基于新型冠狀疫情病毒核酸混合檢測的數(shù)學模型及其意義

陳本晶，陳敏娜

(廣東環(huán)境保護工程職業(yè)學院基礎部，廣東 佛山 528216)

0 引言

自2019年12月以來，由新型冠狀病毒感染引起的肺炎疫情，已蔓延至全球212個國家和地區(qū)。截至2021年7月12日15時07分，數(shù)據(jù)來自WHO和霍普金斯大學網(wǎng)站[1]，全球新冠肺炎累計確診187 443 664例，現(xiàn)有確診27 769 106例，累計死亡4 039 389例，累計治愈155 635 169例。中國大陸自2020年3月21日之后本土確診較少（http://www.nhc.gov.cn），數(shù)據(jù)來自國家及各地衛(wèi)健委每日信息發(fā)布，主要為境外輸入。2020年在北京，東北，河北，云南局部區(qū)域也出現(xiàn)過幾十例、幾百例確診的影響公共安全的突發(fā)事件，這些地區(qū)的中高風險地區(qū)，多次實行全員核酸檢測，自從2019年末武漢疫情發(fā)生以來，“核酸檢測”這一醫(yī)學名詞頻頻出現(xiàn)在普通市民的日常生活里。核酸檢測的結果成為判斷確診病例，疑似病例的標準。由于待檢人數(shù)數(shù)量龐大，第三方檢測機構采用混合檢測模式?；旌蠙z測指將多人的樣本混合入同一檢測管開展檢測，降低檢測時間和成本，增加核酸檢測便利性等。北京市疾病預防控制中心發(fā)布《北京市新型冠狀病毒核酸混合檢測采樣、樣本處理及結果判定技術指南》（第一版），對之前熱議已久的“混樣檢測”進行了規(guī)范[2]。

1 國內外混合檢驗情況介紹

2020年5月14日開始[3]，19天的時間，武漢累計共有1 090.9萬人完成核酸檢測，基本做到武漢常駐居民和暫住居民全覆蓋，其中有 1/4的采樣樣本采取了混合檢驗法。2020年6月11日[4]，北京市報告1例新冠肺炎確診病例，打破了56天無新增本地確診病例的狀態(tài)。6月11日～23日，北京累計報告確診病例256例。疫情發(fā)生后北京市立即對重點人群、重點行業(yè)和重點區(qū)域實施“應檢盡檢”，對廣大市民實行“愿檢盡檢”，幾天之內完成超過1 100萬人次的檢測量[4]。從武漢全員核酸檢測到北京大規(guī)模核酸檢測，短短一個月時間，檢測效率大幅提高。2020年7月15日[3]，烏魯木齊發(fā)現(xiàn)新冠肺炎確診病例1例，截至2020年7月24日，烏魯木齊累計采樣230萬份，2020年7月22日，大連發(fā)現(xiàn)新冠肺炎確診病例3例，截至7月28日，大連累計采樣352.6萬份。2020年10月11日，青島發(fā)現(xiàn)新冠肺炎確診病例3例，截至10月16日，青島累計采樣1 090萬份，平均一天200多萬份采樣。2021年1月30日，針對春節(jié)期間大量返鄉(xiāng)人員核酸檢測的需求[5]，按照衛(wèi)生健康部門技術條件和標準，受檢人員可以自愿選擇混合檢測，5人混合檢測，每人每次30-40元不等；10人混合檢測每人每次在15-30元不等。相對于單人單管檢測每人次60-150元不等，混合檢測既減輕了受檢人員的經(jīng)濟負擔，也提高了檢測機構的效率。2021年5月21日，廣州發(fā)現(xiàn)新冠肺炎確診病例1例。2021年6月4日以來[6]，廣州陸續(xù)啟動11個區(qū)的全市全員核酸檢測，并在6月4日-6日3天時間內累計核酸采樣1 869.67萬人次。在廣州新聞辦6月13日召開的廣州市疫情防控新聞發(fā)布會上，記者獲悉，5月21日至6月12日21時，全市累計核酸檢測3602.3萬例，發(fā)現(xiàn)陽性感染者43例，集中在重點區(qū)域、重點人群。隨著全員檢測的落實，病毒的傳播途徑和規(guī)律，感染者的范圍正愈加清晰起來。及時隔離，控制傳染源，切斷傳播途徑，我們見證了三天檢測一個中國一線城市的“廣州速度”[7]。此次廣州疫情全員核酸檢測新冠病毒全部采用混合檢測，開始是采用5人樣本混合檢測，后面數(shù)次都是10人樣本混合檢測，混合檢測對于廣州進行大規(guī)模人群多次快速篩查的重要意義除了提高效率和降低檢測成本外，還可以最快速鎖定感染者的范圍，及時隔離，減少病毒傳播途徑。

混合檢測法最早是在 1943年第二次世界大戰(zhàn)期間R.Dorfman為美國公共健康服務和篩選服務系統(tǒng)設計的方法[3]，在二戰(zhàn)期間，美國政府在征兵過程中，需要對報名參軍的年輕人體檢驗血，篩查攜帶淋病病毒的年輕人。什么情況下混合檢測法可以減少檢測的次數(shù)呢？1960年P.Ungar假設所需檢測的N個樣本有pN個是陽性的，其中0≤p<1，每組可以包含任意多的樣本（不再限于5個或者10個），而且每一個樣本可以重復使用，在這些假設下，他證明了當少于 38.2%的樣本是陽性的時候，混合檢測法平均需要的檢測次數(shù)比逐一檢測法需要的檢測次數(shù)少。1981年黃光明與合作者證明[3][8]：當時，若已知有2/5以上的樣本是壞的，則逐一檢測法就是最好的。1982年黃光明與堵丁柱證明：當時，若已知有8/21以上的樣本是壞的，則逐一檢測法就是最好的。1998年底他們證明：若已知有1/2.70951129以上的樣本是壞的，則逐一檢測法就是最好的。廣州的常住人口是 1 800萬，而疫情的確診人數(shù)是幾十例，密接者和次密接者，高風險區(qū)域、中風險區(qū)域和涉疫的低風險區(qū)域占廣州的總人口數(shù)量比例較低，非常適合用混合檢測。

2 模型假設與建立

模型假設[9]：（1）被檢測為陽性的概率p在較短時間內假設為常數(shù)，不是變量。（2）檢測的樣本混合后不會產生化學反應，即性質不發(fā)生改變。（3）混合樣本檢查法的靈敏度較高，如果混合樣本中有一份樣本是陽性，則混合樣本必須是陽性。如果混合樣本結果是陰性，則混合樣本中每個樣本都是陰性。（4）若有N個人的檢測樣本分別化驗，要化驗N次。若把N個人檢測樣本分成若干組，每組K個人的檢驗樣本混在一起。對混合樣本進行檢測，若是陰性的樣本，說明每個人都健康。如果結果為陽性，則需要進行逐個化驗，亦即對這K個人共進行K+1次化檢，再篩查出患病的和不患病的。那么已知有N個人的樣本要化驗，K取多少時效率最高？就要建立數(shù)學期望模型。

若用隨機變量X表示每組中每個人需要的檢測次數(shù)，則X是離散型隨機變量[10-11]，假設每個樣本可能被檢測為陽性的概率為p，檢測為陰性的概率是q=1–p。

易得X的分布律為：

X 1 k 1 1 k+P k k q 1 k q-

這樣，隨機變量X的數(shù)學期望E(X)表示每組中每個人的平均檢測次數(shù)，且

為了有效降低檢測工作量，對給定的q，只要選取每組人數(shù)k，使得

即可，而且E(X)的取值越小越好。

同時，對不同的p值，用軟件計算得最優(yōu)k值及對應的數(shù)學期望值，見表1。

表1 不同p值對應的最優(yōu)k值Tab.1 the optimal k values corresponding to different p values

從表1的結果可以看出，若p較大，每組的樣本數(shù)k應選小。若p較小，每組的樣本數(shù)k應選大。如p=0.3，每組樣本數(shù)應為k=3，此時每個人需要的平均檢測次數(shù)為 0.99，非常接近于 1。這說明混合樣本檢測與獨立檢測的效率，成本相當，即便進行混合樣本檢測也不會減少檢測工作量，節(jié)省成本。如p=0.01，每組樣本數(shù)k=11，此時每個人需要的平均檢測次數(shù)為 0.196。也就是說：如果每組11人（左右），大約可減少80%的檢測工作量，這時混合樣本檢測可以大大減少檢測工作量，這就是混合檢測的巨大優(yōu)勢。如p=0.001，每組樣本數(shù)k=32，此時每個人需要的平均檢測次數(shù)為0.0628，大約可減少94%的檢測工作量。中國新冠疫情確診人數(shù)遠遠低于0.001，密接者和次密接者，高風險區(qū)域、中風險區(qū)域和涉疫的低風險區(qū)域占全國的總人口數(shù)量比例較低，我國采用較多的是混合檢測每組10人，準確性有保證，效率大幅提高，混合檢測意義非凡。對于疫情常態(tài)化下防控工作，核酸混合檢測對于降低檢測成本也具有重要意義。

混合檢測模型理論和實踐分析表明，當大量的待檢測樣本中含陽性樣本較少時，如果混合檢測在敏感性方面與獨立檢測相當，特異性不受影響[12]，混合檢測法比逐一檢測法的檢測效率要高很多，如高考考生體檢驗血、新兵入伍復查體檢驗血等，尤其適用于群體陽性率低且檢測樣本量大的疾病?；旌蠙z測法還可以做基因序列的檢測?；旌蠙z測模型除了本文介紹的概率模型，組合模型外，還有序貫模型，競爭模型，容錯模型等[3]。數(shù)學在生活中無處不在，人工智能，大數(shù)據(jù)時代，數(shù)學知識，數(shù)學模型，數(shù)學算法起重要決定作用。

3 結論

中國將混合檢測方法發(fā)揚光大，疫情之下，每一次“清零”背后都離不開黨中央的高度重視，各級政府部門的有序組織和廣大醫(yī)務工作者們的辛勤付出。下一步防控工作除了繼續(xù)保持高度的防護意識，還離不開疫苗接種，截至2021年7月12日，全球累計接種34.2億劑，全球每百人接種43.83劑。中國累計接種 13.8億劑，中國每百人接種96.05劑[1]。全球疫情仍在蔓延，國內新冠肺炎疫情防控形勢依然嚴峻，境外輸入壓力依然巨大，鞏固來之不易的防控成果，希望早日迎來這場戰(zhàn)“疫”的最終勝利。