在《圓錐的體積》教學(xué)中，滲透模型思想

余慶玲

摘 要：模型思想是小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一種數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想的貫徹，將有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識形成舉一反三的推理能力，更有利于學(xué)生分析、解決數(shù)學(xué)問題能力的提高。本文簡要論述了在《圓錐體積》教學(xué)中，將數(shù)學(xué)教學(xué)與實際生活相結(jié)合，把數(shù)學(xué)模型思想滲透到課堂教學(xué)中去，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)感，符號意識，空間觀念應(yīng)用意識和推理能力。

關(guān)鍵詞：滲透;數(shù)學(xué)模型;模型思想

2011年版的新課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)模型思想是重要的教學(xué)觀念之一?！币虼耍瑪?shù)學(xué)模型思想在我們?nèi)粘＝虒W(xué)活動中具有非常重要的作用，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，運用數(shù)學(xué)模型可以把抽象的數(shù)學(xué)知識變得更具體、更直觀。數(shù)學(xué)模型思想能讓學(xué)生把現(xiàn)實生活中的實際問題和數(shù)學(xué)教學(xué)活動緊密聯(lián)系起來，把現(xiàn)實生活中的實際問題用數(shù)學(xué)的形式表示出來，并且使用數(shù)的方式進(jìn)行分析解答。然而小學(xué)階段的孩子的抽象思維能力比較薄弱，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中設(shè)計讓學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型。

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)教材里面所有的法則、運算定律、計算公式等都是數(shù)學(xué)模型。而數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是從現(xiàn)實問題中尋找數(shù)學(xué)信息，構(gòu)建關(guān)系，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。怎樣才能使學(xué)生通過建模變成可用的數(shù)學(xué)模型，其中重要的途徑就是把現(xiàn)實問題中的原型上升到數(shù)學(xué)模型，我們在教學(xué)活動中必須要有目的、有意識地創(chuàng)設(shè)能激發(fā)出學(xué)生創(chuàng)造意識的學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑問題，探索求知的學(xué)習(xí)動機(jī)，從而使“事理”上升到“數(shù)理”，形成一個模型的過程。我在教學(xué)《圓錐的體積》時，先引導(dǎo)學(xué)生以舊引新，回顧圓柱的體積計算公式：1.出示問題：怎樣計算圓柱的體積？2.出示問題：一個圓柱的底面積是60平方分米，高是15分米，它的體積是多少立方分米？讓學(xué)生在回顧圓柱體積模型的時候，感受到舊知識的親切，接著出示圓錐形甜筒圖片，讓學(xué)生觀察、猜測，再提出問題：“你們認(rèn)識它嗎？”“它是什么形狀的？”“你知道它占多大的空間嗎？”通過設(shè)疑，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識的欲望，進(jìn)而積極地，主動地參與到學(xué)習(xí)中。

二、動手操作，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

第三，在小學(xué)階段滲透數(shù)學(xué)模型思想教育有著深遠(yuǎn)的意義，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中建立模型具有階段性和初始性特征，就是使學(xué)生從熟悉的生活經(jīng)驗出發(fā)，經(jīng)過不斷地探索、研究，引導(dǎo)他們經(jīng)歷將實際問題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運用的過程，力求建構(gòu)出學(xué)生能理解的數(shù)學(xué)模型，而不是讓學(xué)生拘泥于模型的套用。常言說：“實踐出真知”證明學(xué)生學(xué)習(xí)是一個生動活潑的、主動且富有個性的過程，除接受學(xué)習(xí)外，動手實踐、自主探究與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。結(jié)合六年級學(xué)生都有較強(qiáng)的實驗操作能力和空間抽象能力這一特點，我在教學(xué)圓錐的體積計算公式的推導(dǎo)時，我改變以往以教師演示或在教師的指令下做實驗的方式，采取給學(xué)生提供材料和機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生分小組合作、自主探究的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行教學(xué)。在這個環(huán)節(jié)中，我主要采用了以下教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)：第一，提出問題：“圓錐與圓柱的體積有沒有關(guān)系呢？”讓學(xué)生觀察比較圓錐與圓柱之間有什么相同的地方。第二，進(jìn)行測量，“怎樣才能確定你們手中的圓柱和圓錐容器是否等底等高呢？”學(xué)生小組合作進(jìn)行測量。

進(jìn)行猜想：“你能猜測一下等底等高圓柱與圓錐體積之間有什么關(guān)系嗎？”學(xué)生進(jìn)行猜想：有的說圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的二分之一，有的說是它的三分之一，有的說圓柱的體積是和它等底等高圓錐體積的4倍。到底圓錐的體積和與它等底等高的圓柱體積存在著怎樣的關(guān)系呢？用公式怎樣表示呢？讓學(xué)生帶著這兩個問題實踐驗證。第四，實驗探究，合作交流。學(xué)生用教師提供的材料（每組一小桶水，一組等底等高的圓柱與圓錐容器）分小組合作做實驗，并做好實驗記錄（如下表）

實驗器材?????? 每小組一小桶水、圓柱圓錐各一個（等底等高）

操作過程?????? 往（??? ）倒?jié)M水倒入（???? ），（? ）次正好（??? ）。

實驗結(jié)論?????? 等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的（? ）倍;

圓錐的體積是圓柱體積的（? ）。

圓錐的體積計算公式? V=

完成實驗后，小組同學(xué)之間開展交流、討論并思考：通過實驗，你們發(fā)現(xiàn)圓柱的體積和圓錐體積之間有什么關(guān)系？第五，得出結(jié)論，初步構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型：圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的;圓柱的體積是與它等底等高圓錐體積的3倍。

三、深入探究，驗證模型

數(shù)學(xué)驗證有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，也有助于數(shù)學(xué)模型思想的滲透。在實際教學(xué)中，通過讓學(xué)生動手操作，觀察，討論，記錄，分析等方法來驗證數(shù)學(xué)模型結(jié)論的可行性，使新的知識具體化，促使新知識很好地，快速地內(nèi)化到學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)中去，讓學(xué)生對新構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型的真實可靠性，普遍性有更加深刻的理解。因此在學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓柱的體積和圓錐體積之間的關(guān)系時，教師質(zhì)疑他們的結(jié)論：是不是所有的圓柱與圓錐的體積都存在這種關(guān)系呢？學(xué)生分小組討論，研究，然后再匯報意見：有的小組認(rèn)為所有的圓柱圓錐應(yīng)該符合這個模型;有的小組認(rèn)為圓柱的體積一定比圓錐的體積大;有的小組認(rèn)為無法比較它們的大小。最后教師再讓學(xué)生各小組用圓柱與圓錐容器（不等底等高）進(jìn)行倒水實驗，并做好實驗記錄（如下表）。

學(xué)生通過實驗發(fā)現(xiàn)：圓柱與圓錐只有在等底等高的情況下，圓柱的體積才是圓錐體積的3倍，圓錐的體積才是圓柱體積的。學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)模型：圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的;圓柱的體積是與它等底等高圓錐體積的3倍。教師提出問題：你會計算圓錐的體積了嗎？學(xué)生小組討論、探究，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型：圓錐的體積=底面積×高×，用字母表示是：V圓錐=Sh。在這個動手操作，合作探究的過程中，學(xué)生經(jīng)歷“提出問題——進(jìn)行猜想——實驗探究、合作交流——得出結(jié)論——驗證結(jié)論——總結(jié)結(jié)論，構(gòu)建模型”的學(xué)習(xí)過程，更好地獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和掌握數(shù)學(xué)模型思想方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

四、實踐鞏固，運用模型

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的是讓學(xué)生運用模型思想解決實際問題，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值，體驗數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用帶來的樂趣。應(yīng)用模型解決問題有兩方面的作用，第一，強(qiáng)化和鞏固學(xué)生已學(xué)教學(xué)知識，就是將已經(jīng)建立的模型應(yīng)用于生活中。第二，加強(qiáng)學(xué)生的實踐能力和遷移思維。例如，在強(qiáng)化和鞏固“圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的和圓柱的體積是與它等底等高圓錐體積的3倍?！边@一模型時，我設(shè)計下面的練習(xí)：

一個圓柱的體積是75.36m3，與它等底等高的圓錐的體積是（ ）立方米。

一個圓錐的體積是141.3m3，與它等底等高的圓柱的體積是（ ）立方米。

在強(qiáng)化和鞏固“圓錐的體積=底面積×高×”這個數(shù)學(xué)模型時，我設(shè)計了對應(yīng)練習(xí)題：“一個圓錐鐵錘的底面積是24cm2，高是8cm，這個圓錐鐵錘的體積是多少立方厘米？”讓學(xué)生分小組合作練習(xí)，并交流自己的解決思路。在提高學(xué)生的運用模型解決問題和遷移能力方面，我設(shè)計了下面的練習(xí)題：

1.一個圓錐的底面半徑是2厘米，高6厘米，它的體積是多少立方厘米？

2.一只甜筒的底面直徑是6cm，長10cm，它的體積是多少立方厘米？

3.一個圓錐底面周長6.28分米，高60厘米，它的體積是多少立方分米？

練習(xí)中，注重加強(qiáng)學(xué)生的實踐能力和遷移思維能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)模型“V圓錐=Sh”，運用遷移方法，創(chuàng)造地寫出了“V圓錐=πr2h”、“V圓錐==π（）2h”和“V圓錐=π（）2h”這樣的計算公式。便于學(xué)生正確、熟練地運用這些模型解決生活中的有關(guān)圓錐體積的計算問題。

設(shè)計練習(xí)題時，我秉承從實際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中逐步發(fā)現(xiàn)隱含于其中的圓錐體積計算模型的問題，體驗數(shù)學(xué)模型思想方法在解決實際問題中的應(yīng)用，從而達(dá)到舉一反三的效果。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無處不在，教師在教學(xué)過程中，要不斷地滲透模型思想，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并運用模型思想解決問題。通過模型思想的滲透，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識和自主合作、探究創(chuàng)新的精神，為孩子的終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》北京師范大學(xué)出版社出版

[2] 王永春《小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法解讀及教學(xué)案例》;華東師范大學(xué)出版社.2017

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