剖析向量高考題 抓準(zhǔn)復(fù)習(xí)著力點(diǎn)

宋 磊

(上海南匯中學(xué) 201399)

一、高考對向量的考查內(nèi)容和要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》對向量進(jìn)行了刻畫：向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用.基于向量的重要性，平面向量是高考的重要考點(diǎn)之一.

高考對平面向量的考查主要有三個層面：知識層面，直接考查向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、垂直或平行關(guān)系、基底、模與夾角、向量基本定理等；方法層面，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、函數(shù)與方程等思想方法；素養(yǎng)層面，主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).2020年全國高考向量試題遵循了“考查基礎(chǔ)知識的同時，注重了思想方法和核心素養(yǎng)考查”的原則，很好地考查了知識點(diǎn)、思想方法和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、2020年高考向量試題剖析

平面向量融數(shù)、形于一體，具有幾何和代數(shù)的“雙重身份”，由于其知識的特點(diǎn)，在試題的基礎(chǔ)性、綜合性、靈活性、創(chuàng)新性、難度設(shè)計(jì)和區(qū)分度設(shè)計(jì)等方面提供了廣泛的試題命制空間，因而決定了其必然會成為歷年高考試題中的熱點(diǎn)內(nèi)容.筆者以2020年高考數(shù)學(xué)全國文理和各省市真題卷為例，擷取若干典型問題剖析，以期找尋試題中所含知識要點(diǎn)、思想方法，探求數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟核心素養(yǎng)，進(jìn)而指導(dǎo)和反思向量教學(xué)，為2021年高考復(fù)習(xí)抓準(zhǔn)著力點(diǎn).

1.注重向量基本運(yùn)算

低中難度的向量問題考查基本上是基于線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，以符號形式和坐標(biāo)形式兩種方式，展開平行、垂直、夾角、模等問題的考查.

例1 (2020年新課標(biāo)Ⅰ文14)設(shè)向量a=(1,-1)，b=(m+1,2m-4)，若a⊥b，則m=____.

A. 圓B. 橢圓C. 拋物線D. 直線

例3(2020年新課標(biāo)Ⅱ理13)已知單位向量a,b的夾角為45°，ka-b與a垂直，則k=____.

例4 (2020年新課標(biāo)Ⅲ理6)已知向量a,b滿足|a|=5，|b|=6，a·b=-6，則cos=( ).

例5 (2020年新課標(biāo)Ⅰ理14)設(shè)a,b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=____.

圖1

2.注重代數(shù)運(yùn)算與幾何推理相結(jié)合

由于向量是溝通代數(shù)與幾何的有力工具，向量問題的解決途徑一般有兩個：一是代數(shù)法，從向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、平面向量基本定理以及坐標(biāo)表示等方面思考，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有關(guān)問題解決；二是幾何法，通過向量的幾何意義以及向量的基本運(yùn)算將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.很多向量的綜合問題需要代數(shù)運(yùn)算與幾何推理相結(jié)合.

圖2

3.突出向量與其它知識的交匯

向量是溝通代數(shù)與幾何的重要工具，是聯(lián)系不等式、函數(shù)、三角、數(shù)列、幾何等多項(xiàng)內(nèi)容的橋梁.因此，向量與其它知識的交匯自然深受高考命題專家的青睞.

圖3

(2)After eliminating the observations affected by multipath by the EM-aided method.Through conversion,the ranging error was reduced to approximately 20%compared with that of dual-frequency ambiguity estimation.

圖4

評析方法1、2均采用代數(shù)法符號運(yùn)算，結(jié)合不等式、函數(shù)相關(guān)知識解決；方法3采用坐標(biāo)法；方法4是轉(zhuǎn)化為幾何法解決.

三、抓準(zhǔn)向量“三核心”，強(qiáng)化向量“四意識”

通過對2020高考向量試題的剖析，可以幫助我們抓準(zhǔn)復(fù)習(xí)的著力點(diǎn)，建構(gòu)2021高考復(fù)習(xí)的框架.筆者認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)抓準(zhǔn)向量“三核心”，強(qiáng)化向量“四意識”.

1.向量“三核心”

向量復(fù)習(xí)的第一個核心是加強(qiáng)基本概念與基本運(yùn)算的復(fù)習(xí)，主要包括平面向量基本定理、向量的模的運(yùn)算和幾何意義、向量的線性運(yùn)算、共線向量、向量數(shù)量積及相關(guān)的向量夾角與向量垂直等內(nèi)容，基本運(yùn)算包括符號形式與坐標(biāo)形式.

向量復(fù)習(xí)的第二個核心是明確向量代數(shù)與幾何雙角色，凸顯雙性.在復(fù)習(xí)過程中，例題的示范要凸顯雙性，如上文例9、例10一樣，讓學(xué)生感受到手中有兩招，可選擇可優(yōu)化，形成代數(shù)與幾何這兩個解題流程.

向量復(fù)習(xí)的第三個核心是注重平面向量運(yùn)算工具的靈活使用，縱橫交匯.由于平面向量作為溝通代數(shù)與幾何的橋梁，其研究幾何圖形性質(zhì)的工具性的作用非常明顯，因此，以平面向量為背景或利用平面向量作為解題工具來命制高考試題，是數(shù)學(xué)高考試題命制的常見方法.在全面復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，重視對主干知識和重要思想方法的掌握，掌握向量在知識交匯處的主要考查途徑和解決方式，讓學(xué)生體會關(guān)于高考數(shù)學(xué)命題的新理念.

2.向量“四意識”

第一，向量復(fù)習(xí)要有“坐標(biāo)意識”.“坐標(biāo)法”是解決向量問題的重要途徑，其優(yōu)點(diǎn)是思維方式比較“固定”，學(xué)生容易掌握.坐標(biāo)法的關(guān)鍵是合理建立直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確算出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).如上文例2、例6、例7均可以用坐標(biāo)法解決.

第二，向量復(fù)習(xí)要有“幾何意識”.我們要引導(dǎo)學(xué)生主動挖掘向量問題的幾何背景用以解題.很多時候，我們?nèi)绻軐⑾蛄繂栴}置于適當(dāng)?shù)膸缀伪尘爸校湍軌蚴钩橄髥栴}直觀化，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，從而快速求解.

第三，向量復(fù)習(xí)要有“投影意識”.向量的數(shù)量積是向量非常重要的核心知識，而投影對向量數(shù)量積本質(zhì)的理解和把握，起到了關(guān)鍵作用，在向量復(fù)習(xí)中要強(qiáng)化向量投影的意義和價值的認(rèn)識.在解決向量數(shù)量積問題時，利用投影可能會事半功倍.

A.(-2,6) B.(-6,2)

C.(-2,4) D.(-4,6)

圖5

第四，向量復(fù)習(xí)要有“基底意識”.平面向量基本定理是向量知識體系中占有核心地位的定理，而“基底意識”的本質(zhì)就是平面向量基本定理的靈活運(yùn)用，難點(diǎn)是如何選擇“基底”用于簡化運(yùn)算.上文中，例6、例7、例9、例10都可以用“基底思想”來解決.