)仉娨暸_一起清理河道并向觀眾說明社區(qū)居民應該如何去做才能保證道格河未來不被污染．[7]當然，這在數(shù)學教材中不太適用，但是總說要提高學生的興趣，不能光從教師的教法入手，也要深入其源頭，從這個知識點、這個數(shù)學題自身出發(fā)．不得不說，這對教材編寫者是一個很大的考驗，但是一旦成功，會大大提高學生學習的自主性，因為這對學生來說已經(jīng)不僅僅是一個任務，而是已經(jīng)把它當做自己的事來完成．

3.5 例題和習題應以心理學知識為依據(jù)

數(shù)學是一門學科，當它由教師傳授給學生時就變成了一門教育學科．在學習教育時我們都知道人的發(fā)展是有階段性的，而這種階段性發(fā)展與心理學有很大的關(guān)聯(lián)．皮亞杰認為3～7歲的孩子處于前運算階段，需要靠具體形象來進行思維；7～12歲的孩子處在具體運算思維階段，可以進行一些邏輯推理，但還是要依靠具體的事物來進行思維；12～15歲的孩子處于形式運算階段．初中階段的孩子開始從直觀思維向抽象思維過渡．還有從什么時候開始孩子有了可逆思維、在什么時候發(fā)展得更加完善，這都是教材編寫者在例題習題編排的時候需要內(nèi)化于心的．抓住思維發(fā)展的階段，也就是抓住了教育的關(guān)鍵期，在適當?shù)臅r候給予學生合適的例題習題，這對掌握知識的作用不可估量．正如維果斯基提出的“最近發(fā)展區(qū)”理論，可以通過設置梯度遞進的例題和習題，來突破學生的每一個最近發(fā)展區(qū)．