帶有強阻尼時滯項的m-Laplacian型波方程解的爆破

高云龍, 林榮瑞, 佘連兵, 李愛靜

(六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 六盤水 553004)

含有m-Laplacian項的擬線性波方程源于非線性Voigt模型,描述的是粘彈性材料桿的縱向振動,特別是可描述受外力作用的Ludwick 材料的振動[1-2]. 近年來, 學(xué)者們對帶有p-Laplacian項的偏微分方程解的性態(tài)作了深入研究,如：PEI等[3]研究了p-Laplacian 型波方程utt-Δpu-Δut=f(u),其中 2

基于文獻[3,6-8]的研究,本文考慮可描述彈性桿縱波振動的帶有強阻尼時滯項的粘彈性方程：

(1)

其中，u(x,t)表示振動的位移,g*Δu表示粘彈性弱阻尼,-Δut表示彈性體的內(nèi)部阻尼,Ω是n(n≥1)上帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,g(·):+→+是正函數(shù),m、μ1、μ2、p為常數(shù),

Δmu=div(|u|m-2u),(g*Δu)(t)=g(t-s)Δu(s)ds.

本文主要利用凹性方法,證明當(dāng)初始能量0

1 預(yù)備知識

(A1)g:+→+是非增可微函數(shù),滿足:1-g(s)ds=l0>0,g′(t)≤0,t≥0.

類似文獻[6],引進新變量

z(x,ρ,t)=ut(x,t-ρ)((x,ρ,t)Ω×(0,1)×(0,+)),

則有

從而方程組(1)等價于：

(2)

定義方程組(2)的修正能量函數(shù)為

(3)

其中

下面給出方程組(1)的弱解定義.

定義1任給定初始值 (u0,u1)稱=(u,ut)為方程組(1)的弱解,若滿足:(0)=(u0,u1),且對任意w有

(utt,w)+(|u|m-2u,w)+(u,w)-

μ2(ut(t-),w)=(|u|p-2u,w).

類似文獻[5]、[6]、[10]的證明,可直接得到方程組(2)的局部解的存在唯一性：

定理1假設(shè)(A1)、(A2)成立,若初始值滿足 (u0,u1,f0),0)),則方程組(2)存在唯一局部解,且存在足夠小的T>0,有

u

utC([0,T);H1(Ω))∩L2([0,T)×Ω),

zC([0,T);H1(Ω×(0,1))).

引理1設(shè)u是方程組(2)的解,則存在正常數(shù)C1>0,使得

E′(t)≤-C1(‖ut‖2+‖z(x,1,t)‖2)<0.

證明用ut乘以方程組(2)中的第1個方程,并在Ω上積分,得

(4)

(5)

由Young不等式[13],可得

(6)

由式(4)～(6),可得

(7)

2 解的爆破

下面考慮方程組(2)的初始能量為正值和負值時解的爆破情況. 首先,引入3個正常數(shù)：

引理2若假設(shè)(A1)、(A2)成立,且滿足

(8)

則存在正常數(shù)ζ2>ζ1,使得

(9)

(10)

證明由式(3)和假設(shè)(A1)、(A2),可得

(11)

(12)

當(dāng)ζ(0,ζ1) 時,f′(ζ)>0,所以f(ζ)在 (0,ζ1)上嚴格單調(diào)遞增;當(dāng)ζ(ζ1,+)時,f′(ζ)<0,所以f(ζ)在(ζ1,+)上嚴格單調(diào)遞減. 又由于E(0)

再一次利用式(11),可得

(13)

因此,式(10)成立.

定理2在引理2的假設(shè)下,進一步假設(shè)(A3)成立,則方程組(2)的解存在有限時間爆破.

證明設(shè)函數(shù)

(14)

其中,ε>0 為足夠小的正實數(shù),且

(15)

G1(t)∶=E2-E(t),E2(E(0),E1).

(16)

下面將證明存在C>0,使L1(t)滿足微分不等式

首先,由式(3)、(16)和引理1,得

0

由引理2,有

因此

(17)

對L1(t)關(guān)于時間t求導(dǎo),有

(18)

由Young不等式,有

(19)

(20)

取0

ε|μ2|δ2‖z(x,1,t)‖2-εp(1-a)E2.

(21)

下面對式(21)中一些項進行估計. 令δ2=MG1-α(t)(M>0),由引理1可得

-ε|μ2|δ2‖z(x,1,t)‖2=

-εM|μ2|G1-α(t)‖z(x,1,t)‖2≥

(22)

(23)

(24)

由假設(shè)(A3)和p>m,可得

因此,令a>0 充分小,取適當(dāng)?shù)腅2(E(0),E1),并結(jié)合引理2可得

(25)

將式(22)～(25)代入式(21),可得

(26)

(t≥0).

(27)

另一方面,由式(14)可得

(28)

利用式(15)、(17),結(jié)合Young不等式、Poincaré不等式[13],得

(29)

再由式(15)、(17),有

(30)

可得

(31)

最后,綜合式(27)、(31)可知：存在C>0,使得

(32)

對式(32)在(0,t)上積分,有

定理3若假設(shè)(A1)～(A3)成立,且初始能量E(0)<0時,則方程組(2)的解同樣存在有限時間爆破.

證明設(shè)函數(shù)

(33)