多項式插值法在水位推測中的應用

王 朝，郭志勇

（中交第一航務工程勘察設計院有限公司，天津 300222）

引 言

水位對水深測量起決定性的作用，水位的準確性直接關系到水深測量的精度，是水深測量的基礎。水域中其他水位站通常會通過近岸水位站進行傳遞和換算，因此近岸水位數(shù)據(jù)的準確性很重要。目前，對近岸水位觀測的方法主要為人工水尺觀測、驗潮井驗潮儀和壓力式驗潮儀。人工水尺觀測是對一定短時間內(nèi)的連續(xù)讀取的多次水位數(shù)據(jù)取平均值作為此時刻的水位值，人工多次觀測取均值對瞬時水位變化起到一定的濾波作用，水位數(shù)據(jù)不會出現(xiàn)較大的異常值，人工觀測會受到海況、天氣、觀測者的主觀因素以及水尺的標定等制約條件，同時對驗潮基準也要進行定期檢查；驗潮井底部的出入水管道起到的阻尼作用能夠有效的進行濾波，水位數(shù)據(jù)變化平滑，無異常水位數(shù)據(jù)，驗潮井內(nèi)的設備需要定期的進行維護和校對，不然對水位觀測存在時差和精度方面的問題，同時驗潮井造價高，受到有關部門的管理，在使用通用性方面受到一定的制約；壓力式驗潮儀便攜、精度高，使用前需要注意儀器的時間設置、校準和比對，驗潮儀可以設置一定時間內(nèi)（30～60 s）濾波，獲得此時刻潮位數(shù)據(jù)，但是固定濾波周期的數(shù)字濾波不是根據(jù)實際海況進行選擇的，觀測水位數(shù)據(jù)存在異常變化的可能性比較大，因此對驗潮儀的觀測數(shù)據(jù)需要進行檢查和必要的濾波處理[1,2]。

對水位逐時數(shù)據(jù)推測方面，許多學者進行了研究，并提出了一定的有效方法。孫維康[3]使用了二次拋物線擬合法、自報值循環(huán)逼近法和參數(shù)法對水位數(shù)據(jù)進行推測，對缺測的水位進行補齊，三種方法對水位數(shù)據(jù)都能夠進行有效的推算，并滿足海道測量規(guī)范要求。自報值循環(huán)逼近法較二次拋物線擬合法和參數(shù)法的精度較低，二次拋物線擬合法簡便，不受驗潮站潮汐性質(zhì)的影響，在非大潮和非小潮期間數(shù)據(jù)效果較好，參數(shù)法不受水位數(shù)據(jù)時長的限制，水位推算準確程度高，但是需要相關性較強的兩個相鄰同步驗潮站的資料[4,5]。對水位數(shù)據(jù)的判斷可以看作水位數(shù)據(jù)粗大誤差的判讀，熊艷艷[6]研究了四種常用的判別準則，對粗大誤差數(shù)據(jù)進行有效剔除，羅俐雅[7]把使用符合樣本數(shù)較多且服從正態(tài)分布的拉伊達準則和肖維勒準則進行檢驗，并取得了較好的結(jié)果。

水位曲線是連續(xù)光滑的曲線，使用二次拋物線擬合法和多項式插值法對驗潮儀獲得的水位數(shù)據(jù)進行逐時擬合，通過擬合數(shù)據(jù)和實測水位數(shù)據(jù)比較，運用拉伊達準則和肖維勒準則進行判斷推測水位數(shù)據(jù)。

1 方法原理

1.1 水位推算方法

方程組的矩陣形式為：

方程組的系數(shù)矩陣為范德蒙德（Vandermonde）行列式，且方程組有唯一解。使用范德蒙德行列式計算公式和克拉默法則可以求得方程組的解，即函數(shù) )(xfy= 的參數(shù)值 naaa ,,,10… 。

文獻[8]通過已知點擬合未知點，可以把已知點加權(quán)平均后表達未知點，通過加權(quán)系數(shù)表示已知點對未知點的影響程度，則表達式有：

方程組的矩陣形式為：

使用范德蒙德行列式計算公式和克拉默法則可以求得方程組的唯一解：

未知點函數(shù)表達式為：

從以上過程可以看出，加權(quán)平均法具有一定的物理意義，同時在計算過程公式形式更規(guī)范化，使單參數(shù)的計算過程更簡單。

1.2 異常數(shù)據(jù)判別方法[7]

數(shù)據(jù)判別使用的拉伊達準則和肖維勒準則都是基于樣本服從正態(tài)分布的假定。

1）拉伊達準則

第i 個推算的潮位數(shù)據(jù)為xi，實測的水位數(shù)據(jù)為hi，則誤差方程為：

2）肖維勒準則

由正態(tài)分布概率計算公式得：

已知樣本數(shù)N，根據(jù)公式（13）、（15）計算限差ZS，判讀推測數(shù)據(jù)的異常值。

2 水位數(shù)據(jù)推算

本文使用緬甸仰光河，距入?？诩s25 km 處的驗潮儀水位數(shù)據(jù)。由于受到海水的潮汐作用，河水的水位有潮汐變換情況，為規(guī)則半日潮，同時受到河水流動的作用力，水位曲線會受到一定的影響。

選用2019 年11 月17 日0:00 至23:55 的驗潮儀水位數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)間隔為5 分鐘，共288 個水位數(shù)據(jù)，并通過水文專業(yè)處理，保證數(shù)據(jù)的正確性。對數(shù)據(jù)分別使用二次拋物線擬合和多項式加權(quán)插值的方法，進行逐時水位數(shù)據(jù)的推算，多項式加權(quán)插值法選用三個已知點，擬合中間點的水位數(shù)據(jù)，被擬合點分別從前、后兩個方向進行擬合，取平均值作為該點的最終擬合值。最后，應用拉伊達準則和肖維勒準則對推算的水位數(shù)據(jù)進行判斷。推算水位數(shù)據(jù)的結(jié)果如表1。

表1 推算水位數(shù)據(jù)結(jié)果

從擬合插值的方法可以看出，被擬合點都是由相鄰點進行擬合和推算的，因此使用上面兩個方法對數(shù)據(jù)列的開始和結(jié)尾的兩個數(shù)據(jù)不能擬合，造成數(shù)據(jù)的浪費。因此，使用多項式外推的方法，即通過三個已知點擬合曲線的趨勢，對未知點進行推算。使用多項式加權(quán)平均法外推水位數(shù)據(jù)的結(jié)果，見表2。

表2 外推水位數(shù)據(jù)結(jié)果

3 結(jié)果對比分析

從以上數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出，二次拋物線擬合法和多項式加權(quán)插值法對水位的推算都能夠有效的計算。多項式加權(quán)平均法對于外推的數(shù)據(jù)標準差和誤差都比較大，原因是外推的未知點可能和已知點的趨勢不同。拉伊達準則限差為3S，肖維勒準則為ZS，通過樣本數(shù)計算的Z 取值為3.12，兩種準則對異常值判斷除去后的推算水位數(shù)據(jù)能夠保證在 5 cm 的誤差范圍內(nèi)。

由表1 可以看出，二次拋物線擬合法和多項式加權(quán)平均內(nèi)插法得到的數(shù)據(jù)精度高，剔除異常值后的數(shù)據(jù)能夠保證在2 cm 的誤差范圍內(nèi)。兩種方法的標準差、最大誤差和最小誤差都相同，甚至異常值的個數(shù)和位置也都一樣，原因是：使用的多項式是函數(shù)次數(shù)為二次的三階多項式，與二次拋物線有極大的相似關系。被推算值都是根據(jù)相鄰數(shù)據(jù)進行解算，被推算數(shù)據(jù)的結(jié)果受已知值的影響程度很大。

為進一步驗證多項式加權(quán)平均插值法的適用性，將多項式擴展到四階三次多項式，對水位數(shù)據(jù)進行擬合內(nèi)插推算后的結(jié)果，見表3。

表3 水位數(shù)據(jù)擬合內(nèi)插推算結(jié)果

對二次拋物線擬合、三階二次多項式和四階三次多項式計算的誤差ri剔除異常數(shù)據(jù)后的統(tǒng)計結(jié)果見表4。

表4 剔除異常數(shù)據(jù)后的統(tǒng)計結(jié)果

從以上數(shù)據(jù)可以得出，二次拋物線擬合、三階二次多項式和四階三次多項式對水位數(shù)據(jù)都能夠進行有效推算，其中二次拋物線擬合、三階二次多項式解算結(jié)果相當。

4 結(jié) 語

本文使用二次拋物線擬合、三階二次多項式和四階三次多項式對水位數(shù)據(jù)進行了推算，結(jié)果數(shù)據(jù)表明三種方法都能夠進行有效的計算，結(jié)果數(shù)據(jù)的誤差都在2 cm 內(nèi)，其中二次拋物線擬合法和三階二次多項式加權(quán)內(nèi)插法的結(jié)果最好。從方法上來看，推算的數(shù)據(jù)受已知數(shù)據(jù)的影響程度較大，所以在使用擬合前需對數(shù)據(jù)進行檢查和濾波，使用多項式加權(quán)平均法需要對階數(shù)的選取進行判斷。拉伊達準則和肖維勒準則的最終限差分別為3S 和ZS，Z與樣本數(shù)有密切的關系，當Z 小于190 時，肖維勒準則判讀會更加準確[7]。本文只使用了一次計算，下一步需要對數(shù)據(jù)進行剔除異常值后，進行迭代計算，進一步驗證方法的可靠性。