開發(fā)內(nèi)隱性課程資源 提高課堂教學(xué)有效性
——函數(shù)單元復(fù)習(xí)課的改進與思考

江蘇省無錫市立人高級中學(xué) (214161) 鄭寶生 張小榮

一、問題的提出

南京師范大學(xué)喻平教授認為，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的課程資源有外顯性和內(nèi)隱性，而內(nèi)隱性資源又可以區(qū)分為內(nèi)隱素材性資源和內(nèi)隱條件性資源，內(nèi)隱素材性資源是指不以文本形式顯性表述的，潛藏于顯性知識深層的隱性知識，它包括數(shù)學(xué)知識的文化元素、過程元素、邏輯元素和背景元素．按照2017年版普通高中數(shù)學(xué)課程標準：“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法，以及他們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動”．內(nèi)隱條件性資源是指教師對素材性資源的理解，結(jié)合外顯條件性資源構(gòu)建的一種適宜于學(xué)生學(xué)習(xí)的課堂環(huán)境，它包括構(gòu)建學(xué)生智力和非智力因素共同參與的學(xué)習(xí)情境，營造平等的課堂對話氛圍，使用有效的方式提出問題等．

前一段時間，區(qū)里的名師工作室開展了一次教研活動，一個青年教師上了一節(jié)公開課，內(nèi)容是高一數(shù)學(xué)的“函數(shù)單元復(fù)習(xí)”，所用教材是蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)》必修1.由于教材中沒有這一節(jié)的具體內(nèi)容，需要教師根據(jù)前面的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實際情況來決定教什么？怎么教？對于青年教師來說是一種嚴峻的考驗，他們需要整體把控本單元內(nèi)容，確定哪些是重點和難點？怎樣才能真正地體現(xiàn)學(xué)生的主體作用？等一系列問題．課后進行了集體評課，有的教師提出了一些中肯的建議，也有的教師給出了改進的方法．從課程資源的角度，這節(jié)課需要開發(fā)出哪些內(nèi)隱性課程資源，才能使課堂教學(xué)更有效？

二、 教學(xué)片段

片段一：課前熱身

題2 已知函數(shù)f(3x)=2x2+1，則函數(shù)f(x)=；

題3 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+∞)上是增函數(shù)，則不等式f(x+1)

學(xué)生比較容易解答上述問題，在師生平和的對話中澄清了每一個細節(jié)，氣氛活躍且融洽，學(xué)生有較高的參與度.接下來，教師讓學(xué)生回憶函數(shù)定義、表示和性質(zhì)(如圖)，雖然教師的板書簡練清晰，很好的完成了單元復(fù)習(xí)所要完成的知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu).但是，知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)與前面學(xué)生解題體驗關(guān)聯(lián)不大，不能融為一體，導(dǎo)致在知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)的過程中學(xué)生的參與度明顯降低，大部分都是教師獨自完成.

如果要改進的話，教師應(yīng)該讓學(xué)生對解答的三個問題進行反思，我們都用到了哪些學(xué)過的知識？再讓學(xué)生對函數(shù)的定義、函數(shù)的解析式、函數(shù)的定義域和法則，以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等，這些散亂的知識按照一定的關(guān)系進行梳理.這樣的問題答案并不唯一，學(xué)生的思考有較大的自由度，更好地體現(xiàn)學(xué)生的自主性，發(fā)展學(xué)生思維的邏輯性，培養(yǎng)學(xué)生有條理的操作能力.

片段二：拓展銜接

由于執(zhí)教者沒有給學(xué)生深入思考的時機，而是匆忙進入下一個環(huán)節(jié)——典型例題，喪失了一個調(diào)動學(xué)生積極性，并充分發(fā)揮學(xué)生主體作用的機會.只要教師提出：對于上面題1和題2兩個問題你還能求什么？等于給學(xué)生搭建了一個有情境限制無思想束縛的自由平臺，讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)問題.我們難以預(yù)測學(xué)生會提出怎樣的問題，但是教師必須事先做好預(yù)案.

意圖：從求具體函數(shù)的定義域上升到求抽象函數(shù)的定義域.

意圖：一方面能更好地反饋學(xué)生對函數(shù)概念的理解，另一方面也可以確認怎樣的分段函數(shù)圖像是單調(diào)減函數(shù)，怎樣的不是單調(diào)減函數(shù)，為后面的“典型例題”做好知識儲備，讓開頭的問題與后面的例題有一個更好的銜接.

接著教師再提出如下問題：對于開頭的題3你能把它們的條件用其它的數(shù)學(xué)符號語言來表述嗎？

題6 (1)f(x)是偶函數(shù)可表示為：①任意的x都有f(x)-f(-x)=0；②任意x、y都有f(x+y)=f(x)-f(y)；

(3)由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+∞)上是增函數(shù)，可表示為f(x)=x2|x|.

意圖：盡可能讓學(xué)生去聯(lián)想、去發(fā)現(xiàn)，給學(xué)生一個展示自我的舞臺，這種問題條件的漸近式變化，在變化中體現(xiàn)不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于學(xué)生的理解和掌握，并體悟到數(shù)學(xué)中變與不變的趣味以及出題者的用意和思維方式.

以上只是備選方案，要根據(jù)學(xué)生的實際情況斟酌選用.對于高一的學(xué)生來說，不能讓例題過于冷僻，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是在潛移默化中成長起來的，拔苗助長只能適得其反.通過對函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的變式處理，體現(xiàn)了函數(shù)這個單元中的重點知識，化解了函數(shù)中的難點內(nèi)容，為后面的函數(shù)學(xué)習(xí)搭建一個腳手架.

片段三：典型例題

執(zhí)教者所選用的例題如下：

例1 (1)若函數(shù)f(x)=

(2)已知函數(shù)f(x)=|x-4|+|x+4|，解不等式f(x2-3)>f(2x).

例2 函數(shù)f(x)的定義域為R，且對任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，f(x)<0，且f(1)=-2.

(1)證明：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；

(2)證明：函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)；

(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值.

課堂的實際情況是：例1的第一小問，學(xué)生還是能夠參與其中的，但是有大部分學(xué)生沒有考慮x=-1時函數(shù)值大小問題，導(dǎo)致解答錯誤；對于第二小問，學(xué)生能夠參與解答f(x)的奇偶性，也能正確地脫去絕對值，畫出函數(shù)f(x)的圖像，但是解不等式f(x2-3)>f(2x)學(xué)生就無從下手了，教師只能自己講，學(xué)生聽的有點糊涂，其效果并不理想，例2也就沒有時間去處理，只能草草收兵.

課后，工作室里的教師從學(xué)生參與課堂教學(xué)的角度進行研討，大家一致認為:例1的第一問之前，需要讓學(xué)生對分段函數(shù)是減函數(shù)的圖像有一個清晰的認識，學(xué)生能夠區(qū)分是減函數(shù)的分段函數(shù)圖像和不是減函數(shù)的分段函數(shù)圖像.這樣學(xué)生參與解答例1第一問的主動性會更高，不考慮x=-1函數(shù)值的學(xué)生會更少.其次，對于例1第二問，在本節(jié)課的教學(xué)時機并不成熟，雖然課前熱身題3已經(jīng)做了鋪墊，在偶函數(shù)f(x)中，f(x+1)

三、教學(xué)感悟

要提高課堂教學(xué)的有效性，需要關(guān)注“教什么？”的前提下，也要關(guān)注“怎樣教？”，既要重視外顯性課程資源的利用，也要重視內(nèi)隱性課程資源的開發(fā)．

1.建構(gòu)課堂的學(xué)習(xí)情境 強化學(xué)生的主體地位

學(xué)習(xí)情境是一種內(nèi)隱條件性課程資源，既有智力因素方面的問題情境，又有非智力因素方面的學(xué)生參與的態(tài)度和情感．只有學(xué)生的主動參與和積極思考，形成平等的課堂對話氛圍，才能真正提高課堂教學(xué)效益．本節(jié)課開頭的三個問題從知識的角度講，涉及函數(shù)的定義域、求函數(shù)解析式以及利用函數(shù)的性質(zhì)，涵蓋了函數(shù)這一章的主要內(nèi)容；從課堂教學(xué)實際來說，師生的交流自然且有思維含量，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高、參與面廣，說明了構(gòu)建這樣的學(xué)習(xí)情境還是恰到好處的．其次，在改進的環(huán)節(jié)二是本節(jié)課的核心，它承接環(huán)節(jié)一的三個小問題，從知識的角度講是為環(huán)節(jié)三搭建了腳手架；從過程的角度看，學(xué)生在參與中能得到一種情感體驗，有了這樣的體驗才能夠轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗，其目的是為環(huán)節(jié)三構(gòu)建一個有效的學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生在環(huán)節(jié)三中能自主地思考、獨立地解決問題，真正體現(xiàn)學(xué)生的主體地位．

2.展示數(shù)學(xué)文化元素 體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的思想性

數(shù)學(xué)所具有的抽象性、嚴謹性和廣泛性展示了數(shù)學(xué)文化的力量．然而，在數(shù)學(xué)形成和發(fā)展中所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想方法，對人的思想觀念的感化和影響是潛在的，也是巨大的．在改進后的課堂教學(xué)，更強化了數(shù)和形的思想方法，在環(huán)節(jié)二的題5中，讓學(xué)生用一個二次函數(shù)和一個一次函數(shù)組成一個分段函數(shù)，使這個函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，這種開放性的問題能更好地反映學(xué)生在形上感知單調(diào)函數(shù)，從而體會函數(shù)單調(diào)性定義在數(shù)與式中的意義．其次，環(huán)節(jié)二的題6給出了各種變式，呈現(xiàn)的是函數(shù)單調(diào)性各種符號的不同表征，其解決方式都是回到函數(shù)單調(diào)性定義中去，體現(xiàn)了問題解決過程的化歸思想．最后，環(huán)節(jié)一的題3、環(huán)節(jié)二的題4以及環(huán)節(jié)三的例2都是使用的抽象函數(shù)，三個題目是漸進式且有一定的梯度，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的思想，能更好地培育學(xué)生的理性精神．

3.挖掘數(shù)學(xué)的邏輯元素，培育學(xué)生的邏輯思維能力

邏輯泛指規(guī)律，包括思維規(guī)律和客觀規(guī)律．我們通過數(shù)學(xué)知識的客觀性來培育學(xué)生思維的邏輯性，通過數(shù)學(xué)知識的主觀性來鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生的思維更合情、合理、合規(guī)．在環(huán)節(jié)一中，需要學(xué)生通過自主練習(xí)后的反思，提取所用的知識點，并建立起一定的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵在于學(xué)生的主動參與、積極建構(gòu)，才能夠更好地完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生合理地思考、清楚的表達、有條不紊的工作．其次，環(huán)節(jié)三中的例2是一個簡單的代數(shù)推理，學(xué)生要獨立完成，就需要具備一定的邏輯推理能力．最后，三個環(huán)節(jié)之間，前面的環(huán)節(jié)是后面環(huán)節(jié)的知識基礎(chǔ)，而后面環(huán)節(jié)是前面環(huán)節(jié)的推廣或綜合，小步推進逐漸提升，充分體現(xiàn)了各環(huán)節(jié)之間的邏輯性和秩序性，在潛移默化中也能影響學(xué)生的邏輯思維能力的提高．