利用灰色殘差GM(1,1)-Markov模型預(yù)測(cè)水工混凝土的劣化

康春濤，貢 力, ，王忠慧，楊軼群，王 鴻

(1. 蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2. 蘭州交通大學(xué) 調(diào)水工程及輸水安全研究所，甘肅 蘭州730070)

我國(guó)西北干寒地區(qū)具有冬長(zhǎng)暑短、雨熱同季、日照時(shí)間長(zhǎng)、年降水少、蒸發(fā)量、晝夜溫差大和年季溫差較大的高寒半干旱氣候特點(diǎn)。據(jù)水利部資料統(tǒng)計(jì)，我國(guó)西北地區(qū)混凝土水工建筑物70%的破壞受損都與地區(qū)的嚴(yán)寒氣候有關(guān)[1-2]。大多數(shù)水工混凝土建筑物出現(xiàn)剝蝕甚至脫落現(xiàn)象。因此，對(duì)水工混凝土建筑物劣化預(yù)測(cè)模型的研究，對(duì)于水工建筑物的結(jié)構(gòu)安全和壽命維護(hù)具有重要的意義。

目前，對(duì)于混凝土劣化預(yù)測(cè)的方式有很多種。肖前慧等[3]提出了凍融循環(huán)下混凝土抗壓強(qiáng)度指數(shù)衰減規(guī)律預(yù)測(cè)模型和壽命預(yù)測(cè)模型；馮忠居等[4]基于灰色系統(tǒng)理論，建立了不同工況下混凝土相對(duì)動(dòng)彈性模量GM(1,1)預(yù)測(cè)模型；鄔曉光等[5]利用可拓評(píng)價(jià)模型實(shí)現(xiàn)對(duì)混凝土梁式橋耐久性的預(yù)測(cè)；胡宸瑞[6]采用Wiener分布模型對(duì)其在不同環(huán)境因素下的服役壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)；馬俊軍等[7]在Fick第二定律的基礎(chǔ)上，建立了考慮氯離子隨機(jī)擴(kuò)散效應(yīng)的元胞自動(dòng)機(jī)模型等。劉榮桂等[8-10]諸多專家在理論上對(duì)混凝土耐久性的預(yù)測(cè)提出了創(chuàng)新方法。近年來(lái)，眾多專家在灰色理論的基礎(chǔ)上，提出了殘差模型和馬爾科夫（Markov）理論相結(jié)合的預(yù)測(cè)方法[11-12]。張克中等[13]在灰色殘差基礎(chǔ)上提出馬爾科夫殘差修正灰色模型，并將其應(yīng)用于公路網(wǎng)規(guī)劃中運(yùn)輸量的預(yù)測(cè)；陳佳琪等[14]采用傳統(tǒng)GM(1,1)模型和改進(jìn)后的殘差修正GM(1,1)模型分別對(duì)房屋建筑面積統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)；杜永強(qiáng)等[15]以最大延伸率作為性能變化表征參數(shù)，根據(jù)老化反應(yīng)速率常數(shù)隨溫度的變化關(guān)系，建立了馬爾科夫灰色殘差GM(1,1)模型，對(duì)常溫條件下推進(jìn)劑的老化反應(yīng)速率常數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。通過(guò)結(jié)合灰色殘差和馬爾科夫模型，不僅讓兩個(gè)模型能體現(xiàn)各自的優(yōu)點(diǎn)，而且能彌補(bǔ)數(shù)據(jù)信息波動(dòng)性大的不足，能更好地提高預(yù)測(cè)模型精度[16]。目前，針對(duì)混凝土劣化的預(yù)測(cè)模型，大多數(shù)集中在公路、橋梁及房建等混凝土建筑物，對(duì)于西北干寒地區(qū)水工建筑物的研究較少；另外，基于灰色殘差GM(1,1)-Markov模型在水工混凝土劣化預(yù)測(cè)方面的研究較少。

本文將灰色殘差GM(1,1)的馬爾科夫模型應(yīng)用于水工混凝土建筑物劣化試驗(yàn)預(yù)測(cè)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)室方法來(lái)驗(yàn)證預(yù)測(cè)模型的適用性。首先對(duì)混凝土試件進(jìn)行耐久性劣化試驗(yàn)，以質(zhì)量和抗壓強(qiáng)度的原始值作為初始數(shù)據(jù)，通過(guò)一系列數(shù)據(jù)處理，得到灰色GM(1,1)模型和殘差GM(1,1)模型。然后利用馬爾科夫過(guò)程的符號(hào)修正，對(duì)灰色殘差GM(1,1)模型進(jìn)行馬爾科夫修正，以此來(lái)預(yù)估混凝土試件在鹽凍作用下的壽命。

1 利用GM(1,1)模型預(yù)測(cè)強(qiáng)度或質(zhì)量損失

1.1 灰色GM(1,1)模型

參考郭鵬等[17-18]的理論，本文對(duì)灰色GM(1,1)模型的建立過(guò)程是將混凝土劣化的質(zhì)量損失和抗壓強(qiáng)度損失過(guò)程累加生成數(shù)列模型，再將數(shù)列模型進(jìn)行處理，最終得到預(yù)測(cè)值。用X(0)(k)表示劣化試驗(yàn)壽命的原始數(shù)據(jù)序列，設(shè)原始數(shù)據(jù)為：

對(duì)X(0)(k)做一次累加生成算法，生成一階累加生成數(shù)列：

由式（2），計(jì)算得到x(1)(k)的緊鄰均值系列Z(1)，Z(1)={z(1)(2), z(1)(3),···, z(1)(n)}，其中：

構(gòu)建微分方程dx(1)/dt+αx(1)=β，其中，參數(shù)α、β可由下式得到：

求解上述微分方程，得到如下GM(1,1)模型：

用如下累減公式還原，即可計(jì)算出預(yù)測(cè)值：

式中：x(0)(k+1)為第（k+1）項(xiàng)的預(yù)測(cè)值；x(0)(1)為原始數(shù)據(jù)序列的首項(xiàng)；α、β分別為GM(1,1)模型的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，由最小二乘法（回歸）求得。

1.2 灰色殘差GM(1,1)模型

為了修正預(yù)測(cè)值與混凝土劣化試驗(yàn)初始值結(jié)果的差異，建立殘差序列ε1(0)，ε1(0)={ε1(0)(2), ε1(0)(3),···,ε1(0)(n)}，其中：

對(duì)得到的ε(0)按式（2）～（6）的步驟建立灰色GM(1,1)模型，可得：

其中，參數(shù)aε、bε按照式（4）求解，則殘差修正值為：

用得到的殘差修正值 修正還原值x(0)，得到：

1.3 馬爾科夫過(guò)程的符號(hào)修正

由于預(yù)測(cè)模型僅是對(duì)原始數(shù)據(jù)的規(guī)律總結(jié)，可能會(huì)導(dǎo)致原始數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差較大，因而有必要對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)。故本文將灰色殘差GM(1,1)和馬爾科夫模型應(yīng)用于水工混凝土劣化試驗(yàn)的預(yù)測(cè)中，以提高預(yù)測(cè)模型的精度[19]。

統(tǒng)計(jì)殘差序列的頻數(shù)，規(guī)定狀態(tài)：殘差正值為狀態(tài)1，殘差負(fù)值為狀態(tài)2。根據(jù)其狀態(tài)的正負(fù)，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

把殘差從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率記為Pij，例如，P12代表從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的概率，Pij≥0，且可由下式確定：

式中：sij為狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的次數(shù)；si為狀態(tài)i出現(xiàn)的次數(shù)。

其余計(jì)算過(guò)程參考文獻(xiàn)[18]，此處不再贅述。

由下式計(jì)算相對(duì)誤差：

2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及壽命預(yù)估

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源與試驗(yàn)設(shè)計(jì)

參考《普通混凝土長(zhǎng)期性能和耐久性能試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》，試驗(yàn)采用慢凍法。采用100 mm×100 mm×100 mm立方體標(biāo)準(zhǔn)試件，試件設(shè)計(jì)抗凍標(biāo)號(hào)為D200，試件規(guī)格強(qiáng)度為C30的試件，共120塊，其中水泥型號(hào)為甘肅省祁連山水泥集團(tuán)股份有限公司生產(chǎn)的P·O 32.5水泥。另外，考慮細(xì)骨料和粗骨料中的含水量（分別為2.4%和1.0%），混凝土材料組成見(jiàn)表1。

表 1 混凝土材料組成Tab. 1 Concrete mix proportion

試件成型后拆模，在養(yǎng)護(hù)箱中養(yǎng)護(hù)至28 d齡期。試件分為4個(gè)部分，每部分為30塊。參考普通混凝土長(zhǎng)期性能和耐久性能試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)，在試驗(yàn)前4 d把試件從養(yǎng)護(hù)地點(diǎn)取出，分別置于清水及質(zhì)量濃度為3、5和7 g/L的Na2SO4溶液中進(jìn)行浸泡，對(duì)應(yīng)試件分類(lèi)編號(hào)為：1-0、1-3、1-5和1-7。

將經(jīng)過(guò)浸泡的試件按照其分類(lèi)，進(jìn)行鹽凍試驗(yàn)，每25次小循環(huán)之后，清理試件上的碎渣，并及時(shí)稱量，用軸心抗壓試驗(yàn)儀進(jìn)行抗壓試驗(yàn)，計(jì)算質(zhì)量損失率及抗壓強(qiáng)度損失率。當(dāng)質(zhì)量損失率達(dá)到5%，或抗壓強(qiáng)度損失率達(dá)到25%或達(dá)到鹽凍試驗(yàn)次數(shù)（根據(jù)設(shè)計(jì)抗凍標(biāo)號(hào)，其次數(shù)為200～250次），可認(rèn)定為達(dá)到破壞條件，結(jié)束試驗(yàn)。

2.2 數(shù)據(jù)處理

限于篇幅，本文抽取清水和3 g/L硫酸鈉溶液侵蝕的試件質(zhì)量和抗壓強(qiáng)度損失統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。水工混凝土在鹽凍作用下，試件質(zhì)量和抗壓強(qiáng)度隨著次數(shù)的提高而減小，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表 2 鹽凍作用下混凝土試件質(zhì)量和抗壓強(qiáng)度原始統(tǒng)計(jì)值Tab. 2 Original statistical values of the quality and pressure strength of concrete specimens under the action of salt freezing

以清水浸泡過(guò)的混凝土試件為例，計(jì)算原始質(zhì)量的灰色模擬值和殘差模擬值如下。本文0～125次鹽凍試驗(yàn)的質(zhì)量作為原始值，預(yù)測(cè)150～200次的數(shù)據(jù)。原始數(shù)據(jù)及預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表3。

表 3 混凝土試件質(zhì)量的模擬結(jié)果Tab. 3 Simulation results of the quality of concrete specimens

由表3可知，基于馬爾科夫的GM(1,1)模型的模擬結(jié)果中，經(jīng)過(guò)清水浸泡和鹽凍試驗(yàn)的混凝土試件質(zhì)量的最大誤差為0.29%，最小誤差為0.01%，平均誤差為0.10%；經(jīng)過(guò)3 g/L硫酸鈉溶液浸泡和鹽凍試驗(yàn)的混凝土試件質(zhì)量的最大誤差為0.20%，最小誤差為0.000 9%，平均誤差為0.03%。

由模擬結(jié)果可見(jiàn)，灰色GM(1,1)模型的質(zhì)量模擬結(jié)果誤差較大（1-0和1-3的最大相對(duì)誤差分別為0.37%和0.21%），但是灰色殘差GM(1,1)模型經(jīng)過(guò)殘差修正之后，相對(duì)誤差明顯降低（1-0和1-3的最大相對(duì)誤差分別為0.33%和0.06%）。

相應(yīng)地，可計(jì)算出經(jīng)過(guò)清水浸泡和鹽凍試驗(yàn)的混凝土試件抗壓強(qiáng)度模擬結(jié)果見(jiàn)表4。

表 4 混凝土試件抗壓強(qiáng)度的模擬結(jié)果Tab. 4 Simulation results of the pressure strength of concrete test pieces

由表4可知，基于馬爾科夫的GM(1,1)模型的模擬結(jié)果中，經(jīng)過(guò)清水浸泡和鹽凍試驗(yàn)的混凝土試件抗壓強(qiáng)度的最大誤差為1.16%，最小誤差為0.05%，平均誤差為0.51%；經(jīng)過(guò)3 g/L硫酸鈉溶液浸泡和鹽凍試驗(yàn)的混凝土試件抗壓強(qiáng)度的最大誤差為0.33%，最小誤差為0.05%，平均誤差為0.165%。

在不同濃度下，灰色GM(1,1)模型的抗壓強(qiáng)度模擬得出：1-0和1-3系列最大相對(duì)誤差分別為2.53%和1.30%。經(jīng)過(guò)灰色殘差GM(1,1)模型修正之后，1-0和1-3系列最大相對(duì)誤差分別降為1.16 %和0.33%。相對(duì)誤差的變化，可以證明經(jīng)過(guò)修正的灰色殘差GM(1,1)模型對(duì)抗壓強(qiáng)度的模擬效果要比灰色GM(1,1)模型好。

通過(guò)以上計(jì)算分析得出：相對(duì)于灰色GM(1,1)模型，殘差修正GM(1,1)模型能更好地貼合原始數(shù)據(jù)的質(zhì)量損失和抗壓強(qiáng)度損失過(guò)程。所以，此模型可用于現(xiàn)有的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，并對(duì)現(xiàn)有數(shù)據(jù)的規(guī)律得出預(yù)測(cè)模型經(jīng)驗(yàn)公式。

2.3 符號(hào)修正

由于第225次鹽凍試驗(yàn)的試件抗壓強(qiáng)度已失效，故本文應(yīng)用灰色殘差GM(1,1)模型，僅對(duì)清水及濃度為3 g/L的硫酸鈉溶液侵蝕的混凝土試件的150、175、200次鹽凍試驗(yàn)的質(zhì)量和抗壓強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測(cè)，并確定殘差修正值的符號(hào)。

根據(jù)表3混凝土試件質(zhì)量的模擬結(jié)果，對(duì)150次鹽凍試驗(yàn)的質(zhì)量預(yù)測(cè)如下：

根據(jù)馬爾科夫過(guò)程的符號(hào)修正，殘差由正數(shù)向正數(shù)轉(zhuǎn)移的次數(shù)是1，正值出現(xiàn)的次數(shù)是2，因此，其概率P11=1/2，同理可得P12=1/2、P21=1/3、P22=2/3。由此可得馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P為：

將鹽凍試驗(yàn)125次的混凝土質(zhì)量作為初始狀態(tài)，由表3知其殘差值為負(fù)，因而初始向量s(0)=(0,1)。由式（13）得到第150次鹽凍試驗(yàn)的結(jié)果為：

即第150次鹽凍試驗(yàn)的混凝土質(zhì)量殘差修正值為正的概率為1/3，為負(fù)的概率為2/3，因此取正號(hào)。預(yù)測(cè)150次鹽凍試驗(yàn)的質(zhì)量見(jiàn)表5。以150次鹽凍試驗(yàn)的質(zhì)量殘差修正值為初始值，同理可得出175、200次質(zhì)量的預(yù)測(cè)值。同理可得3 g/L硫酸鈉溶液侵蝕的混凝土試件的質(zhì)量（表5）。

表 5 混凝土試件質(zhì)量預(yù)測(cè)結(jié)果Tab. 5 Prediction results for the quality of concrete test pieces

由表5可知，通過(guò)Markov模型的符號(hào)修正，在不同硫酸鈉溶液濃度下水工混凝土試件150～200次鹽凍試驗(yàn)的質(zhì)量原始值與預(yù)測(cè)值，最大誤差為2.12%，最小誤差為0.10%，且相對(duì)誤差隨著鹽凍試驗(yàn)次數(shù)的增加而變大。

同理，可得清水和3%硫酸鈉溶液浸泡侵蝕的混凝土試件的抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)值，見(jiàn)表6。

表 6 混凝土試件抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)結(jié)果Tab. 6 Prediction results for the strength of resistance of concrete test pieces

由表6可知，混凝土試件在鹽凍試驗(yàn)下，抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)值的最大誤差為1.91%，最小誤差為0.13%。由于馬爾克夫符號(hào)修正預(yù)測(cè)序列較長(zhǎng)，相對(duì)誤差略有偏大，但總體來(lái)看屬于正常誤差范圍，符合預(yù)測(cè)模型對(duì)于誤差的要求。這表明該模型對(duì)于混凝土劣化過(guò)程預(yù)測(cè)具有較好的適用性。

對(duì)比質(zhì)量和抗壓強(qiáng)度的初始值、灰色GM(1,1)模型計(jì)算值、灰色殘差GM(1,1)模型計(jì)算值、馬爾科夫過(guò)程符號(hào)修正計(jì)算值見(jiàn)圖1。如圖1所示，由于質(zhì)量的單位基數(shù)較小，使得質(zhì)量預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差較為明顯。

根據(jù)最初的灰色GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)，并對(duì)此模型進(jìn)行殘差修正，得到灰色殘差GM(1,1)模型。通過(guò)與初始數(shù)據(jù)的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)灰色殘差GM(1,1)模型精度有了明顯提高。最后，利用馬爾科夫過(guò)程的符號(hào)修正，對(duì)混凝土試件150～200次鹽凍試驗(yàn)的試件質(zhì)量損失和抗壓強(qiáng)度損失進(jìn)行預(yù)測(cè)，使得預(yù)測(cè)結(jié)果更符合實(shí)際情況，為混凝土水工建筑物的劣化預(yù)測(cè)指標(biāo)提供理論支撐和技術(shù)保障。

圖 1 數(shù)據(jù)修正與模型預(yù)測(cè)對(duì)比Fig. 1 Data correction and model prediction comparison chart

3 結(jié) 語(yǔ)

（1）以灰色GM(1,1)模型為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)累加生成數(shù)列模型，依次得到灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型和灰色殘差GM(1,1)預(yù)測(cè)模型。通過(guò)殘差值的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并對(duì)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的符號(hào)進(jìn)行修正，得到了灰色殘差GM(1,1)-Markov模型。

（2）借助灰色殘差GM(1,1)-Markov模型對(duì)經(jīng)過(guò)鹽凍試驗(yàn)的水工混凝土試件的質(zhì)量和抗壓強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明：質(zhì)量和抗壓強(qiáng)度的預(yù)測(cè)值與原始值相比誤差較小，最大誤差為2.12%，最小誤差僅為0.13%。驗(yàn)證了在一定的預(yù)測(cè)范圍內(nèi)，該模型對(duì)混凝土劣化的質(zhì)量和抗壓強(qiáng)度損失具有很好的預(yù)測(cè)效果。