直線與圓錐曲線問題中優(yōu)化運(yùn)算的技巧

毛加驊

摘 要：直線與圓錐曲線問題中，經(jīng)常涉及到韋達(dá)定理，學(xué)生在計(jì)算中覺得繁瑣，計(jì)算的錯(cuò)誤多。為了減少錯(cuò)誤，優(yōu)化運(yùn)算，筆者運(yùn)用了三階行列式與兩根之差公式計(jì)算面積，二次函數(shù)中的兩根式減少了繁瑣的計(jì)算過程，簡化運(yùn)算步驟，提高運(yùn)算的正確率。

關(guān)鍵詞：直線與圓錐曲線;運(yùn)算技巧

在直線與圓錐曲線問題中，聯(lián)立方程組消元之后會(huì)得到一個(gè)關(guān)于x（或y）的一元二次方程，在涉及弦長與面積的計(jì)算中，需要運(yùn)用韋達(dá)定理來計(jì)算兩個(gè)根的差，或者在其它問題中需要計(jì)算等類似的式子。計(jì)算過程中，會(huì)顯得繁瑣，錯(cuò)誤多，筆者利用以下的三個(gè)公式，優(yōu)化了運(yùn)算，減少錯(cuò)誤。

一、三個(gè)公式

1.根差公式

一元二次方程中，由求根公式得到

根差公式：.

2.三角形面積公式

已知直線上兩點(diǎn)，，與定點(diǎn)， 那么三角形的面積可以用三階行列式表示為，將三階行列式展開，將分別代入三階行列式的展開式中，就可以得到面積公式：.

3.兩根式

一元二次方程中兩個(gè)根為與，那么可以將方程表示為 ，所以.

二、公式應(yīng)用

例題1.（2012年·北京文科卷）已知橢圓C：的一個(gè)頂點(diǎn)， 離心率為.直線與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N.

（1）求橢圓C的方程;

（2）當(dāng)△AMN得面積為時(shí)，求k的值.

解：（1）橢圓C的方程為.

（2）由得------（*）

設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，則由面積公式，將代入可得，因?yàn)椋?）中?、，所以面積，由，解得.

例題2.（2014年·湖南文科卷）如圖5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過點(diǎn)，且以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.

（1）求C1，C2的方程;

（2）是否存在直線l，使得l與C1交于兩點(diǎn)，與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論.

解：（1）計(jì)算可得C1，C2的方程為.

（2）①若直線l垂直于x軸 ，因?yàn)閘與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以直線的方程為或，由計(jì)算可得.

②當(dāng)直線l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為，由 消元可得

方程------（#）

當(dāng)l與C1相交于兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則滿足上述方程的兩個(gè)實(shí)根，那么令，由兩根式可得而等價(jià)于，所以只需要計(jì)算，其中由（#）式可得，，而

，

由消元可得，因?yàn)橹本€l與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以上述方程的判別式，

化簡可得，因此

，

從而.綜合（1）與（2）可知，不存在符合題目條件的直線.

3812500338285