Ease-off拓?fù)湫扌螠?zhǔn)雙曲面齒輪齒面數(shù)控修正

蔣進(jìn)科，方宗德，劉紅梅

(1.長安大學(xué) a.汽車學(xué)院;b.汽車運(yùn)輸安全保障技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710064;2.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院， 西安 710072)

準(zhǔn)雙曲面齒輪廣泛應(yīng)用于車輛主減速器，其齒面復(fù)雜且加工難度大。目前在汽車工業(yè)中運(yùn)用最廣泛的是刀傾半展成銑齒法(HFT)，其齒面設(shè)計(jì)、加工一直是研究的重點(diǎn)。國內(nèi)外學(xué)者對準(zhǔn)雙曲面齒輪的齒面設(shè)計(jì)、加工方法等進(jìn)行了大量研究：局部綜合法[1]、高階傳動(dòng)誤差齒面[2]、主動(dòng)設(shè)計(jì)方法[3]、全局綜合法[4]、刀傾全展成切齒法[5]及雙螺旋切齒法[6]等，主要集中于修正搖臺(tái)型機(jī)床運(yùn)動(dòng)參數(shù)的拋物線傳動(dòng)誤差齒面，盡管這種局部共軛齒面可有效避免齒面邊緣應(yīng)力集中現(xiàn)象，但造成了齒輪副失配量過大，導(dǎo)致強(qiáng)度降低及承載變形過大，因此不能從根本上改善齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合特性。

為了更為直觀控制齒面失配量，一種相對于共軛齒面的修形即齒面ease-off修形技術(shù)已成為螺旋錐齒輪齒面設(shè)計(jì)與加工的研究熱點(diǎn)，其較傳統(tǒng)的修形方法不僅直觀而且避免了復(fù)雜的齒面曲率計(jì)算。文獻(xiàn)[7-8]結(jié)合齒面承載接觸分析(loaded tooth contact analysis, LTCA)方法進(jìn)行最優(yōu)ease-off修形準(zhǔn)雙曲面齒輪設(shè)計(jì)，其關(guān)鍵技術(shù)不詳。文獻(xiàn)[9-10]結(jié)合齒面接觸分析(tooth contact analysis,TCA)方法，給定傳動(dòng)誤差和接觸區(qū)域大小設(shè)計(jì)弧齒錐齒輪ease-off曲面，再通過齒面離散，反求機(jī)床加工參數(shù)。文獻(xiàn)[11]建立螺旋錐齒輪副共軛差曲面修形量與相對曲率、共軛接觸線以及接觸跡線之間的聯(lián)系，設(shè)計(jì)ease-off曲面。文獻(xiàn)[12]構(gòu)造弧齒錐齒輪ease-off差齒面的密切曲面，通過二階密切曲面拓?fù)洹⒔佑|區(qū)可控參數(shù)綜合確定小輪齒面的接觸參數(shù)，進(jìn)而通過數(shù)值方法求解小輪的加工參數(shù)。目前，基于ease-off的復(fù)雜齒面修形方法主要是通過修正加工參數(shù)獲得ease-off修形曲面，再結(jié)合輕載下的TCA方法進(jìn)行接觸區(qū)域匹配仿真驗(yàn)證，其不能反映受載工況下齒輪副的嚙合性能，且無法實(shí)現(xiàn)自由ease-off修形齒面的設(shè)計(jì)。

拓?fù)湫扌卧诰X面載荷和改善齒輪綜合性能方面有顯著作用，基于ease-off螺旋錐齒輪拓?fù)湫扌锡X面很復(fù)雜，傳統(tǒng)的基于搖臺(tái)型機(jī)床的齒面修正技術(shù)[13-16]可調(diào)加工參數(shù)有限，不能實(shí)現(xiàn)高精度拓?fù)湫扌锡X面修正。文獻(xiàn)[17-18]研究了螺旋錐齒輪刀具刃形和刀具幾何參數(shù)對齒面誤差及接觸質(zhì)量的影響，基于CNC機(jī)床運(yùn)動(dòng)和刀具刃形誤差敏感性的齒面高階修正技術(shù)[19]，可實(shí)現(xiàn)自由ease-off修形齒面的修正，但求解方法較為困難，必須給出合理的修正參數(shù)邊界，特別是旋轉(zhuǎn)軸展成運(yùn)動(dòng)系數(shù)邊界，否則將產(chǎn)生較大修正誤差。

為了進(jìn)一步提高汽車驅(qū)動(dòng)橋品質(zhì)，筆者預(yù)設(shè)齒間間隙與齒面法向間隙，對HFT法小輪齒面進(jìn)行自由ease-off曲面設(shè)計(jì)，小輪修形齒面表示為ease-off曲面與大輪的全共軛齒面疊加；結(jié)合LTCA方法，優(yōu)化ALTE最小獲得最優(yōu)ease-off曲面，并推導(dǎo)其相對小輪理論齒面的目標(biāo)修形量?；诘毒吆虲NC機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸齒面誤差敏感性的修正模型，推導(dǎo)合理的參數(shù)邊界，進(jìn)而通過優(yōu)化方法確定了最優(yōu)ease-off齒面的加工參數(shù)，該方法可直接對齒面進(jìn)行任意自由修形設(shè)計(jì)與加工。

1 Ease-off修形齒面數(shù)學(xué)模型

點(diǎn)接觸齒面齒輪副傳動(dòng)性能與重合度有很大關(guān)系，其受載荷后的實(shí)際重合度受嚙合位置多齒對輪齒初始接觸間隙的影響很大。輪齒初始間隙可以用齒輪幾何傳動(dòng)誤差和接觸線法向間隙表達(dá)，齒輪幾何傳動(dòng)誤差可轉(zhuǎn)化為齒面法向位移即齒間間隙，齒間間隙與接觸線法向間隙之和定義為初始間隙。修形齒面是對共軛齒面幾何的微觀修正，其表達(dá)式無法脫離共軛齒面，可以表達(dá)為共軛齒面與ease-off修形曲面的疊加，進(jìn)而確定其準(zhǔn)確的解析表達(dá)式。根據(jù)搖臺(tái)型機(jī)床的準(zhǔn)雙曲面齒輪加工參數(shù)及切齒模型，可確定其理論齒面，該理論齒面為點(diǎn)接觸齒面，按照齒輪嚙合理論和齒輪副安裝關(guān)系，用大輪理論齒面按照名義傳動(dòng)比與小輪嚙合，可獲得與大輪完全共軛的小輪齒面。齒間間隙與接觸線法向間隙各自反映著齒輪傳動(dòng)性能的不同方面，因此，需要結(jié)合齒間間隙與齒面法向間隙產(chǎn)生的機(jī)理進(jìn)行ease-off修形曲面設(shè)計(jì)。齒間間隙可通過圖1(a)所示的高階傳動(dòng)誤差(參數(shù)為λ1，λ2及ε0～ε4)曲線表示，通過圖1(b)所示曲線(參數(shù)為d1,d2,q1,q2及θa)經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換映射后得到齒面法向間隙如圖1(c)所示。基于ease-off的修形準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面數(shù)學(xué)模型詳見文獻(xiàn)[20]。

圖1 基于齒輪幾何傳動(dòng)誤差與接觸線修形的ease-off修形曲面設(shè)計(jì)Fig.1 Design of ease-off flank modification surface based on transmission error and contact line

齒輪承載傳動(dòng)誤差幅值(amplitude of loaded transmission error, ALTE)是工作過程中振動(dòng)的直接激勵(lì)，是產(chǎn)生振動(dòng)、噪聲的重要因素。結(jié)合TCA、LTCA優(yōu)化齒面的最大載荷與ALTE最小，可確定齒間接觸間隙參數(shù)和齒面法向接觸間隙參數(shù)進(jìn)而確定最優(yōu)ease-off修形齒面。

2 準(zhǔn)雙曲面齒輪數(shù)控切齒模型

圖2(a)～(b)為6軸CNC錐齒輪機(jī)床模型及坐標(biāo)系，其中坐標(biāo)系St,Sp分別固聯(lián)于刀具與工件。Sa，Se為固定坐標(biāo)系且各坐標(biāo)軸平行。輔助坐標(biāo)系Sf與工件箱固連，其繞ye軸旋轉(zhuǎn)后偏離φb角度，并移動(dòng)Cd距離。St相對Sa繞za軸旋轉(zhuǎn)角為φc；Sp相對Sf繞xf軸旋轉(zhuǎn)角為φa。Cd為工件節(jié)錐頂至固定坐標(biāo)系原點(diǎn)Oe的距離，為機(jī)床常參數(shù)。刀盤與工件的相對運(yùn)動(dòng)被分解為X，Y，Z3個(gè)方向的直線運(yùn)動(dòng)和繞Ca，Cb，Cc軸的3個(gè)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，通過復(fù)合空間運(yùn)動(dòng)來完成實(shí)際展成運(yùn)動(dòng)。理論上CNC錐齒輪機(jī)床可以模擬任何帶刀傾和變性機(jī)構(gòu)的傳統(tǒng)機(jī)床。采用端面銑齒刀盤和X，Y，Z，Ca及Cb5軸聯(lián)動(dòng)可以展成格里森制齒面；采用端面滾齒刀盤和X，Y，Z，Ca，Cb及Cc6軸聯(lián)動(dòng)可以展成奧利康制齒面。

圖2 準(zhǔn)雙曲面齒輪機(jī)床模型及坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate systems and generator model for the six-axis CNC hypiod gear generator

從搖臺(tái)型機(jī)床向free-form型機(jī)床的運(yùn)動(dòng)等效轉(zhuǎn)換原則是保證刀具與工件的相對位置和姿態(tài)在任意時(shí)刻都相同。搖臺(tái)型機(jī)床坐標(biāo)系如圖2(c)所示，刀盤動(dòng)坐標(biāo)系St繞輔助坐標(biāo)系Sa的za軸的旋轉(zhuǎn)角為β；Sa相對輔助坐標(biāo)系Sb的yb軸旋轉(zhuǎn)刀傾角度為i；Sb相對搖臺(tái)坐標(biāo)系Sc的zc軸旋轉(zhuǎn)刀轉(zhuǎn)角度為j，并沿xc軸平移徑向刀位SR；Sc相對機(jī)床固定坐標(biāo)系Sd的zd軸旋轉(zhuǎn)搖臺(tái)初始轉(zhuǎn)角為q。坐標(biāo)系Se，Sf為確定被加工齒輪安裝位置的輔助坐標(biāo)系，S1為工件動(dòng)坐標(biāo)系，γm為輪坯安裝角，Em為垂直輪位，ΔB為床位，ΔA為水平輪位，φ1為工件轉(zhuǎn)角。由于刀傾結(jié)構(gòu)的存在，工件軸和刀具軸之間的最短距離矢量(大小和方向)是不斷變化的，而在CNC錐齒輪機(jī)床中兩者最短距離矢量的方向是不變的，并且始終平行于某一軸，如何保證刀盤和工件的相對位置和姿態(tài)相同的具體推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[21-22]，可以得到：

(1)

(2)

(3)

(4)

3 Ease-off齒面加工參數(shù)求解

在已知加工參數(shù)確定的理論齒面基礎(chǔ)上，修正銑刀盤切削刃曲線、刀盤半徑及CNC機(jī)床各軸高階運(yùn)動(dòng)參數(shù)，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜修形齒面的校正；然而，ease-off曲面是相對共軛齒面的法向修形量，因此，需要將其轉(zhuǎn)化為相對理論齒面的修形量。工件齒輪目標(biāo)ease-off修形齒面位矢Rm表示為

Rm=R10+δmN10,

(5)

式中：δm為最優(yōu)ease-off修形量，R10,N10為小輪共軛齒面位矢及法矢量。設(shè)小輪理論齒面的ease-off修形量為δg，則其位矢Rg表示為

Rg=R10+δgN10。

(6)

結(jié)合式(5)(6)可得最優(yōu)ease-off拓?fù)湫扌锡X面相對理論齒面的修形量δmg為

δmg=(Rm-Rg)·Ng=(δm-δg)(N10·Ng)。

(7)

式中：Ng為小輪理論齒面單位法矢。根據(jù)CNC螺旋錐齒輪機(jī)床的5個(gè)聯(lián)動(dòng)軸的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)位置，可選參數(shù)φ1(或φc)為各軸之間的聯(lián)系參數(shù)，實(shí)際加工中φ1為時(shí)間的函數(shù)，進(jìn)而可擬合出5個(gè)聯(lián)動(dòng)軸的表達(dá)式。各運(yùn)動(dòng)軸的位置展成6階多項(xiàng)式為

(8)

根據(jù)微分幾何最優(yōu)ease-off拓?fù)湫扌锡X面相對理論齒面的法向修形量δmg表示為

(9)

簡化可用矩陣表示為

δmg=Sζ，

(10)

式中：ζ為附加運(yùn)動(dòng)參數(shù)系數(shù)ζj(即Cx，Cy，Cz，Ca、Cb多項(xiàng)式系數(shù)及刀具刃形和半徑修形參數(shù)共計(jì)46個(gè))組成的列向量;S為齒面敏感矩陣，由網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)i(i=1,2,…,p，p為齒面網(wǎng)格點(diǎn)個(gè)數(shù)取9×15=135)處的齒面誤差敏感系數(shù)組成的行向量Si構(gòu)成。式(10)為一個(gè)超定線性方程組，由于S通常為病態(tài)矩陣，有時(shí)甚至奇異，求解得到的加工參數(shù)調(diào)整量可能會(huì)超出實(shí)際調(diào)整范圍；其次通過微分求解的理論齒面上的某網(wǎng)格點(diǎn)i的微分只能在微小的范圍變化，否則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差；通過分析驗(yàn)證可知，對于旋轉(zhuǎn)軸其運(yùn)動(dòng)系數(shù)的變化是很有限的，因此求解被視為一個(gè)合理約束邊界下的優(yōu)化問題：

(11)

給定某一個(gè)軸的任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)，通過比較式(10)引起的齒面誤差和該參數(shù)對應(yīng)加工參數(shù)變化引起的齒面誤差的一致性確定邊界

(12)

4 算例與分析

以一對弧齒準(zhǔn)雙曲面齒輪的工作面為例，大輪額定扭矩為 600 N·m；齒輪副幾何參數(shù)見表1，理論齒面加工參數(shù)見表2，CNC機(jī)床常參數(shù)Cd=0。優(yōu)化的最優(yōu)ease-off拓?fù)湫扌吻鎱?shù)見表3。

表1 準(zhǔn)雙曲面齒輪副幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of hypoid gears

表2 準(zhǔn)雙曲面齒輪加工參數(shù)Table 2 Cutting parameters of hypoid gears

表3 最優(yōu)ease-off拓?fù)湫扌吻鎱?shù)Table 3 Parameters of the best ease-off topological modification surface

圖3為CNC機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸齒面誤差敏感性仿真，圖中注釋例如“aij+0.1”表示：j軸的i階運(yùn)動(dòng)系數(shù)變化+0.1。1)0階參數(shù)變化引起齒厚修正(見圖3(a1),(b1),(c1),(d1),(e1))；2)1階參數(shù)變化引起齒面反向?qū)切拚?，即同時(shí)引起齒高方向的壓力角和齒寬方向的螺旋角修正(見圖3(a2),(b2),(c2),(d2),(e2))；3)2階參數(shù)變化引起齒面同向?qū)切拚?見圖3(a3),(b3),(c3),(d3),(e3))；4)各軸系數(shù)隨階次增加，對齒面整體校正量減小即敏感性降低；5)對凹面的校正主要體現(xiàn)在小端齒頂處和大端齒根處；6)各軸校正敏感性為：工件安裝角軸(Cb)>工件旋轉(zhuǎn)軸(Ca)>刀具中心移動(dòng)軸(Cx)=刀具中心移動(dòng)(Cy)>工件移動(dòng)軸(Cz)；7)刀具刃形、壓力角校正引起齒廓校正(見圖3(f1),(f2))，刀盤半徑變化引起齒厚校正(見圖3(f3))。可見螺旋錐齒輪CNC銑齒機(jī)各運(yùn)動(dòng)軸的附加運(yùn)動(dòng)主要引起齒厚誤差和對角誤差(齒向方向)校正，刀具刃形修形主要產(chǎn)生齒廓修形。

圖3 CNC機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸0階、1階及2階系數(shù)齒面誤差敏感性仿真Fig.3 Simulation of flank error sensitivity to 0, 1 and 2 order coefficients of kinematic axes for the CNC hypoid generator

圖4 TCA及承載傳動(dòng)誤差幅值仿真Fig.4 Simulation of both TCA and ALTE on loads

齒面CNC修正仿真：1)最優(yōu)ease-off齒面主要為齒廓修形和齒向修形，在大端齒頂、小端齒根處最大修形量分別為23，17 μm，其相對理論齒面的修形量(目標(biāo)修形量)如圖5(a)所示，注意為增材料，在大端齒頂、小端齒根處最大修形量分別為-160，-68 μm。CNC修正后的曲面如圖5(b)所示，校正誤差主要為齒廓誤差，最大誤差為2 μm(≤1%,見圖5(c))；2)CNC各軸運(yùn)動(dòng)曲線接近線性，工件旋轉(zhuǎn)軸(Ca)和刀具中心移動(dòng)軸(Cx)運(yùn)動(dòng)變化較大(見圖6(a))；3)工件安裝角軸Cb，Ca及刀具中心移動(dòng)軸(Cx和Cy)有較大的附加運(yùn)動(dòng)。結(jié)合圖3可見Ca，Cb和Cx主要引起小端齒頂減材料修正，而Cy主要引起大端齒根減材料修正，其變化趨勢與目標(biāo)修形量變化趨勢基本一致(見圖6(b))；表4為修形前后加工參數(shù)表達(dá)式，各階系數(shù)有微小變化；通過計(jì)算獲得的Ca軸運(yùn)動(dòng)系數(shù)邊界λ=±0.01，Cb軸運(yùn)動(dòng)系數(shù)邊界λ=±0.002。

表4 5軸CNC加工準(zhǔn)雙曲面齒輪參數(shù)表達(dá)式Table 4 Parameter expression of kinematic positions based on the five-axis CNC hypoid gear generator

圖5 5軸聯(lián)動(dòng)CNC修正ease-off拓?fù)湫扌螠?zhǔn)雙曲面齒輪仿真Fig.5 Simulation of ease-off flank correction based on a five linked axis CNC hypoid generator

圖6 5軸CNC機(jī)床加工準(zhǔn)雙曲面齒輪運(yùn)動(dòng)曲線仿真 Fig.6 Simulation curves of kinematic axis based on the five-axis CNC hypoid gear generator

需要說明的是實(shí)際應(yīng)用中，對于一般安裝精度的車輛主減速器齒輪，可以僅僅通過修正銑齒機(jī)各運(yùn)動(dòng)軸參數(shù)主要產(chǎn)生的齒向修形來改善安裝誤差敏感性，進(jìn)而改善傳動(dòng)性能。盡管齒向修形非常有利于降低安裝誤差的敏感性，但是也易導(dǎo)致齒面適配量較大，降低重合度；因此，對于高精度安裝的齒輪副，為了保證齒輪副有較大的重合度(正如漸開線圓柱齒輪)，齒面通常需要較小的齒向修形，主要是對齒頂和齒根進(jìn)行齒廓修形來改善傳動(dòng)性能，而齒頂或齒根修形主要是通過對刀具橫截面刃形的修正實(shí)現(xiàn)的，因此需選用這一刀具參數(shù)。刀具刃形的修正工藝較為復(fù)雜，且刀具成本較高，易產(chǎn)生磨損，而機(jī)床附加運(yùn)動(dòng)的修正更為柔性，因此，對于一般安裝精度齒輪主要考慮減小安裝誤差敏感性時(shí)，可不考慮刀具刃形的修形。對于高精度及高精度安裝的拓?fù)湫扌锡X輪，除了考慮機(jī)床運(yùn)動(dòng)參數(shù)的修正，還需要考慮刀具刃形的修形。

5 結(jié) 語

1)預(yù)設(shè)齒間間隙與齒面法向間隙進(jìn)行自由ease-off曲面設(shè)計(jì)，小輪ease-off修形齒面表示為ease-off曲面與大輪的全共軛齒面疊加；結(jié)合LTCA方法，優(yōu)化ALTE最小，獲得最優(yōu)ease-off曲面。

3)基于理論齒面加工參數(shù)，獲得齒面誤差敏感性系數(shù)矩陣的方法求解修形齒面加工參數(shù)時(shí)，需要確定合理的旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)參數(shù)邊界。

4)螺旋錐齒輪CNC銑齒機(jī)各運(yùn)動(dòng)軸主要引起齒厚誤差和對角誤差校正，自由ease-off拓?fù)湫扌锡X面的修正需要增加刀具刃形修正；該研究為高精度、高性能螺旋錐齒輪的齒面設(shè)計(jì)與加工提供理論方法。