兩道教師解題比賽題的優(yōu)解

江西省玉山一中 (334700) 陳 虹

近日，筆者參與了上饒市首屆高中數(shù)學(xué)解題講題大賽，認(rèn)真鉆研了這份試卷，認(rèn)為試題新穎獨(dú)特，內(nèi)容覆蓋面廣，質(zhì)量?jī)?yōu)秀，解法靈活.本文就其中兩道題的解法進(jìn)行了優(yōu)化.

例1 如圖1，在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足(2b-c)cosA=acosC,D是BC邊上的一點(diǎn).

圖1

(1)求角的大小;

命題者的解法：(1)由(2b-c)cosA=acosC可得

(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC，2sinBcosA=

上述第(2)問的解答是通過一對(duì)互補(bǔ)角，結(jié)合余弦定理建立b,c的關(guān)系式，化簡(jiǎn)過程三次使用余弦定理，然后再轉(zhuǎn)化為b,c關(guān)系而求解.此法化簡(jiǎn)過程繁瑣，并且解二元二次方程組計(jì)算量大.如果采用向量數(shù)量積和余弦定理相結(jié)合的方法，通過配方、換元等大家熟練掌握的技巧將二元二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，就會(huì)使得解題過程顯得簡(jiǎn)單易算.

例2 已知函數(shù)f(x)=ex+sinx+cosx-a(x+1)≥0對(duì)任意x∈[0,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

命題者的解法：由題意f(0)=2-a≥0，所以a≤2.下面證明當(dāng)a≤2時(shí)題目成立.

以上解答用到了泰勒展開式，并構(gòu)造了三個(gè)函數(shù)，已超出了初等數(shù)學(xué)范圍，并使問題過于復(fù)雜化.本題如運(yùn)用常見不等式“x≥0時(shí)sinx≤x”進(jìn)行合理放縮，則能有效地優(yōu)化其題解法：

優(yōu)化解法：由題意f(0)=2-a≥0，得a≤2.下面證明當(dāng)a≤2時(shí)命題成立.即證f(x)=ex+sinx+cosx-2(x+1)≥0對(duì)任意的x∈[0,+∞)恒成立.