數(shù)字電路設(shè)計(jì)中的化簡(jiǎn)方法

李音 薛娓娓

（延安大學(xué)西安創(chuàng)新學(xué)院 陜西省西安市 710100）

1 數(shù)字邏輯電路中學(xué)習(xí)化簡(jiǎn)的必要性

在數(shù)字電子技術(shù)這門(mén)課程中，在開(kāi)始的邏輯代數(shù)基礎(chǔ)章節(jié)中，學(xué)習(xí)完數(shù)制、碼制、邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算之后就要進(jìn)行公式法化簡(jiǎn)與卡諾圖化簡(jiǎn)的內(nèi)容了，作為基礎(chǔ)內(nèi)容存在于第一章節(jié)，雖然是基礎(chǔ)內(nèi)容，但是卻是數(shù)字電路設(shè)計(jì)里面的一個(gè)主要部分，它奠定了邏輯電路設(shè)計(jì)思路的基礎(chǔ)。在這部分內(nèi)容的講述中，主要要跟學(xué)生說(shuō)清楚、講明白為什么要進(jìn)行化簡(jiǎn)，目標(biāo)是什么樣的?；?jiǎn)是為了得到最簡(jiǎn)式，要根據(jù)最簡(jiǎn)式設(shè)計(jì)電路，這樣設(shè)計(jì)出來(lái)的電路才是最簡(jiǎn)單的。

2 公式法化簡(jiǎn)

2.1 公式定理兩種處理方案

在利用公式法化簡(jiǎn)之前，首先要對(duì)所有的基本公式、常用公式、基本定理進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)學(xué)習(xí)，在邏輯代數(shù)中，有些公式是與普通代數(shù)是一樣的，很容易理解，例如：0?A=0，0+A=A，AB=BA，A+B=B+A，因?yàn)檫@些完全符合普通代數(shù)的乘法和加法。但是也有一些是很容易弄錯(cuò)的，例如，A?A=A , A+A=A，1+A=A，這些就和普通代數(shù)有著很大的區(qū)別，所以要提醒學(xué)生，在這個(gè)部分的學(xué)習(xí)過(guò)程中，必須注意與普通代數(shù)之間的區(qū)別，要提醒學(xué)生，邏輯代數(shù)只有：”0”和”1”，這樣比較好理解，提醒學(xué)生邏輯與和邏輯或的特點(diǎn)，0 與任何值等于0，1 或任何值等于1。另外有些定理比較好推導(dǎo)，和普通代數(shù)一樣例如A+AB=A，這種不需要記憶，現(xiàn)場(chǎng)推導(dǎo)出來(lái)就可以使用。但也有一些不易于推導(dǎo)，例如還有多余項(xiàng)定理這種，就需要學(xué)生熟練，最好直接記下來(lái)，直接使用。

2.2 公式法化簡(jiǎn)的思路

公式法化簡(jiǎn)的思路是最終得到的化簡(jiǎn)式中項(xiàng)越少越好，每個(gè)項(xiàng)里面變量越少越好。這里只針對(duì)與或式。

上面這道例題屬于公式法化簡(jiǎn)的一種典型例題，這種使用公式法化簡(jiǎn)最好，這個(gè)做法現(xiàn)在最后兩項(xiàng)中，提取出，剩下1+A，1 或任何值等于1，所以接著最后在表達(dá)式里面找A 與，有A 的項(xiàng)直接可以消去，有的項(xiàng)直接消去就可以。

2.3 需要注意的問(wèn)題

（1）在利用公式法進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，邏輯代數(shù)中只有邏輯與和邏輯或，沒(méi)有除法也沒(méi)有減法，例如AB=AC,即B=C。還有A+B=A+C,即B=C，這兩個(gè)式子都是錯(cuò)誤命題，前一個(gè)用了除法，兩邊同時(shí)除以A，才可以得到B=C，第二個(gè)用了減法，兩邊同時(shí)減去A，得到B=C，可以給學(xué)生舉例像第一個(gè)式子中A=0，B=0,C=1所以AB=AC 成立，但是B 不等于C，第二個(gè)式子中A=1，B=0，C=1 所以A+B=A+C 成立，但是B 不等于C。

（2）公式法化簡(jiǎn)存在的問(wèn)題就是有時(shí)候沒(méi)有辦法很快的確定，我們得到的式子是不是最簡(jiǎn)式，那么公式法化簡(jiǎn)就可以彌補(bǔ)這樣的缺陷。

3 卡諾圖化簡(jiǎn)

3.1 卡諾圖化簡(jiǎn)的根本依據(jù)

這種利用卡諾圖化簡(jiǎn)的依據(jù)就是相鄰的最小項(xiàng)可以合并，并消去不同的變量，那么我們就需要卡諾圖中所有對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)是邏輯相鄰的。圖1分別為二變量、三變量、四變量所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的卡諾圖。

圖1：二變量、三變量、四變量所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的卡諾圖

3.2 卡諾圖化簡(jiǎn)的步驟

（1）如果已知表達(dá)式，要求利用卡諾圖化簡(jiǎn)，首先把表達(dá)式寫(xiě)成最小項(xiàng)和的式子，注意變量都有哪些，按照缺什么補(bǔ)什么的辦法，使每一項(xiàng)都成為最小項(xiàng)。

上式中共有三項(xiàng)，可以觀(guān)察出變量為A、B、C、D 四個(gè)變量，第一項(xiàng)已經(jīng)是最小項(xiàng)，最小項(xiàng)就是要求每個(gè)變量都有，而且都是以變量或者反變量的形式出現(xiàn)并且與起來(lái)。第二項(xiàng)只有A、B、D 三個(gè)變量，缺C，給第二項(xiàng)與上，這樣就得到了兩項(xiàng)，均為最小項(xiàng)。第三項(xiàng)只有A、C、D 三個(gè)變量，缺B，給第二項(xiàng)與上，這樣就得到了兩項(xiàng)，均為最小項(xiàng)。最后根據(jù)每個(gè)最小項(xiàng)判斷都是哪個(gè)最小項(xiàng)，m 的角碼是多少，原變量為“1”，反變量為“0”，對(duì)應(yīng)0101 轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制為5，即是m5，對(duì)應(yīng)1010 轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制為10，即是m10，對(duì)應(yīng)，1000 轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制為8，即是m8，對(duì)應(yīng)，1111 轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制為15，即是m15，對(duì)應(yīng)1011 轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制為11，即是m11，這樣就得到上面的最終表達(dá)式。

（2）“填1”，按照卡諾圖中最小項(xiàng)的位置，對(duì)應(yīng)位置填1，得到卡諾圖2。

圖2：例題1 的卡諾圖

“圈圈”，規(guī)則：2n（1,2,4,8...）個(gè)1 圈起來(lái)，1 均是是邏輯相鄰的關(guān)系，注意以橫豎中線(xiàn)對(duì)折，重合的部分均是邏輯相鄰；圈起來(lái)的圈為正方形或長(zhǎng)方形，注意邊邊角角的相鄰關(guān)系；每個(gè)1 都可以被重復(fù)圈；每個(gè)圈里面至少有一個(gè)1 沒(méi)有被其他圈圈過(guò)；注意：圈數(shù)越少越好，則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)越少，圈越大越好，每項(xiàng)對(duì)應(yīng)的變量數(shù)越少。

（3）寫(xiě)表達(dá)式。

每個(gè)圈對(duì)應(yīng)一個(gè)項(xiàng)，最后把所有的項(xiàng)或起來(lái)就得到表達(dá)式了，方法是留下相同的變量，去掉不同的變量。

3.3 舉例分析

例1：

圖3中總共圈了兩個(gè)圈，其中四個(gè)1 被重復(fù)圈了，左側(cè)四個(gè)1 與右側(cè)四個(gè)1 是一個(gè)圈，注意這個(gè)是一個(gè)圈，以豎中線(xiàn)折疊具有相鄰性，所以是一個(gè)圈，對(duì)應(yīng)項(xiàng)為，因?yàn)锳、B、C、D 值中只有相同值D=0，其他A、B、C 值都不同，0 對(duì)應(yīng)反變量，所以為。對(duì)應(yīng)的下面8 個(gè)1 是一個(gè)圈，A、B、C、D 值中只有相同值A(chǔ)=1，其他B、C、D 值都不同，1 對(duì)應(yīng)原變量，所以為A。故得到

圖3：例題2 的卡諾圖

例2：如圖4，對(duì)卡諾圖進(jìn)行圈1，并寫(xiě)出最簡(jiǎn)式。

圖4：例題3 的卡諾圖

圖4（a）中有6 個(gè)1，四個(gè)1 不能圈，圈出來(lái)不是正方形，也不是長(zhǎng)方形，只能兩個(gè)1 圈，總共3 個(gè)圈，對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為另外我們應(yīng)該注意到這個(gè)卡諾圖還有另一種圈法，但是還是3 個(gè)圈，每個(gè)圈有兩個(gè)1，所以就結(jié)果來(lái)看都是對(duì)的，而且電路簡(jiǎn)易程度是一樣的。

圖4（b）中有8 個(gè)1，只能兩個(gè)1 圈，總共4 個(gè)圈，對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為另外和圖（a）一樣，這個(gè)卡諾圖也還有另一種圈法，但是還是4 個(gè)圈，每個(gè)圈有兩個(gè)1。由此可見(jiàn)，有時(shí)候我們?cè)谶M(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)結(jié)果可能不一樣，但是都是正確的。

圖4（c）中有8 個(gè)1，總共3 個(gè)圈，四個(gè)1 圈，對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為但是明顯這個(gè)結(jié)果是不對(duì)的，可以八個(gè)1 圈，通過(guò)表達(dá)式我們也可以發(fā)現(xiàn)有C 也有，相加是等于1 的，那么像這種，所有最小項(xiàng)都存在，加起來(lái)是等于1 的。

圖4（d）中有12 個(gè)1，公用四個(gè)1，八個(gè)1 圈，總共2 個(gè)圈，對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為

3.4 注意的幾點(diǎn)問(wèn)題

從以上可以看出來(lái)，卡諾圖圈法不是唯一的，最簡(jiǎn)式不是唯一的；另外在填1 時(shí)，也可以根據(jù)表達(dá)式直接填1，例如表達(dá)式中有A，所有A=1 的格子都填1，像，所有A=1 且B=0 的格子都填1；最后圈1 時(shí)要注意邊邊角角的相鄰的1。

4 總結(jié)

以上為公式法化簡(jiǎn)和卡諾圖化簡(jiǎn)需要注意的一些問(wèn)題，公式法化簡(jiǎn)適用于變量比較多時(shí)使用，由其是多余項(xiàng)定理的使用，但是缺點(diǎn)是無(wú)法確定是不是最簡(jiǎn)式，卡諾圖優(yōu)點(diǎn)是可以根據(jù)圈圈確定是最簡(jiǎn)式，但是存在當(dāng)變量太多，卡諾圖太復(fù)雜不易于圈圈的問(wèn)題。