大重合度弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)與分析

蘇進(jìn)展,魏剛,楊羽,常樂浩,郭家舜

(長安大學(xué)道路施工技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710064,西安)

弧齒錐齒輪具有傳動(dòng)平穩(wěn)、振動(dòng)噪聲小、承載能力大、可實(shí)現(xiàn)任意角度相交軸的動(dòng)力傳輸?shù)葍?yōu)點(diǎn),使其成為現(xiàn)代直升機(jī)動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)的輸入級(jí)傳動(dòng)裝置。早期的弧齒錐齒輪設(shè)計(jì),接觸路徑類似于直齒輪,近似垂直于根錐[1],存在著重合度小、輪齒強(qiáng)度差和振動(dòng)噪聲大等問題,不能滿足當(dāng)前高速重載的傳動(dòng)要求。提高弧齒錐齒輪重合度的措施有3種:①通過增加齒高來提高重合度,但受限于實(shí)際齒高,重合度的增大量有限且容易出現(xiàn)齒頂變尖,楊宏斌等提出了基于局部綜合法的高齒準(zhǔn)雙曲面齒輪切齒參數(shù)設(shè)計(jì),增大齒輪副的重合度,不易發(fā)生邊緣接觸[2];②通過非零變位系數(shù)優(yōu)化來獲得大重合度,張華等采用非零負(fù)變位設(shè)計(jì),從幾何設(shè)計(jì)和加工參數(shù)設(shè)計(jì)兩方面來提高弧齒錐齒輪的實(shí)際重合度,改善小輪的齒根彎曲強(qiáng)度[3];③通過減小接觸路徑與根錐的夾角來提高重合度,即內(nèi)對(duì)角設(shè)計(jì),鄧效忠等通過減小接觸路徑與根錐的夾角來提高弧齒錐齒輪的重合度,分析其強(qiáng)度性能和動(dòng)態(tài)性能,表明大重合度弧齒錐齒輪能夠顯著地降低齒面接觸應(yīng)力和振動(dòng)噪聲[4-8]。牟彥銘等提出了基于齒長曲率修正的大重合度弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)方法,改善了齒面載荷分布和嚙合性能[9-11]。牟彥銘等提出了高重合度高階傳動(dòng)誤差的弧齒錐齒輪齒面修正方法,降低了弧齒錐齒輪的運(yùn)行噪聲和振動(dòng),有效避免邊緣接觸[12-13]。美國Fuentes教授等基于局部綜合法優(yōu)化接觸路徑與根錐的夾角,將接觸路徑設(shè)計(jì)為沿近似齒長方向,獲得高強(qiáng)度、低噪聲的弧齒錐齒輪[14-15];建立了考慮傳動(dòng)誤差和齒面印痕的目標(biāo)齒面,通過基于置信區(qū)間策略的Levenberg-Marquardt優(yōu)化方法獲得對(duì)應(yīng)的小輪加工參數(shù),實(shí)現(xiàn)了接觸路徑沿近似齒長方向的齒面印痕,并通過有限元法進(jìn)行輪齒強(qiáng)度性能分析。曹雪梅等提出了一種齒面印痕和傳動(dòng)誤差可分別控制的弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)方法,借助此方法可獲得大重合度設(shè)計(jì)[16]。蘇進(jìn)展等提出了一種設(shè)計(jì)弧齒錐齒輪傳動(dòng)誤差七階多項(xiàng)式函數(shù)的大重合度新方法,降低齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)和噪聲,改善齒面載荷分布[17]。侯祥穎等利用商用有限元軟件及向量式有限元法對(duì)大重合度弧齒錐齒輪進(jìn)行加載接觸分析,獲得準(zhǔn)確的接觸力和齒根彎曲應(yīng)力,為輪齒強(qiáng)度設(shè)計(jì)提供參考[18-20]。

通過減小接觸路徑與根錐的夾角的大重合度設(shè)計(jì),能夠有效地提高輪齒強(qiáng)度,降低齒輪副振動(dòng)噪聲,但是獲得內(nèi)對(duì)角接觸的齒面印痕,在齒頂和齒根的相對(duì)滑動(dòng)速度大,容易發(fā)生擦傷和膠合失效。理想的情況下,接觸路徑應(yīng)類似于斜齒輪沿節(jié)錐方向,接觸點(diǎn)處不存在相對(duì)滑動(dòng),摩擦力等于0。隨著弧齒錐齒輪制造精度和安裝精度的不斷提高,沿齒長方向的接觸路徑是齒面印痕設(shè)計(jì)的必然趨勢。

本文預(yù)置嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)幅值的拋物線傳動(dòng)誤差,推導(dǎo)出大、小輪嚙合轉(zhuǎn)角的關(guān)系式。以大輪為假想插齒刀加工小輪,借助齊次坐標(biāo)變換和空間嚙合原理,共軛展成與大輪齒面線接觸的小輪輔助齒面。在小輪輔助齒面上預(yù)置沿著節(jié)錐或近似節(jié)錐方向的接觸路徑。在接觸點(diǎn)的切平面上,計(jì)算齒面網(wǎng)格點(diǎn)的修形長度及修形量,并將其疊加到小輪輔助齒面上,得到小輪目標(biāo)齒面?；趥鹘y(tǒng)搖臺(tái)型機(jī)床模型,建立以小輪加工參數(shù)為優(yōu)化變量,以小輪齒面與小輪目標(biāo)齒面的法向偏差平方和最小為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化模型,利用遺傳算法反求小輪目標(biāo)齒面的加工參數(shù)。最后,借助輪齒幾何接觸分析對(duì)大重合度弧齒錐齒輪的齒面印痕、相對(duì)滑動(dòng)速度和誤差敏感性等進(jìn)行分析。

1 小輪輔助齒面

1.1 預(yù)置拋物線傳動(dòng)誤差

傳動(dòng)誤差定義為當(dāng)小輪轉(zhuǎn)過一定角度時(shí),大輪轉(zhuǎn)過的實(shí)際角度與理想角度之差。圖1為對(duì)稱拋物線傳動(dòng)誤差曲線,A、B和M分別表示齒輪副的嚙入點(diǎn)、嚙出點(diǎn)和參考點(diǎn),φ1A、φ1B和φ1M表示所對(duì)應(yīng)的小輪嚙合轉(zhuǎn)角,δTE為嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的傳動(dòng)誤差,Tz為嚙合周期,Tz=2π/z1,z1為小輪齒數(shù)。該傳動(dòng)誤差曲線具有如下特征:①嚙入點(diǎn)和嚙出點(diǎn)的傳動(dòng)誤差相等,即δφ2A=δφ2B;②齒輪副的嚙入轉(zhuǎn)角和嚙出轉(zhuǎn)角關(guān)于參考點(diǎn)對(duì)稱,即|φ2M-φ2A|=|φ2B-φ2M|;③傳動(dòng)誤差曲線的嚙入部分AM和嚙出部分MB的形狀完全對(duì)稱。拋物線幾何傳動(dòng)誤差的表達(dá)式為

圖1 對(duì)稱拋物線傳動(dòng)誤差

(1)

(2)

將式(1)和(2)聯(lián)立,得到傳動(dòng)誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)式

(3)

將式(3)代入傳動(dòng)誤差的定義中,得到大、小輪嚙合轉(zhuǎn)角的關(guān)系式為

(4)

1.2 小輪輔助齒面

已知大輪的刀具參數(shù)和機(jī)床調(diào)整參數(shù),基于齊次坐標(biāo)變換和空間嚙合原理,在大輪動(dòng)坐標(biāo)系S2中大輪齒面Σ2的位矢和法矢表示為r2(θg,φg)和n2(θg,φg);θg表示大輪的刀盤轉(zhuǎn)角;φg表示加工大輪時(shí)的搖臺(tái)轉(zhuǎn)角。將大輪視為假想插齒刀的刀具面Σ2,根據(jù)圖2所示的小輪輔助齒面加工坐標(biāo)系,按照

圖2 小輪輔助齒面加工坐標(biāo)系

(5)

其中

2 小輪目標(biāo)齒面

2.1 沿齒長的接觸路徑

圖3給出了沿齒長方向的接觸路徑,l1A、l1B和l1M為小輪嚙合轉(zhuǎn)角φ1A、φ1B和φ1M所對(duì)應(yīng)的嚙合線。為了實(shí)現(xiàn)大重合度設(shè)計(jì),將接觸路徑Γ設(shè)計(jì)為沿齒長方向的直線。在坐標(biāo)系xoy中,接觸路徑偏離節(jié)錐線Δy,內(nèi)錐嚙入點(diǎn)A的位置參數(shù)為(Ricosδ1+Δysinδ1,Risinδ1+Δycosδ1),外錐嚙出點(diǎn)B的位置參數(shù)為(Recosδ1+Δysinδ1Resinδ1+Δycosδ1);其中,Ri和Re分別為小輪的內(nèi)錐距和外錐距,δ1為小輪節(jié)錐角。通過聯(lián)立非線性方程組

(6)

求出嚙入點(diǎn)A所在嚙合線對(duì)應(yīng)的小輪嚙合轉(zhuǎn)角φ1A。同理,聯(lián)立如下的方程組

(7)

圖3 沿齒長方向的接觸路徑

2.2 小輪接觸線修形

圖4 切平面上的修形量

(1)在某一瞬時(shí)嚙合轉(zhuǎn)角φ1i,P1、P2分別為小輪輔助齒面上瞬時(shí)嚙合線Li上的兩點(diǎn),接觸點(diǎn)P為嚙合線Li與接觸路徑Γ的交點(diǎn);

(8)

式中:ε為接觸齒面間的彈性變形量,通常在齒面設(shè)計(jì)階段是按照輕載條件下取格里森公司的經(jīng)驗(yàn)值0.006 35 mm,a為預(yù)置的接觸橢圓長半軸。

(9)

(10)

3 反求加工參數(shù)

給定一組初始的小輪刀具參數(shù)和機(jī)床調(diào)整參數(shù),則小輪齒面Σ1的位矢r1和單位法矢n1分別為

(11)

(12)

式中:d為小輪的加工參數(shù),d=[α1,Rc,Sr1,q1,Cr1,Em1,XG1,Xb1,γm,2C,6D];α1為齒形角;Rc為小輪刀尖半徑;Sr1為小輪徑向刀位;q1為小輪角向刀位;Cr1為小輪滾比;Em1為小輪垂直輪位;XG1為小輪水平輪位;XB1為小輪軸向床位;γm為小輪機(jī)床安裝角,2C、6D分別表示二階變性系數(shù)、三階變性系數(shù)。

h(d)=[h1(d),…,hk(d)]T

(13)

(14)

式中:χ1、χ2分別為設(shè)計(jì)變量取值的上下限,根據(jù)螺旋錐齒輪加工機(jī)床的實(shí)際加工范圍確定。

圖5 小輪加工參數(shù)優(yōu)化過程

4 算例與分析

以一對(duì)弧齒錐齒輪副的工作面(大輪凸面和小輪凹面)為例,說明本文的設(shè)計(jì)方法。表1為弧齒錐齒輪副的幾何參數(shù),表2為弧齒錐齒輪工作面的加工參數(shù),嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的傳動(dòng)誤差為δTE=0.002 78°。遺傳算法的參數(shù)設(shè)置對(duì)優(yōu)化模型的收斂性及計(jì)算速度有重要的影響,本文優(yōu)化模型中有9個(gè)優(yōu)化變量(除去齒形角α1和輪坯安裝角γm),齒面離散點(diǎn)數(shù)k為45(5行9列)。參考典型遺傳算法參數(shù)的設(shè)置范圍,結(jié)合本文實(shí)際問題規(guī)模,經(jīng)過多次試驗(yàn)后,確定遺傳算法參數(shù)具體設(shè)置如下:種群大小為5,進(jìn)化代數(shù)100代,交叉概率為0.5,變異概率為0.1,該組參數(shù)下能夠取得較好的優(yōu)化效果。取傳統(tǒng)格里森機(jī)床調(diào)整卡作為初始加工參數(shù),其設(shè)計(jì)重合度為2.315 9,采用本文方法優(yōu)化后所獲得的設(shè)計(jì)重合度為2.824 2。

表1 弧齒錐齒輪副的幾何參數(shù)

從表2中推導(dǎo)出大、小輪齒面方程,將其轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系中,根據(jù)兩嚙合齒面連續(xù)相切條件,建立齒面幾何接觸分析(TCA)的基本方程組,按一定的步長給定小輪嚙合轉(zhuǎn)角,通過求解TCA非線性方程組,獲得有效齒面內(nèi)的接觸路徑和傳動(dòng)誤差,再利用微分幾何求出接觸橢圓長軸,由一系列的橢圓長軸組成了齒面印痕。定義小輪共軛齒面為與大輪完全共軛的齒面,則小輪齒面偏差定義為小輪齒面和小輪共軛齒面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的矢量差沿法向方向投影。

表2 弧齒錐齒輪工作面的加工參數(shù)

將接觸路徑設(shè)計(jì)為沿節(jié)錐線和沿齒高中線方向,圖6和圖7分別給出了這兩種設(shè)計(jì)方案的齒面印痕、傳動(dòng)誤差和小輪齒面偏差。圖6為接觸路徑沿節(jié)線方向,圖7為接觸路徑沿齒高中線方向。

(a)齒面印痕

(b)傳動(dòng)誤差

(c)齒面偏差圖6 接觸路徑沿節(jié)錐線方向的齒面印痕 傳動(dòng)誤差和小輪齒面誤差

(a)齒面印痕

(b)傳動(dòng)誤差

(c)齒面偏差圖7 接觸路徑沿齒高中線方向的齒面印痕 傳動(dòng)誤差和小輪齒面誤差

圖6中,由于錐齒輪設(shè)計(jì)都采用高度變位,大輪節(jié)錐線靠近齒頂,齒面印痕也靠近齒頂,在輕載或中載條件下容易造成邊緣接觸,從而降低輪齒強(qiáng)度和強(qiáng)烈振動(dòng);在嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的傳動(dòng)誤差滿足設(shè)計(jì)要求,嚙入和嚙出的傳動(dòng)誤差分別為-0.025 07°和-0.025 24°,嚙入和嚙出曲線基本對(duì)稱。圖7中,齒面印痕分布在齒寬中部,齒輪副具有較好的承載能力,具有對(duì)稱傳動(dòng)誤差曲線,在嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的傳動(dòng)誤差滿足設(shè)計(jì)要求,嚙入和嚙出的傳動(dòng)誤差分別為-0.024 99°和-0.024 82°,嚙入和嚙出曲線基本對(duì)稱。由齒面偏差圖可知,沿節(jié)錐線設(shè)計(jì)在兩端附近去除的材料比沿齒高中線的更多。

圖8為兩種接觸路徑的相對(duì)滑動(dòng)速度比較,假設(shè)主動(dòng)小輪的角速度為1 rad/s。由圖可見,沿著節(jié)錐線的相對(duì)速度較小但不相等,這是由于接觸點(diǎn)在節(jié)錐線附近,第15個(gè)接觸點(diǎn)基本在基錐線上,若接觸點(diǎn)出現(xiàn)在節(jié)錐線的另一側(cè),則摩擦力出現(xiàn)換向。沿著齒高中線設(shè)計(jì)的接觸路徑,相對(duì)滑動(dòng)速度較大,但都是單向的,不會(huì)出現(xiàn)摩擦力換向。

圖8 兩種接觸路徑的相對(duì)滑動(dòng)速度比較

按照GB11365—89錐齒輪和準(zhǔn)雙面齒輪精度,規(guī)定了4個(gè)安裝誤差,按5級(jí)精度取軸交角偏差ΔΣ為0.01 rad、軸間距偏差ΔE為0.2 mm、小輪軸向位移ΔA1為0.2 mm和大輪軸向位移ΔA2為0.35 mm。圖9為各項(xiàng)安裝誤差的敏感性比較,給出了在各單向誤差條件下,接觸路徑沿齒高中線的齒面印痕的變化情況。從圖9中可知,齒面印痕僅沿著齒高方向上下移動(dòng),避免出現(xiàn)外對(duì)角和內(nèi)對(duì)角接觸,各單向誤差的敏感性從大到小為軸交角偏差、軸間距偏差、大輪軸向位移、小輪軸向位移。

(a)小輪軸向位移

(b)大輪軸向位移

(c)軸間距偏差

(d)軸交角偏差圖9 各項(xiàng)安裝誤差的敏感性比較

對(duì)于接觸路徑沿著齒長方向的弧齒錐齒輪副,螺旋角對(duì)齒面印痕影響較大,設(shè)計(jì)4種中點(diǎn)螺旋角分別為25°、30°、35°、40°的弧齒錐齒輪副。圖10為中點(diǎn)螺旋角度對(duì)齒面印痕的影響,圖10a～圖10d為4種中點(diǎn)螺旋角對(duì)應(yīng)的齒面印痕變化情況,其設(shè)計(jì)重合度分別為1.868 4、2.327 3、2.824 2和3.226 1。從圖中可知,隨著螺旋角增大,接觸線與節(jié)錐夾角也隨之增大,有利于改善齒面潤滑條件;齒面印痕面積也隨之增大,有利于提高齒輪副的承載能力;當(dāng)中點(diǎn)螺旋角較小時(shí),不宜采用沿著齒長方向的接觸路徑,應(yīng)將接觸路徑設(shè)計(jì)為內(nèi)對(duì)角方向,即Δ=3.0°,從而增大設(shè)計(jì)重合度和齒面印痕面積,如圖10e所示,此時(shí)設(shè)計(jì)重合度為2.442 6。

(a)βm=25°

(b)βm=30°

(c)βm=35°

(d)βm=40°

(e)βm=25°改進(jìn)設(shè)計(jì)圖10 中點(diǎn)螺旋角度對(duì)齒面印痕的影響

圖11為5種設(shè)計(jì)的相對(duì)滑動(dòng)速度隨接觸點(diǎn)的變化曲線,最大相對(duì)滑動(dòng)速度分別為0.65、0.67、0.71、0.89和1.397 5 m/s;特別地,當(dāng)螺旋角為40°時(shí),由于本文方法僅控制在嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的傳動(dòng)誤差,隨著螺旋角增大,接觸路徑加長,導(dǎo)致傳動(dòng)誤差曲線形狀和值都要發(fā)生較大的變化,具體表現(xiàn)在齒面失配量和大輪角速度都增大,從而影響配對(duì)齒面的相對(duì)滑動(dòng)速度。隨著螺旋角的進(jìn)一步增大,相對(duì)速度變化將更加顯著。由此可知,相對(duì)滑動(dòng)速度隨著螺旋角的增大而增大,采用內(nèi)對(duì)角設(shè)計(jì)時(shí),增大了大輪齒根和小輪齒頂?shù)南鄬?duì)滑動(dòng)速度。

圖11 相對(duì)滑動(dòng)速度隨接觸點(diǎn)的變化

5 結(jié) 論

通過將接觸路徑設(shè)計(jì)為沿節(jié)錐線和沿齒高中線方向,并對(duì)兩種設(shè)計(jì)方案的齒面印痕、傳動(dòng)誤差、小輪齒面偏差和相對(duì)滑動(dòng)速度進(jìn)行比較。在接觸路徑沿著齒長方向設(shè)計(jì)時(shí),通過改變中點(diǎn)螺旋角分析齒面印痕和相對(duì)滑動(dòng)速度。經(jīng)過分析得出如下結(jié)論:

(1)對(duì)于中點(diǎn)螺旋角大于30°,可將接觸路徑設(shè)計(jì)為沿齒向方向,以減小齒面相對(duì)滑動(dòng)速度,此時(shí)齒輪副的設(shè)計(jì)重合度取決于齒寬。

(2)對(duì)于中點(diǎn)螺旋角較小情況,將接觸路徑設(shè)計(jì)為對(duì)角方向,可增大齒輪副的重合度,提高輪齒承載能力,但增大了齒面發(fā)生擦傷和膠合的概率。

(3)接觸路徑沿著節(jié)錐線時(shí),齒面相對(duì)速度接近等于零,但是由于采用高等變位,使得齒面印痕偏向小輪齒根或大輪齒頂,從而在輕載條件下或在安裝誤差作用下,容易引起邊緣接觸,降低承載能力;而將接觸路徑設(shè)計(jì)在齒高中線時(shí),可獲得較小的相對(duì)滑動(dòng)速度、較大分布的齒面印痕和較低的誤差敏感性。